具有弱耦合無奇異特征的空間移動并聯機構及運動學分析*

季 曄

(洛陽理工學院機械工程學院，河南 洛陽 471023)

0 引言

并聯機構具有剛度大、無累計誤差、承載能力強等優點，但其輸入、輸出關系非線性、強耦合、存在奇異性等諸多不利因素也給機構運動學分析、動力學建模和計算帶來困難。因此，解耦或弱耦合且無奇異的并聯機構是有利于實時控制的，更易于實際應用。

通過理論推導，得出強耦合非線性方程組解析解往往非常困難，因此一些學者嘗試利用機構綜合方法，設計輸入、輸出解耦并聯機構。文獻[1]提出了一種零耦合度且運動解耦的非對稱三平移并聯機構，并分析了其運動學特征。文獻[2]以螺旋理論為基礎，綜合出解耦的三平移并聯機構的各支鏈，選取其中三個分支組合得到一種具有全局各向同性的新移動解耦機構。文獻[3]基于方位特征方程的并聯機構拓撲設計理論與方法，提出一種低耦合三平移并聯機構。上述文獻中的并聯機構易于得到輸入、輸出關系解析表達式，除了三平移并聯機構外，具有轉動自由度的解耦或弱耦合的三自由度并聯機構也有報道，文獻[4]設計了一種可實現兩平移一轉動輸出運動的半對稱弱耦合并聯機構。文獻[5]提出的一種新型低耦合度3T1R非全對稱并聯機構，并進行了剛度性能分析。文獻[6]提出一種無耦合二自由度轉動并聯機構型綜合的系統方法。

輸入、輸出弱耦合或解耦為并聯機構實現高精度位置控制奠定了基礎，然而，奇異位形的存在同樣會影響機構控制效率。本文利用螺旋理論分析一種CRR拓撲結構支鏈，與其他無約束螺旋的支鏈結合，設計一種新型弱耦合、無奇異空間移動并聯機構。建立機構輸入、輸出位置關系方程，通過理論推導得出正、逆位置關系的解析表達式。分析機構的工作空間和奇異性，并采用五次多項式對動平臺中心進行軌跡規劃，得到機構運動學特征和規律。

1 機構構型設計

查閱文獻[7]發現，CRR支鏈可以具有兩個約束力偶，拓撲結構如圖1所示。

圖1 CRR支鏈結構

圖中C表示圓柱副，R表示轉動副，在C副處建立笛卡爾坐標系，C副的運動軸線位于x軸，支鏈的運動螺旋系為:

(1)

其中，N1、N2、N3和N4為非零實數，數值由支鏈尺度參數決定。

支鏈的約束螺旋系為：

(2)

(3)

因此，選用兩條CRR支鏈可以約束運動平臺三個轉動自由度。

對運動平臺無約束支鏈種類較多，根據運動螺旋滿秩的要求，典型的支鏈結構包括SPS、UPS和CPS等?？紤]運動靈活性，目前并聯機構常采用SPS和UPS支鏈[8-9]。SPS支鏈存在一個局部自由度，選取UPS支鏈作為機構的無約束螺旋驅動支鏈。

根據修正的Kutzbach-Grübler公式，采用兩條拓撲結構相同的CRR支鏈和一條UPS支鏈作為驅動支鏈，機構的自由度為:

(4)

式中，F為機構的自由度數；λ為機構的階數；n為構件數目；g為運動副數目；fi為第i個運動副的自由度數；ν為去除公共約束后的冗余約束數目；ζ為機構中存在的局部自由度。

可實現空間三移動自由度，機構簡圖如圖2所示。

圖2 2CRR/UPS并聯機構

2 機構輸入的選取

機構的奇異性和運動學跟輸入的選取密切相關，因此需要先確定機構的驅動[10]。選取C1副、C2副和P3副為驅動副。根據并聯機構輸入選取原理[11]，鎖住驅動副，運動平臺自由度為零，說明輸入選取合理。

在固定平臺(地面)上建立固定坐標系O-xyz，C1副和C2副運動軸線平行于{O}坐標系y軸和x軸；U3副運動軸線與x軸和y軸平行。在運動平臺中心點建立動坐標系O′-x′y′z′，鎖住三個驅動需要三個約束力，在{O}坐標系下，約束力螺旋系為:

(5)

rank(＄r)=6

(6)

此時，運動平臺不再具有任何移動和轉動自由度，說明機構輸入選取合理。

3 機構運動學分析與模型建立

(1)位置正、逆解關系方程

C1副和C2副的運動引起運動平臺中心點變化，存在：

h1=y

(7)

h2=x

(8)

h1為C1副在{O}坐標系下的位置；h2為C2副在{O}坐標系下的位置。

U3副在{O}坐標系下的矢量是(A3x;A3y;0)T，S3副在{O′}坐標系下的矢量是(a3x;a3y;0)T：

(9)

P為動平臺中心點，{O′}坐標系在{O}坐標系下的位置矢量，表示為(x;y;z)T；

a3為S3副在{O}坐標系下的位置矢量。

l3在{O}坐標系下的的矢量表示為：

l3=a3-A3

(10)

UPS支鏈長度滿足：

(11)

式(7)、式(8)和式(11)為機構位置逆解，根據這三個方程可以推導出：

y=h1

(12)

x=h2

(13)

(14)

式(12)～式(14)為機構位置正解。

(2)機構輸入、輸出速度關系方程

式(7)、式(8)和式(11)對時間求導，得到：

(15)

Jinv為機構速度逆Jacobian矩陣，其為單位陣，即Jinv=I3×3；

Jdir為機構速度正Jacobian矩陣，即：

其中，

(3)機構輸入、輸出加速度關系方程

式(15)對時間求導，得：

(16)

式(17)為輸入、輸出加速度關系方程，λ表達式為：

(17)

4 機構奇異性分析

機構的奇異位形可以根據正、逆速度Jacobian是否滿秩判定。顯然，無論機構處于什么位姿，Jinv滿秩。只需要分析Jdir不滿秩的情況：

(18)

當z=0時，機構出現奇異。機構在正常運動狀態下，此類奇異不會出現，因此可以認為機構不存在奇異。

5 機構工作空間分析

在固定坐標系{O}下，C1副和C2副運動范圍均為[-0.5,0.5]；l3支鏈的長度變化范圍為[1,1.2]。在動坐標系{O′}下，各鉸點位置坐標為R1(-0.3;0;0)T，R2(0;-0.3;0)T，S3(0.3;0;0)T。在固定坐標系{O}下，各鉸點初始位置坐標為C1(-0.5;0;0)T，C2(0;-0.4;0)T，U3(0.5;0;0)T，單位為m。機構中心點的工作空間如圖3所示。

圖3 運動平臺中心點工作空間

機構工作空間呈球面狀，做x-z截面和y-z截面工作區域，如圖4所示。

(a) x-z截面(b) y-z截面圖4 工作空間截面圖

通過工作空間計算發現，區域沿y軸對稱分布，連續且無空洞。

6 機構運動學數值計算

在工作空間內，機構運動平臺中心點從位置F(0.3;-0.1;0.9)T移動到位置H(0.4;0.1;0.95)T。要求運動時間為5 s，機構的運動初始和終止時刻的速度和加速度均為零，采用5次多項式軌跡，中心點運動方程為：

P=s0+s1t+s2t2+s3t3+s4t4+s5t5

(19)

從初始時刻t0的到終止時刻tf坐標值P(1)、P(2)和P(3)滿足：

(20)

把F到H點的位置、速度和加速度條件代入式(20)，求得運動平臺中心點坐標值軌跡方程為:

(21)

將式(21)帶入式(11)、式(15)和式(16)分別得到驅動支鏈l3的長度、速度和加速度變化曲線如圖5所示。

(a) 長度變化曲線 (b) 支鏈速度變化曲線

(c) 支鏈加速度變化曲線圖5 支鏈運動學參數變化曲線

將式(21)帶入式(7)、式(8)、式(15)和式(16)分別得到C1副和C2副位置、速度和加速度變化，如圖6所示。

(a) 位置變化曲線(b) 速度變化曲線

(c) 加速度變化曲線

通過圖5和圖6發現，中心點以5次多項式曲線運動過程中，機構支鏈l3逐漸伸長，速度和加速度曲線連續、平滑，符合起始、終止速度和加速度為0，運動過程平穩。C1副和C2副運動軌跡與中心點y坐標和x坐標規劃軌跡相同。

7 結論

(1)利用螺旋理論通過對CRR支鏈分析，結合UPS結構支鏈，設計了一種新型三平移并聯機構。選取各支鏈輸入，證明機構設計和運動的合理性。

(2)分析了機構輸入、輸出運動關系，推導出運動學正、逆位置解析關系；對機構位置關系方程求導，得到了機構速度關系方程和Jacobian矩陣。機構輸入、輸出關系部分解耦，通過分析速度Jacobian矩陣，發現機構不存在奇異位形。機構中心點工作空間連續規則，軌跡規劃時無需考慮奇異點和空洞的影響。

(3)根據中心點變化條件，采用五次多項式進行軌跡規劃，得到了機構輸入參數的運動學變化規律。該機構輸入、輸出運動學關系簡單，易于實現精確實時控制。