“由因探果,由果索因”
——“定義與命題”的教學與思考

◎ 陳曉慧

在一次跨地區“說課”交流活動中，筆者展示了說課“定義與命題”(浙教版八年級上第一章第2 節)，現將本節課的教學與思考予以呈現。

一、備課思考

1.說教材

本章內容為《三角形的初步認識》，含有初中幾何入門階段所必需的基礎知識和基本技能，為后續繼續學習四邊形，圓，相似三角形等內容打下良好基礎。而本節課“定義與命題”，以及“證明”這些內容的編入，意味著從本章開始，學生的初中幾何學習將從實驗幾何階段過渡到論證幾何階段，這也意味著我們將對學生提高要求。

2.說學情

八年級的學生已經積累了一些數學活動經驗，且具有一定的觀察，歸納，概括，抽象等能力，但他們還不完全具備嚴密的邏輯推理和嚴謹的邏輯表達能力，因此老師在教學中既要嚴格要求，但也不能操之過急。

3.說教學目標與重難點

基于以上分析，筆者制定了如下教學目標與教學重難點。

(1)通過數學活動，讓學生經歷“定義與命題”概念的產生，并了解“定義與命題”的含義。

(2)通過教師引導，師生探討，小組合作，學生互評等方式，讓學生了解命題的結構，能區分命題的條件與結論，并且會改寫成“如果...那么...”的形式。

二、教學過程及分析

基于以上對教材，學情，教學目標與重難點的分析，制定了如下教學過程設計。

1.識“定義”

開門見山地問學生:你能寫出一個水仙花數嗎?

此時會出現兩種情況:如果有學生知道水仙花數，就請這位學生介紹水仙花數的定義;如果沒有學生知道，就由老師來介紹。我們把像這樣，各個數位上的數字的立方和等于這個數字本身的3位數，叫作水仙花數。

提出這個問題的目的是為了引發學生的認知沖突，激起學生的學習興趣。我們從數學活動中讓學生經歷“定義”概念的產生，并且體會到“定義”的必要性。

回歸教材配套練習，但做適當改編。

練習1:將下列定義補充完整.

(1)無限不循環小數叫作無理數.

(2)有一個角是直角的三角形叫作直角三角形.

(3)從所有考察對象中抽取一部分作調查分析，這種調查方法叫作抽樣調查.

4.在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.

本題改編自書本“做一做”，原題是“請說出下列數學名詞的定義”，但筆者將它改為“請將下列定義補充完整”，改為填空題。這樣改的意圖是，讓學生完整并且清晰正確的表述某個數學名詞的定義是很困難的，改為填空形式，不僅能幫助學生回憶起這些數學定義的本質，也不至于將本節課的教學重點轉移，否則學生會誤以為本節課的重點是要嚴格清晰正確的去說每一個數學名詞的定義。

2.知“命題”

追問:124 是水仙花數嗎? 此時學生會根據已獲得的水仙花數的定義，做出判斷。原來定義不僅有對事物做出“清楚規定”的功能，它能作為依據，具有判斷的功能。

(1)說一說:

生活中有許多語句，都具有判斷的功能，你能說一說，說出一些具有判斷功能的語句嗎? 此時，學生會根據自身的經驗，說出一些具有判斷功能的語句，比如“……是……”，“……不是……”，“如果，那么”等形式，這時候老師可引導學生去感受，這些具有判斷功能的語句都有怎樣的語氣。

(2)選一選:

練習2:比較下列句子在表述形式上，哪些對事情做出判斷?哪些沒有對事情做出判斷?

①兩直線平行，同位角相等②畫一個角等于已知角③對頂角相等④a，b兩條直線平行嗎?

⑤鳥是動物⑥若2a=4，求a的值⑦若a2=b2，則a=b⑧2008年奧運會在北京舉行.

給出書本中的這八個句子，讓學生根據剛才的經驗，去選一選，哪些語句對一件事情做出判斷，哪些語句沒有。此時，學生會根據已有經驗，去尋找其中的陳述句，因為像疑問句和祈使句，它們并沒有對一件事情做出判斷。而像①③⑤⑦⑧這幾個陳述句，都對一件事情做出了判斷。這里可能會產生一個困難點，學生會誤以為一定要作出正確的判斷才叫命題，此處可以引導學生，根據定義去辨析，只要作出判斷，不管判斷的結果是對還是錯，都是命題。這樣也為下一節課學習真假命題埋下伏筆。

3.析“命題結構”

在這八個語句中，我們可以根據定義知道哪些是命題。筆者會請同學們特別去關注①③⑦這幾個數學命題。讀一讀，感受這些命題的內部結構，是否存在某些因果聯系。

以命題①為例:兩直線平行，同位角相等。你能感受其中的因果關系嗎? 何為因，何為果。學生會說，兩直線平行是原因(也就是已知條件)，同位角相等是結果(也就是結論)。如果條件發生了，那么結論就可以成立。那么，我們就可以把這個命題改寫成“如果+那么”的形式，清晰的找到命題條件與結論，體現它們之間的因果聯系。

學生可能想，這個命題條件和結論很好找到，為什么非要改寫成如果那么呢? 這時候筆者會馬上給出命題③:對頂角相等。這個命題語言非常簡潔，乍一看好像只有結論，找不到條件，難以區分，正是本節課的教學難點?？梢赃@樣引導學生:我們不妨從命題的概念出發，命題是對一件事情做出判斷的句子，讀一讀，這句命題做出了怎樣的判斷，能找到關鍵詞嗎? 學生會說:相等。追問:誰相等。學生會說:兩個角相等。這樣，我們就從問題串中理清了思路，由果索因，找到了這個命題的條件與結論。結論是:兩個角相等。條件是:兩個角是對頂角。再用如果，那么去改寫，讓語句表達通順，清晰表達其中的因果關系。

為了檢驗學生是否掌握，筆者會再配兩個類似命題(1)同角的余角相等(2)三角形的三個內角和等于180°。將采用小組合作，生生交流的形式，并且小組之間相互評價，看誰改寫的更合理，這也體現了教學評的一致性。

對于兩個命題的改寫，學生會出現多種情況，比如:如果一個圖形是三角形，那么這個三角形的三個內角和等于180°?；蛘摺叭绻齻€角是一個三角形的內角，那么這三個角的和等于180°”等等。我們可以繼續采用由果索因的方式，看看這個命題做出的判斷是什么? 是180°? 和等于180°? 還是三角形內角和等于180°? 其實找判斷關鍵詞，應該是和等于180°更合理，然后再追問誰的和是180°，是3 個角的和為180°，那這3 個角有什么條件呢?是三角形的三個內角。其實本質就是搞清楚，我們要判斷的對象是誰? 是三角形? 還是三角形的三個內角? 我想應該是后者更合理，更凸顯三角形的本質。

三、教學思考

根據命題的定義，只要做出判斷就是命題。所以并不是所有的命題都具有條件和結論這樣的結構，像命題⑤和⑧，他們都是簡單命題，或者說直言命題，它沒有明顯的因果聯系，不具備條件與結論的結構。因此在教學中，避免引起學生鉆牛角尖，可以避開這幾個命題，而是讓學生特別關注我們的數學命題，因為數學命題通常都具有“條件+結論”這樣的結構，而且這類復合命題也正是我們數學學習中的重要命題。若有學生問起怎么改寫，再向他們介紹簡單命題和復合命題，并鼓勵學生課下查閱資料去繼續深入學習和探討。