楊存典 ,張雁,王怡
(1.商洛學院城鄉規劃與建筑工程學院,陜西商洛 726000;2.商洛學院經濟管理學院,陜西商洛 726000)
灰色系統理論[1]是鄧聚龍教授1982年提出的研究數據量小、信息貧瘠的不確定性問題的理論方法?;疑A測模型GM(1,1)是灰色系統理論的核心內容,通過已知的部分數據,將系統信息抽象量化,然后尋找最優化模型,并對未來數據進行預測[2]。該理論提出后一直受到人們的關注,在工業、農業、交通、經濟等領域得到了廣泛應用。然而,在灰色模型GM(1,1)預測過程中,出現了模型預測精度較低的情況。對此,楊華龍等[3]運用自動尋優定權和最小二乘法給出了改進預測模型,解決了原有模型中對背景值和初始值規定的不合理問題。何昕等[4]運用馬爾可夫鏈理論對灰色GM(1,1)模型預測法進行了改進,解決了依靠灰色序列構造回歸模型帶來的誤差,預測精度得到了改善。馬維軍[5]采用補充殘差與加權平均的方法對灰色模型進行了改進,改進后的灰色預測模型精度較原始模型有所提高。任工昌等[6]通過對原始數據序列進行平滑處理,建立了新的灰色預測模型,并用此方法對電力負荷進行預測分析,提高了預測精度。程毛林[7]對灰色預測模型采用疊加三角函數多項式進行擬合,降低了誤差,提高了精度。譚冠軍[8]通過構造背景值表達式,使模型GM(1,1)適用于等間距和非等間距序列,擴大了GM(1,1)的適用范圍。樊新海等[9]通過自動尋優定權的方法,改進了GM(1,1)模型背景值的選取。徐華鋒等[10]、王健[11]、黃克[12]、郭金海等[13]、徐寧等[14]分別用不同方法對灰色模型進行優化,并提高了預測的精確度。綜上所述,灰色預測模型GM(1,1)從提出到應用,很多學者在方法的改進和精度的提高方面做了大量的工作,但仍然存在初始值選取和背景值構造方面存在運算量過大,尋優參數等距增加而帶來的局限性。本文運用最小二乘法,解決了上面所提到的問題,增加了灰色預測模型GM(1,1)應用的普遍性。
灰色預測模型GM(1,1)的建模過程是將無規律的原始數據進行1-AGO,減少數據的波動,得到規律性較強的生成數列后進行建模,運用模型進行預測,然后遞減還原成原始序列。
若原始序列X(0)和一階累加生成序列X(1)滿足準光滑性檢驗:
則X(1)具有指數增長規律,灰色微分方程為:
其中,a稱為發展灰數,b稱為內生控制灰數,Z(1)(k)是緊鄰均值,既
X(1)的白化微分方程為:
用最小二乘法擬合得到:
微分方程(2)所對應的事件響應函數為:
對(5)式遞減還原,可以得到原始序列的灰色預測模型:
以上的建模過程存在的問題有三個:第一,必須進行準光滑性和指數規律的檢驗;第二,解微分方程的初始條件假設X(1)(1)=X(0)(1),認為擬合曲線一定經過初始點(1,X(1)(1)),實際上作為誤差平方和最小的擬合曲線,并不一定通過初始點;第三,背景值用梯形的面積近似代替,即
必然出現預測誤差。
為了解決以上問題,按照1-AGO序列X(1)滿足指數規律的要求,通過最小二乘法原理,找到指數方程中的參數估計,有效回避了初值的假設和背景值的近似計算。
有了參數p,q的估計值,就可以用X^(1)(t)=pe-at+q進行預測。
根據商洛統計年鑒[14],商洛市2002—2011年房地產相關數據如表1所示。
表1 2002-2011年商洛房地產市場價格及城鎮人均收入
將平均銷售價格進行處理,并作為原始數據序列:
X(0)={750,800,1200,1450,1500,1680,1820,3450,3600,3750}。
1-AGO序列是:
X(1)={750,1500,2750,4200,5700,7380,9200,12650,16250,20000}。
用MATLAB軟件計算,由(3)式得:
根據改進后的預測模型計算得:
計算結果見表2及2002—2011年商洛市房地產市場價格趨勢圖(見圖1)①。
表2 2002-2011年商洛房地產市場價格的預測值及絕對誤差比較
圖1 2002—2011年商洛市房地產市場價格趨勢
計算原始數據序列的標準差:
計算相對序列的標準差:
檢驗通過,預測精度達到精度要求。
改進后的灰色預測GM(1,1)模型首先回避了初始條件X(1)(1)=X(0)(1)的假設,因為擬合曲線不一定經過X(0)(1)點;其次,把背景值由緊鄰均值的近似計算進行了推廣。通過實例分析,預測結果的相對誤差由0.074 6提高到0.034 0,比原來的灰色預測GM(1,1)模型結果精度有所提高。
注釋:
①表2及圖1的預測數據來自作者承擔的陜西省社科基金項目研究報告。