王盈慧
有這樣一道立體幾何多選題引起了我班同學的熱烈討論.
問題(多選題)如圖1,菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,E是AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折至△A1DE的位置后,連接A1C,A1B,若F是A1C的中點,則在翻折過程中,下列說法正確的有( )
圖1
A.異面直線A1E與DC所成的角不斷變大
B.二面角A1-DC-E的大小最大為30°
C.點F到平面A1EB的距離恒為
D.當A1在平面EBCD的投影為E點時,直線AC1與平面EBCD所成角最大
剪一個如題中所述菱形,按題意翻折,觀察點A的運動變化規律,并觀察點F隨之如何運動變化,直觀感知二面角A1-DC-E、直線A1C與平面EBCD所成角的變化.
變化1:如圖2,顯然,A1E掃過的區域是個半圓面,且與底面垂直,直線A1E與BE所成的角先變大,到后再變??;
圖2
變化2:對于二面角A1-DC-E,直觀感知點A1位于距平面EBCD最遠處時其二面角最大,直線AC1與平面EBCD所成角也是最大;
變化3:對于AC1的中點F,將點C看作位似中心,感覺F也在一半圓弧上運動,該半圓面與前述半圓面平行,且處在點C與半圓面之間的中間位置.
若利用幾何畫板畫出動態圖形,如圖2,拖動點A1在其軌跡上運動,由位似觀點可知點F到平面A1EB的距離恒為事實上,因為F是A1C的中點,故它到平面A1EB的距離為點C到平面A1EB距離的一半,所以恒為
初步判斷選項A 錯,C 對,B 與D 有待進一步探究.
如圖3,顯然題中A1E⊥DE,BE⊥DE,所以DE⊥平面A1BE,故有平面A1BE⊥平面BCDE.
圖3
進一步地,在平面A1BE內過點A1作BE的垂線,垂足為H,在平面BCDE內過點H作CD的垂線HK,垂足為K,連接A1K,則∠A1KH即為二面角A1-DC-E的平面角.
連接CH,則∠A1CH即為直線A1C與平面EBCD所成角.
在Rt△A1HK中,的值不變(為),所以當A1H取最大值1時tan∠A1KH值最大(為),即銳角∠A1KH最大(為30°),所以二面角A1-DC-E最大(為30°).
有疑問:是否仍然是點A1位于距平面EBCD最遠處時,即A1E⊥BE時,直線A1C與平面EBCD所成角最大呢?
其實不然.在Rt△A1CH中,tan∠A1CH=當翻折角度超過時,A1H減小,CH減小,的增減無法判斷.
敲黑板
可見并非點A1位于距平面EBCD最遠處時直線AC1與平面EBCD所成角最大,看來對該選項的 “直觀想象”導致了誤判.
事實上,設二面角A1-ED-A的大小為θ,即∠A1EB=π-θ,則有向線段EH的數量為cosθ(與方向同向為正).
故Rt△CKH中CK=2+cosθ,所以CH=
令t=2+cosθ,t∈(1,3),所以(*)式
由基本不等式知,當t=即cosθ=-2時(*) 式取到最大值,相應的∠A1CH最大,即直線A1C與平面EBCD所成角最大.
建立如圖4所示的空間直角坐標系,記直線AC1與平面EBCD所成角為φ,設∠BOA1=α,則A1(cosα,0,sinα),結合故
圖4
又平面EBCD的一個法向量當即時取到最大值,即直線AC1與平面EBCD所成角最大.
再認識1:選項B 中,由于CD∥BE,當動點A1距平面EBCD最遠時二面角A1-DC-E最大,但若CD與BE不平行,則結論并非如此.
再認識2:選項D 中,若取直線ED上的點C′(不同于點E),則也是當動點A1距平面EBCD最遠時直線AC1′與平面EBCD所成角最大,可由(其中A1C′為定值)確定,但題中直線AC1與平面EBCD所成角則不然,影響其大小的兩個量都在變化,需作圖、推理、建模、計算.
證明:只需取A1D中點M,構造如圖5中的平行四邊形BEMF,即得BF長為定值.
圖5
可見,合理運用恰當的思維就顯得非常重要.
此外,結合上述分析過程,還可以直觀感知BF也是一圓錐的母線,其長應為定值,如前圖2.
練習:如圖6,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分別在線段AD,BC上,且AE=1,BF=3.沿EF將四邊形AEFB翻折成A′EFB′,則在翻折過程中,二面角B′-CD-E的正切值的最大值為________.
圖6
參考答案:如圖7,設二面角B-EF-B′的大小為θ,作BG⊥EF于G,B′H⊥BG于H,則有向線段GH的數量為所以其最大值為當時取到.(可用兩點連線的斜率數形結合解得,也可以利用輔助角公式).
圖7