張軍
【摘 要】 數學概念教學要從實際問題出發,立足類比推理,引導學生歸納概括概念的特征,自主建構數學概念。本文以《一元二次方程》教學片段為例,在類比推理中領悟概念本質,構建起屬于學生自己的數學認知結構,提升數學素養。
【關鍵詞】 一元二次方程;數學概念;類比推理
數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式,是數學學科的基本成分,數學概念的教學對學生提高數學素養、發展數學能力具有重要的意義。數學概念在數學的知識體系中處于基礎地位,是數學基礎知識和基本技能教學的核心。近期筆者全程參加了該地區的一次評優課活動,課題為“一元二次方程”,筆者結合自己親身經歷,談談對概念教學的幾點思考。
一、類比生活情景,激發概念學習興趣
數學概念是對客觀事物的抽象概括,一些直接來源于日常生活中的實際情況,根據學生已有的知識經驗,從學生的認知發展水平出發,設計學生熟悉的問題情景,讓學生容易上手、易于完成問題,避免了與概念無關的干擾,幫助學生獲得初步的感性認識。例如,在“一元二次方程”引入問題的設計上,筆者設計了如下的問題進行教學:
問題引入:用一根繩子圍成一個矩形。
(1)假設這個矩形的周長是20米,長比寬多2米,求這個矩形的寬?
(2)假設這個矩形的面積是12平方米,長比寬多2米,求這個矩形的寬?
(3)假設這個矩形的周長是20米,面積為12平方米,求這個矩形的寬?
二、類比已有經驗,揭示概念本質內涵
1.形式類比,引出概念
數學概念里有些是核心概念,比如方程、函數等,但像一元二次方程這樣的概念則屬于派生概念。充分利用好一元一次方程的學習經驗,通過問題引導,讓學生類比、感悟新知,提高學生的類比推理能力。
評析:學生經過觀察、探索、分類等活動,總結經驗,類比已學過的概念,大膽猜想一元二次方程的概念,體會概念的特征。類比已有的知識經驗,總結方程的命名,依據未知數的位置、次數、個數,加深對概念特征的理解,強化概念本質屬性。
2.經驗類比,深化概念
通過辨析方程,發現問題,引導學生思考:在解決一元二次方程時需要整理成統一的形式,接著引出一元二次方程的一般形式。通過類比一元一次方程的一般形式,深刻體會“最高次數為二次”這一特征,理解一般形式“ax2+bx+c=0”中“a≠0”的本質。
例1:下列方程中,屬于一元二次方程的_。
評析:通過類比一元一次方程的學習經驗和方法,體會方程學習過程中從“文字語言”到“符號語言”的轉換,理解識別一元二次方程的拐杖——方程的一般式,感悟一元二次方程一般形式“ax2+bx+c=0(a≠0)”的必要性和合理性,透徹理解概念的本質。
三、類比變式探究,固化概念發散思維
設計開放性問題,通過變式,層層深入,學生類比題型找到解決問題的方法,充分暴露學生的思維過程,營造思辨氛圍,讓不同的思維發生碰撞,推理能力不斷發展。
評析:例題的設計由淺入深,圍繞概念多角度、多層次地設計問題,在類比分析中加深學生對概念本質的理解,找到解決問題的關鍵。通過追問:一般形式的a、b、c分別代表什么?在多次變與不變的練習中,培養學生的整體意識和符號意識,“類比推理”落地開花,進一步推動了學生的思維發展。
四、類比研究過程,探討概念生成體系
通過類比的思想來研究一元二次方程,從學生已有的一元一次方程的學習經驗入手,初步掌握如何研究一個新方程,教學中鼓勵學生大膽猜想、類比,進而提高學生研究問題的能力,培養學生的數學素養。通過問題“接下來我們還會研究一元二次方程的哪些內容”,引導學生理解認知事物的規律,掌握研究方程問題的方法,建構方程體系,為后續的學習做好鋪墊。
五、教后反思,總結概念教學經驗
數學概念的教學不是讓學生機械地接受、簡單地模仿,要讓學生根據已有的知識經驗,運用觀察發現、類比推理等數學思想方法進行新的概括與創造,自主建構新概念。同時,在概念的生成過程中,通過分析、比較、概括等活動,培養學生分析問題和概括問題的能力,進而訓練學生的思維,培養學生的數學素養。
在數學概念教學中,我們要讓學生獲得概念的過程變得自然、合理、有趣,充分利用新概念與認知結構中原有概念的聯系,讓學生參與數學活動過程,經過類比推理,揭示概念本質,體驗概念獲得的成就感,發展學生的思維。