基于動態閾值函數的改進小波包遙測信號去噪方法

胡 健，玄志武，劉 學，徐洪洲

(中國人民解放軍91550部隊，遼寧 大連 116023 )

0 引言

在進行飛行器試驗時，通過利用遙測信號來獲取飛行器的工作狀態和環境數據，為評定性能和故障分析提供依據。因此，遙測信號的好壞影響到對飛行器性能的判斷和改進，以及飛行故障的原因分析和部位定位。由于遙測信號在試驗中易受到環境噪聲和測量噪聲的干擾，所以在進行遙測數據處理前，對遙測信號進行去噪預處理是必不可少的重要步驟。

早期采用傅里葉變換法[1-3]來去除遙測信號噪聲，在處理有效信號和噪聲信號重疊較多的情形時效果不太理想，具有局限性。小波變換[4-6]因具有較好的時頻局部化特性，特別適用于非平穩信號分析，近年來在遙測信號去噪領域得到了廣泛應用。但是小波去噪法不對高頻細節信號進行分解，較難刻畫信號的局部邊緣特性。因此雖然小波分析方法比傳統的傅立葉方法消除噪聲干擾效果好，但有時并不是十分理想。小波包去噪法[7-9]是在小波去噪法的基礎上，對信號分解后的各個頻段同時進行分析。小波包分析與小波分析相比，由于同時對上一級分解信號的低頻和高頻部分進行分解，能夠進一步去除高頻信號中的噪聲，提高了頻率分辨率，對于細節信號刻畫更加精細。

小波包去噪的關鍵是閾值的選取及閾值函數的定義，為提高小波包去噪法的效果，針對閾值選取開展了大量研究。目前較為常見的小波包去噪法閾值準則有4種：固定形式閾值準則(Sqtwolog)、自適應閾值準則(Rigrsure)、啟發式閾值準則(Heursure)、極小化極大閾值準則(Minimaxi)。其中，去噪效果最好的是Sqtwolog準則，但是也最易造成有用信號的丟失，適合高頻段使用。最保守的是Minimaxi準則，但能夠保證有效信號不易丟失，適合低頻段使用。因此，文獻[10-11]采用了多閾值準則的小波包去噪方法，對小波包分解的高頻系數和低頻系數采用不同的閾值準則處理，提高了去噪效果。對于閾值函數的定義，目前普遍使用的是閾值函數，它是由Donoho提出的硬閾值函數和軟閾值函數。其中，硬閾值函數可以較好地保留信號邊緣等局部特性，但是由于不連續，使得重構信號出現原有信號沒有的振蕩，所以適合突變信號。軟閾值函數處理信號時具有較好的連續性，處理效果相對平滑，但去噪后信號幅值會出現與原信號偏差的情形，適合處理平滑信號。針對軟、硬閾值函數的研究，文獻[12]通過控制噪聲和信號之間的過渡區域的衰減程度，更加符合自然信號的連續性；文獻[13]提出一種基于Shannon熵的自適應小波包閾值去噪算法，實現在不同噪聲強度背景下，閾值函數的平滑過渡。這些通過改進閾值函數的方法，擴大了小波包去噪方法的適用范圍。

本文在傳統小波包去噪方法的基礎上，提出一種基于動態閾值函數的改進小波包遙測信號去噪方法：1)首先根據小波包分解后的不同頻段，根據各分頻段的特征，采用不同的閾值準則，來代替單一閾值準則;2)其次對閾值函數進行改進，構建一個介于硬閾值函數和軟閾值函數之間并可切換的動態閾值函數，通過在閾值函數中量化待分解信號的平滑程度，來改變新閾值函數的軟硬程度。在處理信號平滑部分時，動態閾值函數向軟閾值函數轉變，在處理信號突變部分時，動態閾值函數向硬閾值函數轉變。最后，利用本文所提方法與傳統小波包方法對仿真算例信號進行去噪比較，結果表明本文方法對信號去噪后，能在保持良好信號邊緣特性的同時，有效減小振蕩，具有更好的去噪效果。

1 小波包去噪理論

小波變換主要適用對信號的低頻部分進行分解，較難對高頻部分進行分解，因此去噪效果不夠精細。而小波包信號可以沒有遺漏地對信號全頻進行分解，因此不會丟失信號高頻部分的有用信息。其信號分解的過程是利用高-低通共軛濾波器將信號進行分解，這過程中會引起各層分解信號的頻率順序與節點的順序不一致。以3層小波包分解為例，其分解結構如圖1所示。

圖1 3層小波包分解結構圖

小波包去噪的步驟如下：

1)選取合適的小波包分解層次，利用小波包分解公式，對信號進行小波包分解；

其中，小波包的分解公式如式(1)：

(1)

式中，dj2n和dj2n+1分別表示第j層第2n個節點和第j層第2n+1個節點的小波包系數。h和g為濾波器系數。

2)選取最優小波包基，確定最優樹：小波包基是一組小波包的正交規范基，因此對于需要去噪的信號，小波包基可以有很多個。在進行小波包去噪時，根據不同的小波包基的時頻特性進行選取，最終的去噪效果也會不同。為了達到最好的去噪效果，在用小波法去噪時，會采用選取最優小波包基來提高去噪效果。選取最優小波包基方法是，通過一個熵標準，利用代價函數取最小值時來確定最優小波包基。

3)進行閾值計算和閾值函數處理：通過閾值法來確定小波包系數，使得有效信號分量對應的小波包系數較大，而噪聲信號分量對應的小波包系數較小。然后通過與閾值的比較，只保留大于閾值的小波包系數，而比閾值小的小波包系數則被舍去忽略不計，這樣就把噪聲信號分量給消去了。閾值法適合用于信噪比較大的信號消噪處理，其中閾值的選擇是關鍵，若閾值取得過于保守，在消噪的過程中可能會損失部分有用信號，若閾值選擇過小，則去噪效果不理想。

4)根據小波包重構公式，通過利用閾值處理后的小波包系數進行小波包重構。

小波包重構公式如式(2)：

(2)

2 改進的小波包去噪方法

由于飛行器在飛行試驗過程中，通常存在飛行狀態的改變，改變過程中測量參數往往會在平緩變化下突然發生較大改變，飛行器遙測信號是既包含平滑成分也含突變成分，因此在去噪的過程中，不能簡單地認為低頻段反映的是有用信息，高頻段的是噪聲。此時若使用傳統閾值函數法進行去噪處理，不能在保持良好信號邊緣特性與消除恒定偏差的同時，又能避免出現信號原本沒有的振蕩。

本文針對遙測信號復雜成分，提出一種基于動態閾值函數的改進小波包遙測信號去噪方法，主要分為閾值準則的選取，和對閾值函數進行改進，引入平滑因子根據信號實時改變閾值函數軟硬程度，步驟如下所述。

2.1 閾值準則選取

目前4種常用的閾值準則表達式如下所示：

1)固定形式閾值準則(Sqtwolog)。其表達式形式固定，如式(3)所示：

(3)

式中，N為信號的長度，σ為信號噪聲標準差。

2)自適應閾值準則(Rigrsure)。其表達式如式(4)所示：

(4)

式中，Q為根據無偏似然估計得到的分解系數平方。

3)啟發式閾值準則(Heursure)。其表達式如式(5)所示：

(5)

式中，W為長度為N的信號小波包分解系數平方和。

4)極小化極大閾值準則(Minimaxi)。其表達如式(6)所示：

(6)

由于4種閾值準則根據頻率分布均有自己的適用范圍，因此只選用一種閾值準則對小波包分解系數進行處理有可能造成過度去噪或者去噪效果不理想。本文采用文獻[11]所提的分段閾值準則，根據頻段選用合適的準則，其選取如表1所示。

表1 分段閾值準則

2.2 改進的動態閾值函數

目前廣泛使用的傳統閾值函數是Donoho提出的軟硬閾值函數，其表達式如式(7)和式(8)所示：

(7)

(8)

傳統的硬閾值和軟閾值函數都存在各自的缺點：對于硬閾值函數，當小波包原始分解系數小于閾值時，將其清為零，大于時則保持不變，這種處理方式適合處理突變信號，但這種不連續的處理方式，在處理平滑信號時，容易錯誤的重構出系統原本沒有的振蕩。對于軟閾值函數，當小波包原始分解系數小于閾值時，將其清為零，大于閾值時則將原始小波包系數的絕對值與閾值的差作為處理后的小波包分解系數，這種處理方式適合平滑信號，但這使得去噪后信號幅值存在恒定差值，喪失高頻特征，影響重構精度。

為了改進傳統閾值函數法的不足之處，本文提出了一種新的動態閾值函數，首先用參數R來量化信號平滑程度，其表達式如下：

(7)

式中，N為信號長度，Rn為第n個信號點的平滑程度的量化值，其取值在0～1之間，當R為0的時候表示信號值在此刻值與前一刻值不變，值越大表示信號突變程度越大。提出改進的閾值函數表達式如式(8)所示：

(8)

根據式(8)可知，

(9)

(10)

再對所提閾值函數進行分段分析：

(1)當|d|≥λ時：

(2)當Rλ≤|d|<λ時：

當R值為最大值1時，Rλ=λ，式(8)等號右邊第二式可以和第一式合并，變為硬閾值函數；

當R值為最小值0時，Rλ=0，式(8)等號右邊第二式可以和第三式合并，變為軟閾值函數；

3 實驗結果與分析

采用仿真信號和試驗算例對本文所提的基于動態閾值函數的改進小波包去噪方法，同傳統小波包硬閾值函數法、軟閾值函數法進行性能對比驗證，選擇信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)來對比各方法的去噪效果。

(11)

(12)

3.1 仿真信號分析

構造仿真信號如式(13)所示：

ψ(τi,θi)=

(13)

其中：n(t)為高斯白噪聲，信號長度N=1 024，采樣頻率為fs=10 kHz，A=[4.5,6,4]和θ=[π/6,π/4,π/3]和分別為給定的幅值和初始相位向量，驅動頻率fr=1 kHz，阻尼系數ξ=0.01，τ=[0.02,0.06,0.1]為脈沖起始時刻，T為脈沖持續時間，n(t)為加入-2 dB的高斯白噪聲。

通過對比db系列小波包基函數輸出信噪比后，采用db4小波包基函數進行5層小波包分解，表2為去噪效果對比，圖2為原始信號，圖3為含噪信號圖，圖4～6分別為傳統小波包軟閾值函數法、硬閾值函數法、以及本文方法的去噪效果。

圖2 原始信號

圖3 含噪信號

圖4 軟閾值法去噪效果

圖5 硬閾值法去噪效果

圖6 本文方法去噪效果

去噪方法SNRRMSE軟閾值法27.570 70.720 4硬閾值法31.349 30.567 3本文方法33.896 80.499 5

由圖4可以看出，用傳統小波包軟閾值去噪方法進行去噪時，雖然原始信號平滑部分獲得了較好的去噪效果，但是遇到信號突變時，丟失了原始信號的高頻特征；由圖5可以看出，用傳統小波包硬閾值去噪方法進行去噪時，由于閾值函數的不連續性，在信號發生突變前后，重構信號出現了原始信號和含噪信號都沒有的振蕩；由圖6可以看出，用所提方法進行去噪時，高頻特征得到了保留的同時，在信號突變前后，并未在增加原始信號沒有的振蕩信號，對噪聲信號起到了較好的去噪作用。

由表2對比可以看出，本文所提方法提高了信噪比，降低了均方根誤差證明了本文方法的有效性。

3.2 試驗信號分析

選取飛行器試驗過程中某壓力遙測信號進行分析。通過對比db系列小波包基函數輸出信噪比后，采用db4小波包基函數進行6層小波包分解，圖7～9分別為傳統小波包軟閾值函數法、硬閾值函數法、以及本文方法的去噪效果示意圖。

圖7 軟閾值法去噪效果

圖8 硬閾值法去噪效果

由圖7可以看出，用傳統小波包軟閾值去噪方法對遙測信號進行去噪時，信號平滑段發生突變后，高頻特征存在丟失；由圖8可以看出，用傳統小波包硬閾值去噪方法進行去噪時，由于閾值函數的不連續性，對于信號發生變化較多的部分，重構信號雖然高頻特征得到恢復，但是振蕩變得更劇烈了；由圖9可以看出，用所提方法進行去噪時，高頻特征得到了保留的同時，在信號突變前后，并未在增加原始信號沒有的振蕩信號，對噪聲信號起到了較好的去噪作用。

圖9 本文所提方法去噪效果

通過算例對比，證明本文方法在處理既含突變又含平滑信號時，比傳統小波包法具有更好的去噪效果。

4 結束語

針對傳統小波包去噪方法的閾值函數在處理既含突變又含平滑信號的情形下，不能在保持良好信號邊緣特性與消除恒定偏差的同時，又能避免出現信號原本沒有的振蕩的問題，本文通過采用改進閾值函數的方法，利用量化反映信號的平滑程度的信息來對閾值函數進行調整，使得去噪方法在處理既含平滑又含突變信號時，能夠分別采用適合各信號特征的閾值函數進行處理，避免了去噪后出現信號原本沒有的振蕩的同時，有效保留信號的高頻特征，提高重構精度。