基于虛擬孔徑擴展的稀疏嵌套陣設計

閆肅

(北京理工大學 信息與電子學院，北京 100081)

近年來稀疏陣列因其在減少陣元和增加自由度方面的優勢而備受關注[1-2]. 通過對接收信號的協方差矩陣矢量化，能生成一個等效的差分共陣(difference co-array,DCA)，其自由度(degree of freedom,DOF)從O(N)增大到O(N2)[1]. 在虛擬陣列上使用子空間方法[2]或壓縮感知方法[2]，可以檢測到空間中的更多信源，獲得更高的空間分辨率. 基于該方法，許多稀疏結構[1-6]及應用[7-10]相繼被提出，其中最著名的是嵌套陣[1]和互質陣[2-3].

基于子陣的陣元間距和陣元數的互質性，提出的互質陣列[2-3]，被用來避免空間混疊，降低陣元間耦合，其自由度沒有明顯提升. 嵌套陣列(nested array,NA)[1]由N1+1個位于Sd={l|l∈[1,N1+1]}且陣元間距為1個單位的密集陣元，與N2個位于Ss={(N1+1)l|l∈[2,N2+1]}且相鄰陣元間距為N1+1個單位的稀疏陣元組成. 其任意兩陣元的位置差可以產生任意非負整數v=v1(N1+1)+v2，其中v1∈[0,N2]，v2∈[0,N1]. 因此，其DCA連續長度為N2(N1+1)+N1. 由于受到其無孔特性的限制，如果不擴展物理孔徑，嵌套陣將無法獲得更高自由度. 為解決這個問題，文獻[7]提出的ANAI結構，將密集子陣分為兩個子陣R11和R12(R11∪R12=Sd)，并把R12移到稀疏子陣的右側. 因此，在[0,N2(N1+1)+N1]范圍內的虛擬陣元仍然是連續的. 此外，由v=N2(N1+1)+v2(其中v2∈R11⊕R12)產生的額外虛擬段會使自由度增加. (符號⊕代表兩個子陣的直和. )基于ANAI概念，進一步提出了改進的嵌套陣列(improved nested array,INA)[9]和ANAI-2[5]. 本文將這種中間具有稀疏均勻線陣(uniform linear array,ULA)且兩側具有兩個稀疏非均勻線陣的嵌套陣列，稱為三段式嵌套陣(3-segment nested arrays,3sNA). 此結構能有效地增大DOF. 但由于R11和R12中的最大元素不大于N1，其最大自由度不會超過(N1+1)N2+2N1-1. 為突破這一限制，需要放寬R11∪R12=Sd這個條件.

本文根據v=v1(N1+1)+v2=(v1-1)(N1+1)+(N1+1+v2)這種變形表示，提出了通過減少中間子陣傳感器數目和擴大N1+1單側子陣陣元間距來生成非負整數v，構造分布更加稀疏的嵌套陣列方法. 基于該方法，本文進一步提出一種新型稀疏結構——單側稀疏嵌套陣(one-side sparse nested array,OS-SNA). 與最大陣元間距約束(maximum inter-element spacing constraint,MISC)[10]結構不同的是，OS-SNA的N1既可以是奇數也可以是偶數. 并且提供了更高的DOF和完整的結構解析表示.

1 差分共陣概念

(1)

(2)

DS=S-S={Δp=pi-pj|?pi∈S,?pj∈S}

在{Δp|Δp∈[-Lu,Lu]}處提取等效的ULA，其中Lu為自由度，并且在z中平滑相應的行，可獲得虛擬單快拍

(3)

2 稀疏嵌套陣策略及OS-SNA結構

2.1 稀疏嵌套陣策略

定義一個整數ξ和集合A的加法：ξ±A={ξ±a|ξ∈Z,a∈A}. 為了后續研究方便，本文用相對位置代替物理位置表示稀疏陣.

定義1相對位置(relative position，RP) 對于中心子陣有N2個元素位于(N1+1)l,l∈[2,N2+1]的三段式嵌套陣，相對位置定義為

(4)

式中物理傳感器的位置為S,其相對位置可以表示為{l,l∈S}.

注意0∈R11且0∈R12. 根據相對位置表達式，可以通過S={N1+1-r|r∈R11}∪{(N1+1)r|r∈[2,N2]}∪{(N1+1)(N2+1)+r|r∈R12}獲得相應的傳感器物理位置. 如圖1所示，在一個N1=5，N2=3的ANAI-2結構中，物理傳感器位于S={1,2,4,6,12,18,24,25,27},其相對位置為R11={0,2,4,5},R2={6,12,18},R12={0,1,3}.

(5)

圖1 N1=5和N2=3的ANAI-2結構的虛擬段和RP表示Fig.1 The RP representation and the virtual lags generation of ANAI-2 with N1=5 and N2=3

為了突破上述極限，一個可行方法是增大陣元的間距，增大R1和R2中的最大數. 但陣元的稀疏分布可能會造成差分共陣的不連續. 為了獲得盡可能大的連續范圍，本文提出了以下稀疏嵌套策略. 當v1∈[1,N2],v2∈[0,N1]時，將v=v1(N1+1)+v2重新寫成v=(v1-1)(N1+1)+(v2+N1+1). 可以發現v3=v2+N1+1是v2的有效替代. 這說明可以在中間子陣放置較少的傳感器和增加兩側子陣的離散度，在差分共陣中生成一個無孔的Vbody. 例如，對于N1=10的情況，數字12可以代替1獲得整數11n+1，其中的n可以是從1開始增大的任一整數. 也就是說，如果在R11或R12中存在1，那么23可以由11×2+1表示；如果R11或R12中沒有1，23也可以由11×1+12表示. 對于以上所述的稀疏嵌套陣的相關概念，只要在R[R11∪R12]N1+1中的余數能夠包含的[0,N1]所有整數,虛擬段[N1+1,(N1+1)(N2+1)-1]就是連續的.R[N]m是{n/m|n∈N}的余數. 因此，大可不必將傳感器放置得很密集，更廣的稀疏度依然可以生成連續段.

2.2 單邊稀疏嵌套陣結構

基于之前的策略，本文提供一種解析結構，該結構將右側子陣元素從v2∈[0,N1]拓展到N1+1+v2∈[N1+1,2N1+1]，用以生成更長的連續范圍.

定義2單邊稀疏嵌套陣(one-side sparse nested array,OS-SNA)對正整數N1=2l，l≥5且N2≥1，OS-SNA由整數集合定義為

(6)

對N1=2l-1，l≥6的結構，整數集合具有下列形式：

(7)

該結構具有下列性質.

定理1對N1≥10的偶數，OS-SNA的自由度可以表示為Lu=(N1+1)N2+3N1-3. 對N1≥11的奇數，OS-SNA的自由度可以表示為Lu=(N1+1)N2+3N1-2.

證明

1) 考慮偶數N1=2l≥10，根據上述的相對位置表達式,可以推斷：

②R[R11∪R12]N1+1={0,l∶2l-3,2l,1∶l-1,2l-2,2l-1}=[0,N1]；

③R11?R12={0,l,l+2∶2l-3,2l‖l+1,2l+1,2l+3∶3l-2,3l+1‖2l+2,3l+2,3l+4∶4l-1,4l+2‖2l+3,3l+3,3l+5∶4l,4l+3‖…‖3l,4l,4l+2∶5l-3,5l‖4l-1,5l-1,5l+1∶6l-4,6l-1‖4l,5l,5l+2∶6l-3,6l}?[2l+2,6l-3]=[N1+1,3N1-3].

所以,上述的相對位置表達式能夠使正向差分共陣在[0,(N1+1)N2+3N1-3]范圍內連續. 自由度Lu=(N1+1)N2+3N1-3.

2) 考慮奇數N1=2l-1≥11，則

②R[R11∪R12]N1+1={0,l-1,l+1,2l-3∶2l-1,1∶l-2,l,l+2∶2l-4}=[0,2l-1]=[0,N1].

③R11?R12={0,l+1,2l+1∶3l-2,3l,3l+2∶4l-4‖l-1,2l,3l∶4l-3,4l-1,4l+1∶5l-5‖2l-3,3l-2,4l-2∶5l-5,5l-3,5l-1∶6l-7‖2l-2,3l-1,4l-1∶5l-4,5l-2,5l∶6l-6‖2l-1,3l,4l∶5l-3,5l-1,5l+1∶6l-5}={0,l-1,l+1}∪[2l,6l-5]?[2l,6l-5]=[N1+1,3N1-2].

所以,上述相對位置表達式的OS-SNA結構能夠使正向差分共陣在[0,(N1+1)N2+3N1-2]范圍內連續. 自由度Lu=(N1+1)N2+3N1-2.

圖2 N1=10，N2=2時的OS-SNA的結構示意Fig.2 The SNA concept illustrated by the proposed OS-SNA with N1=10 and N2=2

3 仿真實驗

3.1 自由度

首先，將NA、ANAI-2、INA、MISC的自由度與提出的OS-SNA的自由度進行比較. 假設以上所有結構中有N2個元素位于(N1+1)l，l∈[2,N2+1] 的子陣中. 如表1所示，OS-SNA 的自由度是最大的，其次是MISC、INA、ANAI-2和NA. 對于MISC，在N1為偶數時表達式不存在. 對這幾種不同的結構分別能達到的自由度上限來說，本文提出的策略在理想情況下有可能自由度達到(N1+1)N2+3N1. OS-SNA結構可以識別比上限少2～3個數量的信源. MISC實際上是SNC概念的框架，它滿足定理1，但是自由度比OS-SNA低.

表1 不同的三段式嵌套陣的自由度比較

3.2 DOA估計

在NA、INA、ANAI-2、MISC、MRA和提出的OS-SNA 6種結構中，假設有D=23個不相關信源均勻入射在-30°～30°的區間內. 圖3給出了這6種嵌套陣的單次DOA估計結果. 傳感器數N=13,N1=11,N2=1.Smra={1,2,3,9,16,17,27,37,47,50,54,56,59}. 信噪比為10 dB. 蒙特卡洛次數K=2 000. 本文進行了200次蒙特卡洛試驗. 可以看出，NA、INA、ANAI-2、MISC的MUSIC估測結果中，DOA估計是有明顯錯誤的. 只有OS-SNA和MRA有著更高的自由度，能夠得到正確的預測.

圖3 6種結構的DOA估計Fig.3 DOA estimations for six kinds of nested arrays

然后，考慮了14個傳感器11個信源的情況(N1=11,N2=2). 其他參數與上述實驗相同. 圖4(a)為在-15～20 dB的信噪比和快拍數為2 000下的均方根誤差結果；圖4(b)為固定信噪比為10 dB時的快拍數與均方根誤差的變化. 如圖4所示，OS-SNA比其他4種嵌套陣均方根誤差更小且更接近MRA.

圖4 均方差估計Fig.4 RMSEs

4 結 論

為了在三段式嵌套陣中擴展連續段的長度，本文提出了一種策略，該策略通過將中心子陣借出N1+1長度到兩側子陣來使陣形更加稀疏化. 在此基礎上，本文提出了一種新的具有完整解析表達式的結構，該結構具有比現有嵌套陣列更高的自由度. 仿真結果驗證了其有效性.