關 寧,趙立純,*,劉敬娜
(1.遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)
在種群生態系統中,種群的繁衍生存不能缺少營養,食物鏈和食物網構成了種群間的營養關系,這就是種群間的捕食現象.捕食-食餌之間的相互作用是生態學中最基本的種間關系,同時也是生物鏈及整個生態系統建立的基礎,因此,對捕食-食餌模型的分析在生物數學研究中是非常重要的課題[1].對于一個具有弱Allee效應的種群,當其種群密度過于稀疏時,它的出生率會減少,種群密度增速慢,但始終不會出現負出生率的情況[2].
常微分方程是通過數學方法解決生產生活中實際問題的重要工具,向量場是研究常微分方程定性分析的重要手段[3]并在許多領域得到應用.在工程方面,羅健根據Lyapunov導航向量場的導航法則,研究多架無人機協同跟蹤問題,成功實現了跟蹤任務[4];在動力學領域,寇力英等人通過引入并完善大尺寸分塊矩陣的新記號表示方法,研究一類具有對稱性質的四維冪零向量場的超規范形問題,最終簡化了繁瑣的大尺寸矩陣運算,獲得一種新方法[5];在物理學中,Emanuele Paolini等人將微分方程向量場推廣到度量空間,并成功應用于速度場的描述中[6];在生物學中,基于瘧疾傳播SEIR模型,殷紅燕等人利用向量場以及定性分析的理論對不育蚊子進行研究,得出結論:不育蚊子釋放有利于控制蚊子導致的疾病傳播[3].基于此,本文進一步將向量場理論應用于具有弱Allee效應的捕食-食餌模型的研究中.
考慮具有弱Allee效應的Logistic模型[7]
(1)
其中,x為食餌種群密度,ε為種群的內稟增長率,K為其環境容納量.
(2)
用以下時滯模型表示捕食者種群對食餌種群的影響:
(3)
其中,a>0為時滯參數,ω為捕食者種群對食餌種群的影響系數.
(4)
其中,y為捕食者種群密度.
結合模型(3)(4)有
(5)
將u記為t,得到本文的主要模型
(6)
先對模型(6)進行定性分析,然后再利用Mathematica軟件繪制向量場圖,以刻畫種群之間的相互作用[8],最終根據平衡點周圍向量場的走向對模型進行生物解釋.
對模型(6),令
得模型平衡點為:P0=P1=(0,0),P2=(k-b,k-b).
定理1對模型(6),若k=b,則模型有唯一平衡點P0,并且其為穩定結點.
證明當k=b時,易解得模型(6)有唯一平衡點P0.
對于平衡點P0(0,0),模型(6)相應的Jacobian矩陣為
相應的特征方程為
λ2-T1λ+D1=0,
(7)
其中,T1=-1,D1=0.
由于D1=0,平衡點P0(0,0)是模型(6)的高階奇點,根據文獻[9],對高階奇點的性態分析得出平衡點P0為穩定結點.
定理2對模型(6),若k≠b,則模型有兩個平衡點P1=(0,0)和P2=(k-b,k-b),
(1)平衡點P1是鞍結點.
證明當k≠b時,易解得模型(6)有兩個平衡點P1和P2.
對于平衡點P1(0,0),同理可知其為模型(6)的高階奇點,根據文獻[10]中對高階奇點的性態分析得出平衡點P1為鞍結點.
對于平衡點P2(k-b,k-b),模型(6)相應的Jacobian矩陣為
相應的特征方程為
λ2-T2λ+D2=0,
(8)
特征根為
其中,T2=c(k-b)(2b-k)-1,D2=c(k-b)2>0.
隨后將定理1、定理2的結論分別用微分方程向量場的形式表出.
對定理1,取k=b=10,c=0.1,得圖1.從圖1可以看出:P0是穩定結點,根據生物含義有x≥0,y≥0,即區域Ⅰ部分,而P0=(0,0)表示捕食者種群和食餌種群都處于滅絕狀態.
圖1 模型(6)在平衡點P0附近的向量場圖 圖2 模型(6)在平衡點P1附近的向量場圖
從圖形的向量場可以看出,兩種群的變化趨勢有以下幾種情況:
情況1如果種群的初始狀態落在點A1的位置,隨著時間的推移,兩種群都會走向滅絕;
情況2如果種群的初始狀態落在點A2或A3的位置,隨著時間的推移,兩種群數量先增加然后減少,最后到達滅絕狀態.
對平衡點P1=(0,0),取k=150,b=50,c=0.1,得圖2.從圖2可以看出:P1是鞍結點,根據生物含義有x≥0,y≥0,即區域Ⅰ、區域Ⅱ部分,并且P1=(0,0)表示捕食者種群和食餌種群都是滅絕狀態.
從圖形的向量場可以看出,兩種群的變化趨勢有以下幾種情況:
情況1如果種群的初始狀態落在Ⅰ區域的位置,隨著時間的推移,捕食種群的數量減少,則食餌種群的數量會增加;
情況2如果種群的初始狀態落在Ⅱ區域的位置,隨著時間的推移,兩種群數量都會減少,最后到達滅絕狀態.
對平衡點P2=(k-b,k-b),取k=100,c=0.01,則b=51.02,得圖3,其中,P2=(48.98,48.98). 圖3中(a)圖表示包含平衡點P1與平衡點P2的全局圖,(b)圖表示在平衡點P2附近的局部圖.在圖形3(b)中,L表示直線x=48.98,l表示直線y=48.98,它們的交點為P2,且圖中4個區域內均有x≥0,y≥0,故初始點在區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ時有生物含義.進一步分析得出兩種群的變化趨勢有以下幾種情況:
情況1當初始狀態落在區域Ⅰ時,隨著捕食者種群數量增加,導致食餌種群數量減少;當食餌種群減少到一定程度時,捕食者種群沒有足夠的生存資源,進而使捕食者種群的數量隨之減少(見圖3(b)區域Ⅱ);當捕食者種群數量減少到一定程度時,食餌種群數量增加(見圖3(b)區域Ⅲ);隨著食餌種群數量的繼續增加,捕食者種群有充足的生存資源,從而導致捕食者種群數量增加(見圖3(b)區域Ⅳ).如此反復進行,使系統處于一種生態平衡狀態.
圖3 模型(6)在平衡點P2附近的向量場圖
情況2當初始狀態落在區域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ時,隨著時間的推移,兩種群數量的變化趨勢如同情況1,最終使系統處于一種生態平衡狀態.
總之,常微分向量場可以直觀刻畫種群間的相互作用關系,為理解種群動態的生態學機制提供參考.