高速旋轉炮彈寬海拔彈道解算方法

丁天寶， 何朝， 王良明， 林智偉

(1.西北機電工程研究所, 陜西 咸陽 712099; 2.南京理工大學 能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094)

0 引言

以射表為基礎計算火控射擊諸元是高炮武器的傳統方法，具有快速、便捷、準確等特點，被廣泛應用[1]。以前，我國高炮武器高原射表多以平原低海拔試驗結果為基礎，經過簡單轉換而來，在高原實際射擊結果誤差較大[2-4]。

高炮平原彈道和高原彈道差異很大[5]。以某高炮為例，45°射角、斜距離4 000 m，海拔0 m和海拔4 500 m彈道高度差如圖1所示。

圖1 某高炮高原彈道與平原彈道差異Fig.1 Difference between plateau and plain ballistics of antiaircraft gun

目前，寬海拔射表編擬技術存在以下問題：

1)常用高炮武器射表基于平原射擊結果編制，在平原地區的射表精度能夠保證。由于高原特殊的地理環境和復雜的天氣條件，高原彈道試驗困難；在高原靶場未建成之前，無法開展射表試驗[6]。

2)采用4自由度修正質點彈道模型解算彈道時，增加考慮彈丸自轉運動和與此相關的彈丸動力平衡角計算模型。但是在高射角時，動力平衡角近似計算會有較大誤差[7]。

3)傳統高炮武器射表基于零海拔編制，一般采用炮兵標準氣象條件[8-9]，射表中的修正量計算方法是線性近似微分法。零海拔射表中的各個修正系數在高原條件下偏差量較大，會造成較大誤差。

4)傳統射表編擬時，海拔高度變化沒有充分考慮雷諾數變化對彈丸阻力系數的影響[10]。

5)高原空氣稀薄、干燥，阻力小，彈丸起始擾動衰減慢，起始擾動和彈丸姿態運動變化對平均彈道的影響考慮不充分。

6)彈丸轉速影響其姿態，彈丸旋轉速度越高，其陀螺效應越強，彈丸攻角隨彈道上升變化大，隨之影響飛行過程所受阻力，反過來進一步影響其動態穩定性。

7)即使有了平原射表和簡易高原射表，在高原和平原海拔分界線(3 000 m)上下[11]，射表誤差相對較大，單獨使用某個射表時會引入原理誤差。

為了解決上述高原和寬海拔彈道解算中的問題，本文提出高速旋轉炮彈寬海拔彈道解算和射表研制方法。創建彈丸非線性姿態運動模型，用于解決高速旋轉彈起始擾動所導致姿態運動在高原空氣稀薄時衰減較慢對平均彈道影響；創建彈丸阻力系數隨海拔變化模型、彈道符合系數與射角關系模型，用于解決高原彈道阻力隨海拔非線性變化對彈道解算的影響。結合高平原射表階梯抑制方法，形成了適應寬海拔(0～4 500 m)的高精度彈道解算和射表研制新方法。

1 彈道解算數學模型

1.1 影響高原彈道解算的主要因素

影響高原彈道解算的主要因素有：

1)高原彈丸姿態運動；

2)高原雷諾數隨海拔變化；

3)高原氣象條件。

在傳統彈道模型中，對彈丸起始姿態運動影響和雷諾數隨海拔變化通常不予考慮。彈丸起始擾動在高原空氣稀薄時，衰減很慢，對平均彈道有較大的影響。雷諾數隨海拔高度不同而變化，阻力系數隨海拔高度變化。通過研究發現，這些因素是造成用平原彈道模型外推高原彈道的主要誤差來源。因此，為了保證高原彈道解算的準確性，必須充分考慮彈丸起始姿態運動和雷諾數隨海拔變化對彈道的影響。

1.2 彈丸剛體運動微分方程組

把彈丸作為剛體時，描述其6自由度運動的微分方程組如(1)式[12-13]所示:

(1)

式中：m和v分別為彈丸質量和彈丸質心飛行速度；Fxv、Fyv、Fzv分別為作用在彈丸上的合力F在速度坐標系Oxvyvzv中的投影；θ和ψ分別為彈道傾角和彈道偏角；x、y、z為彈丸質心的空間坐標；φ?和φψ分別為彈丸俯仰角和偏航角；ωξ、ωη、ωζ分別為彈丸總的轉動角速度ω在彈軸坐標系Oξηζ中的投影；Mξ、Mη、Mζ分別為作用在彈丸質心上的合力矩M在彈軸坐標系Oξηζ中的投影；r為彈丸旋轉方位角；A和C分別為彈丸的赤道轉動慣量和極轉動慣量。

實際彈丸姿態運動包括兩類：一類是確定性的，如旋轉穩定彈丸由重力等引起的姿態運動；另一類隨機性的，如旋轉穩定彈由起始擾動引起的姿態運動等。采用6自由度剛體彈道模型時，模型中彈丸姿態運動和質心運動是完全耦合的，求解確定性的姿態運動及其對彈道的影響比較有效。但是，為了求解隨機性的姿態運動及其對彈道的影響，在原有彈道模型基礎上附加姿態運動計算模型聯合解算更加有效。

1.3 彈丸非線性姿態運動模型

在高炮彈道解算中，要求準確解算平均彈道，而不是解算每條隨機彈道。隨機性的姿態運動造成彈道系統偏差，這是平均彈道計算應該考慮的。

隨機性姿態運動對彈道的系統影響可以某種等效擾動源引起的姿態運動來計算，能反映彈丸在某段彈道上隨機姿態運動的平均過程，從而準確計算出該段彈道上阻力系數的變化，有利于計算不同海拔上的彈道計算精度。在高速旋轉炮彈寬海拔彈道解算中，建立的附加非線性姿態運動模型為

(2)

式中：δζ和δη為彈丸的攻角分量；d為彈徑；ρ為空氣密度；S為彈丸特征面積；CLα、CNpα、CMα、CMq、CMpα分別為彈丸的升力系數、馬格努斯力系數、靜力矩系數、赤道阻尼力矩系數和馬格努斯力矩系數的導數。

2 彈道阻力系數計算模型

2.1 彈丸阻力系數計算模型

彈丸阻力系數一般可表示為

(3)

式中：fD為阻力符合系數；Cx0為零升阻力系數；ΔCxRe為雷諾數影響引起的阻力系數增量；Cxδ2為攻角誘導阻力系數；δp為確定性姿態運動引起的攻角；δd為隨機性姿態運動引起的攻角。

2.2 雷諾數對彈丸阻力系數影響計算模型

雷諾數對彈丸阻力系數的影響機理非常復雜，嚴格來說與彈丸幾何形狀、表面狀況、馬赫數以及氣流與彈丸表面間的熱交換等有關。實際情況下要同時考慮這些因素的影響是非常復雜的。為了在高原彈道計算中盡可能準確地考慮雷諾數的影響，可采用如(4)式模型：

(4)

2.3 彈道符合系數與射角關系模型

射角不同彈丸飛行高度不同，因為復雜的彈丸姿態運動，飛行高度對彈丸阻力系數的影響機理非常復雜，為了彈道計算準確，需要引入彈道符合系數。假設測出一條彈道上不同時刻tk所對應的空間坐標數據(xk,yk,zk),k=1,2,…,n，記xk=(xkykzk)T。

各個符合系數用向量C可表示為

C=(ωγfDfLfMz)T，

(5)

式中：ω為高低跳角；γ為方向跳角；fL為升力系數的符合系數；fMz為靜力矩系數的符合系數。

采用6自由度彈道方程進行全面符合計算，對未知參數C的每一組合理取值，由(5)式可求解得到對應的X(t,C1,C2,…，Cns)，ns=5，其中彈丸的空間坐標x(t,C1,C2,…，Cns)=(xyz)T。采用改進的高斯牛頓(G-N)迭代法對上述過程進行迭代，可提高未知參數C的估計值的精度。

不同射角下符合系數的結果存在差異，可將其擬合成隨射角θ0變化的函數，如

C=(ωγfDfLfMz)T=C(θ0).

(6)

用隨射角變化的彈道符合系數來補償因為不同射角阻力系數的計算偏差。

3 高平原射表交接階梯抑制方法

由于高炮外彈道受到很大非線性因素的影響，平原低海拔和高原高海拔射表銜接時，射擊方位角、射角、彈丸飛行時間等相關變量有一個突變(階梯)，引起火控解算附加誤差，進而影響射擊精度。因此，根據射表參數變化規律擬合曲線，采用高平原階梯抑制方法，對相關參數進行加權組合，可提高射表精度。

在海拔0～2 000 m直接采用平原射表解算的射擊諸元(即平原射擊諸元加權系數為1，高原射擊諸元加權系數為0)；在海拔2 000～4 000 m之間，在平原和高原射表解算的結果基礎上按照海拔高度相對海拔2 000 m的變化進行加權組合，取其加權優化后的結果作為最終的高炮火控系統射擊諸元預解算結果；在海拔4 000 m以上直接采用高原射表解算的射擊諸元(即平原射擊諸元加權系數為0，高原射擊諸元加權系數為1)。具體模型為

(7)

式中：β和ε分別為加權后的高炮方位角和高低角；βp和βg分別為平原射表和高原射表確定的方位角；εp和εg分別為平原射表和高原射表確定的高低角；λp和λg為加權優化系數；H為當前海拔高度。

試驗結果表明，采用高平原階梯抑制方法，在海拔2 000～4 000 m之間的銜接高度范圍，可在原射擊精度基礎上提高高炮射擊精度10%以上。

4 高原射表計算與試驗驗證

通過建立的彈道模型解算理論彈道，采用實彈射擊試驗測量實際彈道參數，通過仿真分析理論彈道的差異，進而對高原彈道進行符合計算，提高彈道解算精度。

在青藏高原某海拔4 500 m靶場完成高原彈道試驗，分別對15°、45°和70° 3個射角進行了精確彈道測量。

試驗中，精確測量了火炮的射角和射向；采用氣象雷達車測量了高空和地面的氣象條件，包括氣溫、氣壓、濕度、風速和風向等；采用初速雷達測量了每發彈丸的初速；采用彈道跟蹤雷達，測量了每發彈丸彈道上各點的飛行速度和空間坐標。

采集上述數據，經過彈道符合計算，一方面可修正基礎數據；另一方面，以射表試驗點的符合計算結果作為支撐點，通過曲線擬合技術得到各符合系數與射角的關系。

試驗結果：采用平原射表射表時，在海拔4 500 m、斜距離4 000 m內統計，相同彈丸飛行時間的彈道空間差為399 m，與其斜距離(4 000 m)的比值為9.98%；使用本文彈道解算方法研制的高原射表，相同彈丸飛行時間的彈道空間差為1.12 m，與其斜距離(4 000 m)的比值為0.03%，典型數據如表1所示。

表1 高原射表試驗結果與仿真結果的彈道空間差

5 結論

本文建立了耦合彈丸非線性性姿態運動方程的彈丸6自由度動力學模型、隨海拔高度變化彈丸阻力系數模型、彈道符合系數與射角關系模型，以此為基礎建立了高原彈丸彈道理論模型，創建了高速旋轉炮彈高原彈道解算新方法。此外，為了消除平原射表和高原射表在銜接高度段的原理誤差，創建了高平原階梯抑制控制方法，進一步提高了在2 000～4 000 m海拔高度范圍的高炮射擊諸元精度。

該高速旋轉炮彈寬海拔彈道解算方法的正確性已經被某自行高炮寬海拔射擊試驗證明。采用本文高速旋轉炮彈寬海拔彈道解算方法所研制的高原射表已經推廣應用至數款新型高炮防空武器，提高了應用裝備的寬海拔作戰毀殲概率。