輪式移動機器人預定時間軌跡跟蹤控制

郜冬林，裴以建，朱久德，許文慧，劉云凱

(云南大學 信息學院，云南 昆明 650500)

近年來，機器人的研究快速發展，輪式機器人在社會生活中應用的越來越廣泛，如家庭服務、安保巡邏、無人快遞等. 非完整系統的控制問題因具有理論挑戰性和廣泛的使用性吸引了大批研究者.在文獻[1]中，作者通過設計自適應控制器來實現非完整輪式機器人的軌跡跟蹤. Wang等[2]通過基于測量的方法控制非完整移動機器人的避障.Zhang和Chu等[3-4]設計了可使非完整系統固定時間穩定的控制律. 輪式機器人作為典型的非完整系統，其軌跡跟蹤問題是吸引眾多研究者的熱點方向. Luan等[5]提出的軌跡跟蹤算法可應用于存在隨機網絡時延情況下的軌跡跟蹤控制. 存在多領導的情況時，Jin等[6]提出的算法可使二階多智能體系統存在擾動時實現軌跡跟蹤，Hu等[7]設計的自適應控制器可實現在有向通信拓撲下的軌跡跟蹤.

文獻[8]提出的控制律可使誤差漸近穩定，即當時間趨向于無窮時，誤差收斂到零,因為誤差收斂時間過長，所以很難應用到實際中. 文獻[9]提出的控制律可使誤差在有限時間內收斂到零，誤差的收斂時間與其初始值有關，當初始值很大時，該控制律效果很差. 文獻[4]提出的控制律使得誤差系統成為固定時間穩定的系統，文中只能給出誤差收斂時間的上界，無法給出確切的誤差收斂時間，在對誤差收斂時間有嚴格要求的應用中，使用該控制律無法得到很好的效果.

得益于有限時間控制技術的快速發展[10]，一些預定時間控制方法被提了出來. 文獻[11]的控制方法可以較為方便地計算出誤差的收斂時間，但是計算出的理論收斂時間遠大于誤差的實際收斂時間. 文獻[12]給出的方法雖然可以得到精確的收斂時間，但是該控制方法只能應用于二階鏈式系統，不能應用到受非完整約束的系統. 本文利用預定時間控制技術，結合輪式移動機器人的運動學特性，提出了可使受到非完整約束的輪式移動機器人與參考信號之間的跟蹤誤差在預定時間收斂的控制律，彌補了上述文獻中所提控制律的不足，并利用Matlab仿真驗證了本文提出控制律的有效性.

1 預備知識及問題描述

圖 1 非完整輪式機器人Fig. 1 Nonholonomic wheeled mobile robot

受非完整約束的輪式移動機器人模型如圖1所示，機器人的中心位于連接兩后輪的車軸的中心，前輪位于垂直于后軸且相交于后軸中點的直線上.機器人在全局坐標系中的坐標為P= [x,y,θ]T，(x,y)為機器人中心在全局坐標系中的坐標，θ為機器人前進方向與X軸之間的夾角.

機器人的運動學模型可由下列微分方程描述：

其中，v、ω分別為機器人的線速度和角速度.

機器人受到的非完整約束的條件為y˙cosθ?x˙sinθ=0，即車輪與水平地面之間只有純滾動，無滑動.

定義 1：全局有限時間穩定[13]非線性系統

x∈Rn是系統的狀態， φ ∈Rp是系統的參數，f:R≥0×Rn→Rn為非線性函數，使得f(t, 0;φ)=0，即x=0為系統（2）的平衡點，t0∈ R≥0為系統的初始時刻，×指集合的笛卡爾積. 如果系統（2）的原點為全局漸近穩定且系統（2）的任意一個解x(t,t0,x0) 都在有限時間內收斂到原點，即當t≥t0+T(t0,x0),x(t,t0,x0)=0，T:R≥0×R →R≥0為穩定時間函數，則稱系統（2）為全局有限時間穩定的系統.

定義2：固定時間穩定[13]如果系統（2）的原點是全局有限時間穩定的，且穩定時間函數是有界的，即 ?x0∈Rn,t0∈R≥0,?Tmax＞0, 使得T(t0,x0)≤Tmax，稱系統（2）為固定時間穩定的系統.

定義3：預定時間穩定[14]如果系統（2）是固定時間穩定的系統，系統的穩定時間Tp和系統參數及初始條件無關且可由用戶提前設定，則系統（2）稱之為預定時間穩定的系統. 機器人預定時間軌跡跟蹤問題即設計合適的控制律u= [v,ω]T，使得機器人在預先設定好的時間T跟蹤上由參考位姿Pr=[xr,yr,θr]T和參考輸入ur= [vr,ωr]T所描述的模型的軌跡，參考軌跡與機器人運動軌跡如圖2所示.

圖 2 參考姿態與機器人姿態Fig. 2 Reference posture and robot posture

定義跟蹤誤差為Xe=xr?x，Ye=yr?y， θe= θr?θ. 對跟蹤誤差進行坐標變換[15]：

對（3）式求導可得到誤差系統模型為

可將誤差系統看作是由一個二階子系統（4）、（5）和一階子系統（6）構成.

2 控制器設計

引理 1[14]對非線性系統（2），令D? Rn為一個包含平衡點x= 0 的定義域. ψ1(x) 和 ψ2(x) 為定義在D上的兩個連續正定函數. 如若存在一個連續可微的實值函數V:I×D→R≥0，I=[t0,tf) 為有限時間區間，其中，t0為初始時刻，tf為收斂時刻，存在η≥ 1，使得

則系統的平衡點x=0是預定時間穩定的平衡點，且收斂時間T=tf?t0.

假設 1機器人可以完全獲得參考信號的速度和角速度信號，且參考輸入的角速度 ωr≠ 0.

假設 2參考信號的輸入滿足C2,C3≤ |ωr|≤C4.C1,C2,C3,C4均為大于零的已知常數.

由跟蹤誤差模型，可將機器人對軌跡的跟蹤控制分兩步設計：

第1步：設計機器人的角速度輸入，使角度誤差系統的狀態 θe在t=tθ時收斂到零. 根據（6）式，tθ為角度誤差收斂時刻，設計 ω 的控制律為

其中， α1≥ 1，tθ=t0+Tθ，Tθ為用戶根據需求所設定的角度誤差的收斂時間.

第2步：當t≥tθ時，此時 ω = ωr,θe=0，帶入系統（4）、（5）可得

此時僅需考慮設計速度v即可. 設計v的控制律為

其中， φ (ye,t)= α2(eye?1)/[ωreye(tf?t)]， α2≥1， α3≥1，tf=tθ+Tf，tf為位置誤差收斂時間Tf為 預定的位置誤差收斂時間.

定理 1在假設1和假設2條件下，角度誤差系統（6）在控制律（7）的作用下，將在預定時間tθ到達0，并在t＞tθ后，機器人與參考信號之間的角度始終一致.

證明將（7）式代入（6）式可得

即證明在t=tθ時， θe=0， 選擇Lyapunov函數：證明完畢.

定理 2在假設1和假設2的條件下，應用控制律（10）可使機器人與參考信號之間的位置誤差在預定時間tf到達0，且在t≥tf后，機器人與參考信號之間的位置始終一致.

證明利用反步法設計v[16]. 首先將xe看作（9）的輸入，設計xe使得ye預設時間穩定. 令xe=并取Lyapunov函數V2(ye)=ye2，與證明定理1類似，可知ye將在預先給定的時間tf穩定到原點.

對（8）式設計v時，可先使xe穩定到原點，再追蹤參考信號. 當tθ≤t＜tf時，令v=v1?v2，v1=vr+ωrye，帶入（8）式可得

應用變量替換z=xe?φ(ye,t)，帶入（8）、（9）式可得誤差系統新表達式為

圖 5 機器人運動軌跡Fig. 5 The trajectory of robot

3 仿真驗證

在Matlab中對本文提出的控制律進行驗證，取 α1=α2=α3=2，ωr=(t+1)/(t+2)，vr=3+sint，角 度 誤 差 θe的 穩 定 時 間 為Tθ=2 s，位置誤差(xe,ye) 的穩定時間Tf= 2 s，初始時間t0= 0，誤差初始值 θe(0 )=2，xe(Tθ)=5，ye(Tθ)=2. 誤差變化曲線分別如圖3、圖4所示. 機器人在平面上的運動軌跡如圖5所示.

圖 3 角度誤差變化曲線Fig. 3 The curve of angle error

圖 4 跟蹤誤差變化曲線Fig. 4 The curve of tracking error

由圖3可看出在t= 2 s時，機器人和參考信號之間的角度誤差收斂到零；在t＞ 2 s后，機器人和參考信號之間的角度誤差始終為零. 角度誤差收斂后，機器人開始追蹤參考信號的軌跡，機器人位置與參考信號位置之間的誤差變化曲線如圖4所示，在t=Tθ+Tf=4 s時，軌跡誤差收斂到零并在此之后始終保持為零. 由于位置誤差系統為二階系統且其必須在預定時間收斂到零，所以位置誤差的收斂曲線不像角度誤差一樣由初始值直接收斂到零，會有一個超調量，但是超調部分遠小于誤差系統初始值,不會造成系統發散. 在角度誤差和位置誤差都收斂后，機器人的角速度和線速度也將與參考信號保持一致，由圖5可看出，當機器人追蹤上參考信號之后，機器人與參考信號的軌跡將始終重合，說明控制律（7）、（10）是有效的.

4 結論

本文通過應用預定時間收斂的控制方法，針對具有非完整約束的移動機器人設計了角速度和線速度的控制律，使得機器人在跟蹤角速度不為零的目標時，跟蹤誤差的精確收斂時間可以根據實際情況提前設定. 現有的軌跡跟蹤控制方法中，只能計算出誤差收斂時間的上界，不能得到精確的誤差收斂時間，本文提出的控制律可以直接提前設定收斂時間，因此提出的控制律相較于已有的控制律，可應用范圍更廣，仿真結果證明了該方法的有效性.在實際生活中，編隊追蹤的應用更加廣泛，下一步會將預定時間軌跡跟蹤控制方法結合多智能體控制，研究多機器人編隊的預定時間軌跡跟蹤.