二維不平度路面的空間域濾波重構及仿真

王漢平， 張哲， 張寶振

(北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

1 路面不平度的濾波重構法

路面不平度常被假設為一均值為0、不同截面具有相同統計方差的平穩隨機過程. 國標GB/T 7031-2005用功率譜密度函數(PSD)來表達其不平度狀況，PSD表達式為

(1)

式中：n∈(n1,n2)=[0.011,2.83]m-1,為空間頻率;n0為參考空間頻率，通常取0.1m-1;Gq(n0)為參考空間頻率下的路面不平度系數，路面按好壞等級分為A～H共8級，路面等級不同，其取值也不相同；w為頻率指數，一般取2.

引入截止空間頻率n1來構造穩定的動態濾波系統，以確保在白噪聲激勵下響應量的功率譜特性能與標準路面譜逼近[7]，即

(2)

式中：空間圓頻率Ω=2πn;j為虛數. 最終，反演出單輪轍空間域路面不平度的白噪聲濾波方程(路面不平度生成模型)為

(3)

2 基于輪轍功率譜密度陣LU分解的模擬算法

雙輪轍不平度的功率譜矩陣為[10]

(4)

相干函數coh(n)的定義為

(5)

經過大量試驗給出了一種描述不同路面和輪距的路面不平度相干函數[11-12]

(6)

式中：B為左右輪的輪距;ρ為跟路面有關的經驗值，由此可知coh(n)∈[0,1]. 所以式(4)中的功率譜矩陣可進行LU分解，即分解為一個下三角矩陣與其轉置的乘積，形如：G(n)=Η(n)HT(n)，其一個特解為

(7)

于是，可以構造兩個相互獨立、譜值為1的白噪聲w1(x)、w2(x)，其對應的傅里葉變換為W1(n)、W2(n)，則左右輪轍不平度與兩個白噪聲之間滿足傳遞函數為[H(n)]的傳遞關系，即：

(8)

于是，對式(8)中的QL(n)進行空間域白噪聲濾波轉化，即為

(9)

(10)

(11)

式(10)和式(11)兩式均能保證其特征方程的根值在左半S平面(見表1)，也就是能保證系統的穩定性.

特征根階次coh(n)展開1-coh2(n)展開1-8.50 +1.74j-4.7432-8.50 -1.74j-1.2273-7.47 +5.25j-0.4144-7.47 -5.25j-0.1645-5.03 +8.99j-0.0586-5.03 -8.99j-0.0137—-0.939+2.84j8—-0.939- 2.84j

圖1 相干函數coh(n)及其P(6,6)階Pade展開曲線的對比Fig. 1 Coherence function coh(n) vs its P(6,6) Pade expansion

圖2 函數及其P(8,8)階Chebyshev-Pade展開的對比 vs its P(8,8)Chebyshev-Pade expansion

3 路面生成及結果檢驗

式(8)(10)及(11)的組合，就是路面不平度的空間域濾波模擬模型，利用Matlab對表達模型的常微分方程組編寫了路面不平度曲面生成程序，對不同等級路面進行了大量的仿真驗證，模擬所得的路面功率譜與標準譜吻合良好，左右輪相干性與參考函數也具有較好的一致性. 篇幅所限，在此不便一一列出，而僅就ρ=1時的D級路面，即：Gq(n0)=1 024×10-6(m2/m-1)的仿真情況進行展示. 圖3所示路面縱向長度L=2 000 m，輪轍距離B=5.0 m，路面等級為D級，空間頻率范圍從0.011～2.83 m-1，垂向偏移為0的兩方法生成的兩輪轍路面不平度曲線. 從中不難看出路面不平度整體上的波動特性，而且在整體波動的基礎上，還附帶有更高頻的擾動.

圖3 D級路面的模擬隨機路面不平度(B=5.0 m，ρ=1)Fig.3 Simulated road profiles of D-grade road(B=5.0 m，ρ=1)

圖4 D級路面左右輪路面不平度功率譜密度函數對比Fig.4 Simulated PSD of D-grade road roughness for left and right tracks

圖5 D級路面左右輪路面不平度相干性對比Fig.5 Coherence of D-grade road roughness for left and right tracks

圖6模擬的寬度為5 m,ρ=1的路面的不平度表面，由此可見，模型對于構造二維的任意寬度的路面不平度表面均具有較好的適應性.

圖6 D級路面不平度路面仿真結果Fig.6 Simulation road surface of D-grade road

4 結 論

為保證穩定性，采用截止空間頻率重構了傳遞函數，即路面不平度的白噪聲濾波方法；基于雙輪轍功率譜密度陣的LU分解得到了白噪聲濾波傳遞函數陣的解析表達，對傳遞函數陣中所涉及的相干函數直接采用Pade展開，對涉及相干函數的復雜超越函數使用Chebyshev-Pade展開，實現了白噪聲濾波傳遞函數的高效率、高精度的有理化；路面不平度的仿真結果表明，各輪轍的自功率譜與標準功率譜吻合較好，輪轍間的相干性也與參考模型也具有較好的一致性，從而驗證了基于功率譜密度陣LU分解所得到的白噪聲濾波傳遞函數及其超越函數的Pade展開、Chebyshev-Pade展開近似處理方法具有較高的數值可信度，能較好地用于二維路面不平度的模擬，并具有較高的計算效率. 空間域路面不平度的模擬表明，不同輪轍的功率譜密度函數、相干函數均與標準函數吻合較好，這驗證了所建模型的可信性及仿真方法的有效性，為車輛路面運輸動力學仿真的空間域路面建模提供了一種高效、可信的方法.