蘇 玖
真題再現 (2021·全國甲卷理科第16 題)已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部
思維延伸:本題考查三角函數的周期性、對稱性、最值等性質,以及如何通過三角函數圖象判斷函數值的大小,從而得出不等式的最小正整數解.
改編1
原題可由圖象求解析式,解析式的表達方式不唯一,如2020年新高考山東卷第10 題(多選題),于是可改編為:
(多選題)已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖1所示(見真題圖),則2cos(ω x+)φ=( )
圖1
點撥:此題關鍵是要讀懂圖提供的信息,如周期是怎樣體現出來的?如何刻畫最高點或最低點?對稱中心在哪里?然后再求出相關參數的值.
改編2
也可以將三角函數圖象與三角形的相關幾何量結合,得到:
已知函數f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分圖象如圖2所示,點A,C是兩個相鄰的最高點和最低點,點B為對稱中心,O為坐標原點,OA⊥AC,且△AOC的面積為8.(1)求f(x) 的解析式;(2)求不等式(f(x)-f(-6))(f(x)-f(12))>0最小正整數x的值.
圖2
點撥:如果從函數的解析式上出發求解不等式,運算量較大,但可以利用函數圖象找出不等式的最小正整數解.
改編3
如果結合函數圖象變換再求新函數的單調區間,于是有:
已知函數f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,點A,C是兩
個相鄰的最高點和最低點,點B為對稱中心,O為坐標原點,OA⊥OC,且△AOC的面積為(1)求f(x)的解析式;(2)將f(x)的圖象上各點的縱坐標不變,橫坐標伸長為原來的倍,將所得到的函數圖象向右平移個單位長度,得到函數g(x)的圖象,求g(x)的單調增區間.
圖3
點撥:利用函數圖象變換求出g(x)的函數解析式,根據正弦函數的單調增區間求出新函數的增區間.
改編4
可以將弦函數圖象與圓結合,再進行圖象變換,求新函數的值域或最值,如:
已知函數f(x)=Asinωx(A∈ N*,ω>0)的圖象在圓x2+y2=4 內至少有一個最大值點和一個最小值點.(1)求ω的取值范圍;(2)當最小正周期T為最大正整數時,將f(x)的圖象向左平移個長度單位,再將得到的圖象縱坐標伸長為原來的2 倍,得到g(x)的圖象,當時,求g(x)的值域.
圖4
點撥:根據弦函數的圖象至少有一個最高點與最低點在圓內,可得振幅與周期的不等關系式,再根據振幅是正整數,可以確定T的范圍,即可求出f(x)的解析式,從而求出g(x)的解析式,這樣就得到值域.
改編5
也可以給出函數的奇偶性、單調區間和對稱中心來確定解析式,如:
已知函數f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω≠ 0)是偶函數,其圖象關于點對稱,且在上單調遞增,求φ及ω的值.
改編6
如果已知函數的定義域和值域,又可以改編為:
已知函數f(x)=定義域為值域為[-1,5],求a,b的值.
點撥:先利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數式,根據函數的最值,再利用分類討論思想確定a與b的值.
改編7
若含有參數的三角函數圖象對稱性特征及經過特殊點都給出,結合三角函數求值問題又可以改編為:
已知函數f(x)=asinωx+bcosω x(ω>0,ab≠0)的圖象經過點和相鄰兩條對稱軸之間的距離為
(1)求f(x)的解析式;
點撥:由三角函數圖象性質可得相鄰兩條對稱軸間的距離是半個周期,再結合圖象過兩個點建立方程組,求出解析式.根據已知銳角的組合式的三角函數值,利用拆角變換求出銳角的正弦值.
改編8
將三角函數的單調性與導數結合、圖象與函數的零點結合,又可以改編為:
已知函數f(x)=2cos2x+(2a-1)sinx+a-2,(1)若f(x)在區間上單調遞增,求a的取值范圍;(2)是否存在整數a及正整數n,使f(x)在開區間(0,nπ)上有2 023 個零點?若存在,求出所有a及n的值;否則請說明理由.
點撥:首先利用導數研究函數的單調性,求出a的取值范圍;其次利用因式分解,將函數零點轉化為兩個正弦函數圖象與特定直線的交點個數問題,最后利用分類討論思想和函數周期性求解.
回顧悟道:從一道填空題出發,結合三角函數圖象與性質進行改編.
策略一:由誘導公式可知,同一三角函數圖象可以有多個解析式,于是改編為多選題,如改編1;
策略二:根據三角函數圖象的對稱性與周期的關系,從三角形的特征出發(如面積、垂直等)進行改編,如改編題2-4;
策略三:根據函數圖象經過定點來確定參數的取值,再變換為新函數,研究新函數的性質(如單調性、值域等),如改編題5-7;
策略四:研究函數式中參數的存在性問題,改編為探索性題目,如改編題8.
參考答案
真題:2
改編題:1.BC 2.(1)f(x)=2sin;(2)x=5.3.(1)f(x)=;(2)(k∈Z).4.(1);(2).5.φ=2kπ-6.a=2,b=-1,或a=-2,b=5.7.(1)f(x)=2sin;(2)sinα=.8.(1);(2)當a=0 時,n=1012;當a=1 時,n=1349.
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小試牛刀
高考真題(2021·北京卷理科第14題)若點P(cosθ,sin)θ與點關于y軸對稱,寫出符合題意的一個θ值:_________.
命題意圖:根據高考真題的題型——開放型,引導編擬關于三角問題中開放型試題,培養發散性思維能力.
改編提示:(1)從奇偶性角度改編;(2)從值域確定解析式不唯一視角改編;(3)給出條件寫出一個解析式;(4)從參數取值不唯一改編成多選題.