Kamers-Kronig關系在反射太赫茲時域光譜測量中的應用

蔡 禾，張 景，鄭 巖，孫金海，張旭濤，李糧生，劉永強，殷紅成

1. 北京環境特性研究所，北京 100854 2. 電磁散射重點實驗室，北京 100854 3. 北京電子工程總體研究所，北京 100854

引 言

太赫茲輻射指的是頻率在0.1～10 THz(波長在3 mm～30 μm)之間的電磁波，其波段處于微波和紅外之間，其能量介于電子和光子之間，屬于遠紅外電磁輻射范疇。太赫茲技術在物質鑒定、生物醫藥檢測、無損檢測、材料研究以及航空航天領域都有獨特的應用優勢。太赫茲技術的發展很大程度離不開太赫茲時域光譜技術，太赫茲時域光譜技術是一種相干探測技術，已經成為了太赫茲領域研究必不可少的測量手段，通過太赫茲寬帶脈沖對樣品的透射、反射波形的提取，可獲得被測物質的光學參數。

已往絕大多數研究人員普遍采用透射測量方法，而透射測量具有一定局限性，只有弱吸收、低反射的材料(n?k)更適合透射測量方案[1]，大多情況下，往往面臨待測材料樣品無法被太赫茲波穿透或者材料反射了絕大部分入射能量，透射能量很弱，這樣的材料就更適合通過反射測量來獲取其介電參數。太赫茲波段，反射測量一直無法普及，最重要的原因是太赫茲波長較短，準確提取相位信息存在一定的困難。要測準獲得反射相位信息，需要測量材料反射率時放置樣品板的前表面與放置參考板前表面嚴格一致，但對于只有0.3 mm(1 THz)的波長而言，定位精度至少達到0.003 mm才能保證相位精度3.6°，這是人工放置樣品無法達到的精度。因此，盡管反射式測量具有更廣范的適用性和更高應用價值，上述問題限制了反射測量的普及。但這一現狀正在逐漸改變，一些修正太赫茲反射譜相位的方法已出現[2-4]。

研究了通過太赫茲時域光譜反射測量提取材料參數的方法，引入光學中常用的Kramers-Kronig關系應用在太赫茲波段，嘗試恢復正確的反射相位信息，為驗證Kramers-Kronig關系在相位恢復上的準確性，將提取常見材料硅的光學常數、介電參數，與另一種反射相位恢復方法最大熵法以及透射測量的結果作了比較，并利用反射測量獲取了一種具有明顯吸收峰的精神類藥品的吸收譜，驗證了該方法同樣適合處理材料的反射吸收譜數據。本文也對Kramers-Kronig關系在材料參數反演時的適用范圍、應用特點進行了討論和總結。

1 反射測量相位恢復及材料參數提取方法

1.1 Kamers-kronig關系提取材料參數

Kamers-Kronig關系最早由克拉莫斯(Kramers)和克朗尼格(Kronig)提出，之后越來越引起科學工作者的興趣，并且漸漸被用于各種實際關系問題中，大部分的測量光學常數的方法都對材料的形態或者是材料的類型都有一定的要求，有的方法只是用于一定狀態的材料或者只適用于某一種特定類型的材料，而Kamers-Kronig關系分析方法的魅力還在與它適用于各種不同形態、不同類型的材料。從無機到有機，從固體到液體，從體材料到薄膜材料，從Kamers-Kronig關系的應用范圍就可以看出其在光學測量應用中的重要性[5-6]。

傳統的太赫茲時域光譜技術在反射測量時，無法保證參考板和樣品表面嚴格處于同一位置，而太赫茲波長較短，微小的放置偏差將導致相位相差數個周期，從而導致了反演太赫茲頻段材料介電參數失敗或者錯誤。如何準獲得相位信息，是基于太赫茲時域光譜技術提取材料光學參數的關鍵問題，如果可以直接得到相移θ和反射率R之間的關系，就可通過一次性測量反射譜獲得材料的折射率n(ω)和消光系數k(ω)以及復介電常數，而Kamers-Kronig關系正是給出了反射系數的振幅和相移之間的表達式[9-10]

(1)

有了準確的反射相位，根據特定偏振，特定反射角可計算材料的復折射率

(2)

中間變量[見式(2a)和式(2b)]

(2a)

(2b)

式(2a)和式(2b)中φ1為入射角，M(ω)和W(ω)均為中間計算變量; 在垂直反射的情況下可獲得簡潔的形式[7]

(3)

(4)

根據材料的復折射率n(ω)和k(ω)，可獲得材料的介電參數以及吸收系數。

εr=n2(ω)-k2(ω)

(5)

εi=2n(ω)k(ω)

(6)

(7)

應用Kamers-Kronig關系需要注意兩個問題： 積分范圍與奇點的處理。Kamers-Kronig關系中反射率和相移的關系式(1)中，頻率積分范圍從零到無窮的，而測量頻率范圍是有限范圍[ω1,ω2]，在高能端和低能端都需要近似來補足，該積分可以分為三部分分別計算

(8)

在測量頻率范圍外無法進行積分，需要采用端點優化的處理方法，對于不同情況可以采用不同的優化方法，而最常用是有常數外推法。對于反射光譜在高頻端或者低頻端變化不明顯的被測物，未知頻段的反射率基本可以當成是常數； 即在[0,ω1]范圍內，認為其反射率R1=R(ω1)。對于高頻部分[ω2, ∞]，認為其反射率為恒定值R2=R(ω2)。因此，基于Kamers-Kronig關系反演介電參數時，對于兩端反射率隨頻率變化不明顯的材料計算結果將會更加準確，測量頻率范圍越寬，反演結果將會越準確。

在積分過程中，ω′=ω時出現奇點，該點的值可以用附近的值代替或者該點的極限值代替[9]，根據洛必達法則有

(9)

1.2 最大熵法修復相位提取材料參數

最大熵法作為一個相位恢復過程，在線性和非線性光學光譜中的適用性已得到驗證。香農奠定了子信息技術中作為基礎的熵的一般概念。Vartiainen為了解決光學反射光譜的相位恢復問題，引入了這種方法。最大熵一個主要優勢是不需要測定在整個電磁波譜的反射，而是旨在感興趣的區域測量。然而，除了反射數據，在最大熵的框架內通常需要樣品在離散頻率處的光學特性信息，以確定其復折射率。

這些在固定點處的信息通常包含樣品的復折射率的實部和虛部，由在有限光譜范圍內至少一個頻點確定。在實際中，最大熵相位恢復過程包括由以下公式(具體數學推導可以在文獻[2]中找到)得到的反射率R(ν)，即

(10)

式中歸一化角頻率ν定義為

(11)

未知的最大熵系數am和|ζ|是測量值的相關函數，可以從一組線性尤利-沃克方程獲得，即

(12)

式中相關C(t)通過反射的傅里葉變換獲得，即

(13)

相位恢復通過使用復反射率來完成

(14)

式(14)中，相位誤差φ是唯一一個不能通過測量R(ν)獲得的量。這一問題反映到最大熵相位恢復中表現為找到真正的相位φ被簡化為找到相位誤差φ，它與真正給的相位相比通常是一個更加簡單的函數。關于r(ν)的額外信息，在L+1個離散歸一化頻點Vl處決定，用于多項式估算相位誤差，即

(15)

式中，相位誤差通常是一個緩慢變化的函數，在較優情況下只需要一個或兩個固定點來確定，即此時多項式的階數很低。

1.3 實驗系統

使用了兩套系統，美國API公司生產的T-ray 5000型光纖耦合的商用太赫茲系統，作為本研究的主要測量工具如圖1所示，將發射器和接收器置于一個半圓形軌道，使其能夠實現多角度的反射測量，所有反射測量實驗均基于15°入射角進行。系統工作頻率范圍0.05～3 THz，頻譜分辨率最高1.5 GHz。另外采用日本生產的Advantest的TAS7500型太赫茲時域光譜系統，基于1 550 nm激光激發切倫科夫輻射源和光電導天線的探測機制，可實現0.5～7 THz頻率分辨率7.6 GHz。圖2為兩套系統頻譜比對，可以看到API的T-RAY 5000型的能量分布主要集中在低頻，2 THz以內信噪比較高，而Advantest的TAS7500能量主要集中在中高頻，在1.5～6.5 THz以內具有較高的信噪比。

2 結果與討論

基于反射測量以及Kamers-Kronig關系對太赫茲頻段常用的半導體材料硅的光學參數進行提取，并與另一種反射處理方法最大熵法以及透射測量方法進行比對，以驗證應用Kamers-Kronig關系反演材料光學參數的準確性。選擇高阻硅片材是因為硅在太赫茲頻段常作為半反半透材料使用，不僅能夠反射太赫茲波，同時有較低的吸收，適合透射測量，便于結果比對。

2.1 相位恢復效果比對

通過Kamers-Kronig關系和最大熵方法都可以實現對相位偏差的恢復，雖然對相位進行恢復原理不太一樣，但能夠達到異曲同工的效果。圖3為利用同一硅材料的反射測量數據，通過Kamers-Kronig關系和最大熵方法對相位進行恢復并與實驗測量相位進行比對； 可以看出實驗直接測量所得的相位斜率較大，而通過兩種方法恢復的相位更加平緩且基本一致。如果認為通過兩種方法恢復的相位相當于更接近真實情況，實驗測量的相位相對真實相位都存在一定的偏離，且這個偏離值隨著頻率的提升而升高是合理的，因為對于固定的樣品放置偏差，波長越短，相位偏差將越大。由于系統發射、接收天線的頻譜能量主要集中在低頻部分，1.5 THz以上的高頻部分的輻射功率較弱，經硅片只能反射小部分，進一步的削弱了信噪比，因此相位高頻部分存在一定的相位抖動。取圖3中1 THz處的相位誤差并參考硅在太赫茲頻段的折射率，可估算出樣品放置誤差約0.014 mm。

圖1 光纖耦合式介電參數測量系統Fig.1 Fiber coupled TDS system

圖2 兩套太赫茲時域光譜系統頻率-能量分布曲線Fig.2 Energy distribution curves of two TDS system

圖3 通過Kamers-Kronig關系、MEM方法恢復的相位Fig.3 Phase results recovered by Kamers-Kronig relation and MEM method

2.2 材料參數恢復結果比對

圖4為硅片的材料參數反演結果，包括了透射、反射測量反演的折射率(a)、消光系數(b)、復折射率實部(c)、虛部(d)，從材料參數反演結果分析，通過透射測量、反射測量反演的硅的折射率略有不同，都在3.2～3.4附近，透射測量反演的硅材料的折射率在3.4水平，而反射測量分別通過最大熵(MEM)以及(Kamers-Kronig)關系反演硅的折射率略低，兩種反射處理方法都使用了同一次測量數據，細微的差異主要來自于兩種不同的相位恢復方法。Kamers-Kronig關系反演方法更依賴于測量頻段曲線端點的數據，通常采用線性外推，外推值并非真實反射率，造成了與實際值存在一定差異，MEM法反演的結果更依賴于最大熵法譜估計技術的準確度。

圖4 硅片的材料參數反演結果 (a)： 折射率； (b)： 消光系數k； (c): 介電常數實部; (d): 介電常數虛部Fig.4 Inversion result of silicon wafer’s material parameters (a)： The refractive index； (b)： Extinction coefficient； (c)： Real part of permittivity； (d)： Imaginary part of permittivity

2.3 吸收譜的提取

基于反射測量提取吸收譜一直是時域光譜需要克服的困難之一，基于Kamers-Kronig關系同樣可以用于吸收譜提取。為了驗證這一過程，測量了一種精神類藥品卡馬西平的吸收譜，之所以選擇該藥品是因為其在1.23 THz也有尖銳的吸收峰，在2 THz以內整體吸收較弱，同時又有一定的反射，既可以透射測量也可反射測量，方便兩種方法進行比對。樣品為粉末狀，樣品制備時在卡馬西平樣品中摻了沒有明顯吸收的聚乙烯粉末增加粘性，壓片后放入系統進行測量。如圖5所示，分別通過透射、反射方法對樣片進行了測試，并計算了其吸收譜，幅度進行了歸一化以便比較。雖然透射可獲得2 THz的吸收譜，但由于反射譜高頻反射信號較弱[10]，吸收譜只能計算到1.5 THz，通過Kamers-Kronig關系和最大熵(MEM)處理的反射測量數據在1.24 THz處的吸收峰相互吻合較好，且與透射測量吸收峰位與有些研究結果一致。由于反射測量采用Kamers-Kronig變換時，其相位穩定度完全依賴反射率的積分，因此計算出的相位曲線抖動較大。

圖5 精神類藥物卡馬西平的吸收譜測量Fig.5 The absorption spectrum of carbamazepine

2.4 兩種方法的使用范圍討論

利用Kamers-Kronig關系反演材料參數的方法，理論上若能獲得全頻段的反射率的情況下，反演結果才足夠準確，但對于實際情況，只能測量有限頻段的反射率，其余部分采取外推近似的方法，因此會引入誤差。為了評估拓寬測量頻段帶來的多大的改善效果，分別采用API(0.1～2 THz)和Advantest(1～4.5 THz) 兩套系統的測量其反射率，再利用Kamers-Kronig關系對反射率的拼接結果進行反演獲得硅在0.1～4.5 THz的材料參數，結果如圖6所示，從結果可以看出，拓寬測量頻率對材料的光學參數影響并不大。即擴展測量頻率范圍對于反射率在整個頻段較平坦的材料適用，測量更寬的頻帶必要性不大。

Kamers-Kronig關系和MEM的適用范圍有些區別，Kamers-Kronig關系的優勢是只需要獲得材料的反射率幅度，恢復相位的過程中無需借助測量的相位進行，因此該方法不僅可以用于太赫茲時域光譜技術，也適用于如傅里葉變換光譜儀(FTIR)等非相干測量裝置。而MEM方法的優勢是無需反射率外推，更適合相干測量使用。此外，Kamers-Kronig關系聳用于反射率在測量頻率范圍內變化不大的物質。反射率在全頻段浮動較大的物質，會影響相位的恢復精度，從而影響材料反演材料參數的精度。

圖6 透射和反射法測量的硅折射率和消光系數比較 (a)： 折射率； (b)： 消光系數Fig.6 Comparison of refractive index and extinction coefficient of silicon by transmission and reflection measurement (a)： The refractive index； (b)： Extinction coefficient

值得注意的是，無論是Kamers-Kronig關系法還是MEM方法提取材料參數時都會出現較大的噪聲，原因是在相位恢復過程中都用到了反射率，Kamers-Kronig關系法的相位恢復利用了反射率的積分，MEM法通過計算相位誤差時也用到了反射率，即幅度噪聲傳遞到了相位中，而透射測量中，相位由直接測量的時域波形變換而得，因此用，Kamers-Kronig關系和MEM法處理反射測量數據時，處理的材料參數的抖動將高于透射測量。因此用以上兩種反射處理方法時，如信噪比不足夠高的情況下，對數據進行一定的平滑才能得到較好的結果。

3 結 論

為了解決反射式太赫茲時域光譜數據的準確提取問題，將Kamers-Kronig關系引入太赫茲時域光譜系統的反射譜處理過程，該方法能夠較好地恢復反射相位信息從而用于材料復折射率、復介電常數、吸收譜等反演，該方法與另一種反射測量處理方法-最大熵法以及透射測量得到的結果都能夠實現相互印證，證明了該種方法提取材料參數具有較好的準確性。該方法有效的解決了長久以來時域光譜技術只應用于透射測量的技術困境，使太赫茲時域光譜測量更具實用價值。Kamers-Kronig關系非常適合處理太赫茲波無法穿透的高吸收材料或者對太赫茲波具有高反射特性的材料參數提取過程，不僅可應用于相干測量，也適用于不能獲得相位信息的非相干測量，如FTIR測量數據。Kamers-Kronig關系適用于反射率在測量頻率范圍內變化不大的物質，反射率在全頻段波動較大的物質，會影響反演材料參數的精度。本研究成果對于利用反射式太赫茲時域光譜系統獲取材料太赫茲波段的光學參數提供了一種有效方法，解決了反射測量無法準確提取材料參數的困境，使太赫茲時域光譜技術可滿足更寬的應用范圍。