一種基于期望最大化的多目標軌跡擬合算法

劉 禹，李 培,盛驥松

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

在現代和未來戰爭中，隨著戰爭空間日益復雜化、目標環境多樣化，為了更準確地獲得打擊目標，需要借助偵測信息對目標軌跡進行擬合。傳感器采集到的測量值，由于受到環境中噪聲等因素的影響，使得測量值存在一定的誤差，且現代雷達信號樣式繁雜，偵察設備難以精準捕獲同一批次的完備信息，且同一目標容易出現多批次問題，利用批次對目標進行軌跡擬合，容易造成軌跡分段、軌跡信息缺失等問題。鑒于此，本文提出一種宏觀進行軌跡擬合的思路。本文將軌跡擬合拆分為2個主要階段，即：軌跡個數估計和軌跡擬合。本文將軌跡個數作為先驗知識，重點研究軌跡擬合問題。

傳統軌跡擬合可分為3個類型：(1)現代智能類算法；(2)參數估計算法；(3)統計方法[1]。本文提出基于期望最大化(EM)的多目標軌跡擬合算法，在傳統EM統計的基礎上進行理論遷移，實現多軌跡融合算法。本文主要分為4個部分：(1)對EM算法進行介紹；(2)論述本文思路以及創新點；(3)針對不同算法進行仿真分析；(4)全文總結。

1 EM算法

EM算法[2-6]解決的問題可表述為：給定輸入——觀測變量數據Y，隱變量數據Z聯合分布P(Y,Z|θ)，條件分布P(Z|Y,θ)；估計輸出——模型參數θ。對于輸入模型，利用最大似然準則，可建立目標函數：

(1)

對于上述優化問題，若觀測變量完備，則準則函數L(θ)可借助最大似然估計(MLE)準則求解。但由于隱變量Z的存在，準則函數沒有閉式解，一種思路是將P(Z|θ)看作已知，進一步求解參數θ，如此反復迭代，最終完成求解。但如此求解存在2點不足：(1)MLE求解過程中，存在分子分母求和、積分項，反復迭代增加運算復雜度；(2)不能確保該迭代操作滿足收斂條件。為了解決這兩點不足，A.P.Dempster提出了EM算法。首先，考慮第i次迭代后的準則函數不小于原始準則函數，根據JENSEN不等式：

(2)

省去對θ(i)的極大值而言是常數的項，由上式進一步得出：

θ(i+1)=

(3)

EM算法具體步驟如下：

步驟1：選擇參數的初始值θ(0)，開始迭代；

步驟2：E步(求Q(θ,θ(i)))：記θ(i)為第i次迭代參數θ的估值，在第i+1次迭代的E步，計算：

Q(θ,θ(i))=EZ[lgP(Y,Z|θ)|Y,θ(i)]=

(4)

式中：P(Z|Y,θ(i))P(Z|Y,θ(i))是給定觀測數據Y和當前參數估計θ(i)下隱變量Z的條件概率分布。

步驟3：M步(在隱變量條件概率密度給定的前提下，利用MLE實現參數估計)求使Q(θ,θ(i))最大化的θ，確定第i+1次迭代的參數的估計值θ(i+1)：

(5)

步驟4：重復步驟2、3，直到滿足收斂條件。

至此，完成了EM算法的整個推導過程。

2 多軌跡擬合算法

2.1 混合高斯模型

根據上文推導，對于混合高斯模型(GMM)，只要求解P(Zj∈Yk|Yj,Θ(i))即可。其中Zj∈Yk表示第j個觀測點來自第k個模型，Θ表示參數的集合。對于K個混合高斯模型，利用全概率公式，容易得到：

(6)

進一步寫出準則函數：

(7)

式中：θk=[μk,σk],為分布k對應的參數;Θ={θ1,θ2,…,θK},為參數集合;N為樣本個數。

(8)

偏微分求解：

(9)

得：

(10)

對各分布內部參數θk進行優化，給出準則函數：

(11)

對于高斯分布：

(12)

對參數求偏導：

(13)

(14)

至此完成了混合高斯模型的整個求解。

2.2 混合拉普拉斯模型

不同混合模型，參數形式不同，高斯模型因為是偶次冪而易于求解，對于奇次冪求導存在符號函數，難以直接求導迭代，因此解決奇次冪求解的問題，將進一步提升混合模型的普適性(不局限于高斯模型、拉普拉斯模型)。對于拉普拉斯分布：

(15)

式中:μ為均值；b為陡峭系數。

對于K個模型的混合分布：

(16)

E步驟與混合高斯模型求解相同，對于任意混合模型均適用。M步驟里系數的求解操作同樣適用各種模型，對于陡峭系數b求解：

(17)

對均值求解：

(18)

此時無法完成迭代求解，換個角度，在迭代的最終狀態，可以認為i次參數與i+1次參數近似相等[8]，從而上面的求導結果轉化為：

(19)

從而完成均值的迭代:

(20)

至此完成奇次冪混合模型的參數求解。

2.3 混合線性模型

討論不同的分布，主要是考慮傳感器接收到的雷達信號存在的噪聲特性不同。上文已解決了大部分隨機平穩噪聲場景的參數求解，不失一般性，假設傳感器接收到信號的噪聲為高斯噪聲。下面論述如何從基于EM的混合分布模型遷移到軌跡擬合算法。

對于單條軌跡，可以借助最大似然(MLE)等算法進行軌跡擬合，但對于多條軌跡，該算法難以直接應用。假設一堆數據點(xj,lj)，由2條直線軌跡產生：

(21)

式中：n1j、n2j分別為對應的隨機噪聲。

雖然無法直接利用MLE求參，但不同軌跡的噪聲，可以看作是混合模型的應用，對應到這里就是混合高斯模型：

(22)

可以認為lj-akxj就是GMM中的Yj，bk就是μk。直接套用GMM中的迭代結果：

(23)

(24)

所不同的是，多了一個對ak的求解，容易得出：

(25)

至此，理論推導完成。

上文以線性軌跡舉例，推導了線性多軌跡擬合的可行性。更一般地，噪聲模型可由高斯模型推廣至其他多種混合模型；對于線性軌跡，同樣可以推理到多種類型的軌跡模型。更一般地：

(26)

g為一般表達式，如GMM就是g=ax+b，更一般的g理論上可以為任意表達式,如圖1。

圖1 軌跡擬合示意圖

只要將g的具體表達式代入EM求解過程即可。事實上，混合模型理論上可以實現各類形狀的聚類，而噪聲同樣可以基于不同的分布假設：(1)常見的K-means本質是對于中心點(聚類中心)的分布假設；(2)高斯混合模型是對于斜率為0的直線(GMM的均值)的分布假設；(3)各種軌跡的擬合是EM算法的一般應用。

3 仿真試驗

仿真環境：假設2批目標在不同的線性軌跡上，且由于作用距離不同，2個軌跡的參數誤差不同，仿真基于式(26)所描述的軌跡模型，目標數量K取2；噪聲為y(i)=0.5×x(i)-3+100×R和y(i)=-7×x(i)+2+50×R，是高斯白噪聲,其中R為隨機數。

利用本文提出的多軌跡擬合算法，仿真結果如圖2所示。

圖2 軌跡擬合結果

從圖2中可以看出，本文提出的多軌跡擬合算法很好地擬合出了軌跡，仿真結果驗證了本文算法的有效性。

4 結束語

本文作為多軌跡融合算法的新的嘗試，跳出傳統單批次信息不足、多批次可能對應同一目標等局限性，從宏觀上論述了軌跡擬合理論的可行性，并進行仿真驗證。該算法可以作為傳統軌跡擬合的輔助信息，在整體上尋找軌跡將有利于目標參數的進一步深度融合。本文提出的軌跡擬合算法在應用層面、理論層面都存在一定的不足，但作為該方向的一個初步的探索，解決了部分理論難題，并梳理出初步的理論架構，仍然具有重要的借鑒意義。