三角形周長為定值的內切圓半徑最值問題探究*

江蘇省南通市天星湖中學(226010) 錢 鵬

在高三數學迎考復習教學中編制微主題式研究性學習單或微專題導學單,從數學雜志或者各地?？碱}中挖掘題源,進一步整合,從而達到解一題而通一類,是解題教學的目標之一.

題目(2019年12月武漢市?？荚囶}填空壓軸題)已知?ABC的周長為9,若求?ABC的內切圓半徑r的最大值.

探求結論往往明確解題方向.注意到的對稱性, 猜想A=B時內切圓半徑最大, 此時A=B=C=如圖1所示, 有r=ID=

圖1

解法1記?ABC的內角A,B,C的對邊為a,b,c,

又S?ABC=(a+b+c)r=故所以?ABC的內切圓半徑的最大值為

解法2由

記?ABC的內切圓I切邊AB,BC,CA于點D,E,F,記AD=DF=x,BD=BE=y,CE=CF=z.

圖2

如圖2 所示,則x+y+則依題意可知S?ABC=(a+b+c)r=(x+y+z)r,由海倫公式得S?ABC=所以r2=結合可得x+y+z= 3z, 又因為x+y+z=所以

注對于還有另一種轉化方式.借助于半角公式

以及正弦定理、余弦定理可得

由a+b+c=9,得a+b=6,c=3.

推 廣若 ?ABC的周長為l,=則?ABC的內切圓半徑r的最大值為面積S?ABC的最大值為

證明由

由題意得a+b+c=l,S?ABC=因為即

在?ABC中,有三角恒等式所以所以

所以S?ABC=所以當A=B,?ABC的內切圓半徑r的最大值為面積S?ABC的最大值為