水陸兩棲球形機器人輔助鰭的水動力特性

遲興，戰強

(北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京，100191)

球形機器人將驅動機構、控制電路和感知系統等重要部件封閉在球形外殼的內部，對其形成密閉保護。該結構特點使得球形機器人容易適應復雜嚴苛的外部環境，在環境探測、安保防爆、軍事偵察等領域具有廣闊應用前景[1]。傳統的球形機器人應用局限于陸地環境，通過配備額外的驅動能力可以拓展球形機器人的應用環境到水域，使其具有水陸兩棲特性，增強其環境適應性。為此，需要解決傳統球形機器人在水域中運動時驅動能力不足這一關鍵問題。

一些研究者通過給傳統球形機器人配備適合于水中運動的驅動裝置，研制了不同類型的水陸兩棲球形機器人。GUO 等[2-4]介紹了一種由復合驅動系統提供動力的水陸兩棲球形機器人，該復合驅動系統由4個相同的驅動單元組成，每個驅動單元使用1 個噴水推進器和2 個垂直布置的伺服電機，有四足步行模式和噴水推進模式2 種運動模式，分別用于機器人的陸地運動和水中運動。KAZNOV 等[5]研發了水陸兩棲球形機器人GroundBot，該機器人利用重心偏移原理實現陸地運動和水面運動，球形外殼上設計了點狀凸起帶，以提高機器人的水面移動速度。李艷生等[6-7]設計了一種利用螺旋槳推進的水陸兩棲球形機器人，機器人中心位置處安裝了1個內部包含推進螺旋槳的柱形涵道，該機器人在陸地上利用重心偏移實現滾動運動，在水中時則利用螺旋槳推進的方式運動。

通過在球殼兩極地帶黏附輔助鰭，提高水面運動推進力，可實現利用1套驅動裝置完成球形機器人兩棲運動的目標。已有一些研究參考機翼理論對輔助鰭進行了力學特性分析[8]。HEALEY 等[9]給出了AUV 葉片整周旋轉中的升力和阻力計算公式，GEORGIADES 等[10]通過實驗探究了葉片受力和往復運動振幅和周期的關系，BEHBAHANI等[11-12]研究了仿生魚胸鰭劃水動作時的水動力特性，READ 等[13-14]給出了葉片俯仰和升沉運動的推進力，劉鵬等[15-16]分析了運動參數對水翼推進性能的影響。YANG等[17-18]利用CFD方法給出了水輪機葉片之間的速度分布和壓力分布，張萬超等[19-20]分析了葉輪受浪流擾動產生橫搖運動時的水動力性能。在常規的葉片水動力分析中，葉片通常整體浸入液體中，其濕面積保持不變，壓力中心也不變。

本文提出利用輔助鰭改善球形機器人水面運動性能的設計方案，通過在球殼上黏附輔助鰭，設計一種緊湊高效的水陸兩棲球形機器人。分析特殊平面形狀的單片輔助鰭在運動周期中入水面積和形心的變化規律，基于機翼理論推導液體作用在輔助鰭上的升力和阻力計算公式，給出水平分力和豎直分力表達式。利用傅里葉級數對水平分力和豎直分力進行擬合，針對球殼上不同數量輔助鰭配置方式，給出傅里葉級數表示的水平分力合力和豎直分力合力計算公式。

1 水陸兩棲球形機器人系統簡介

附加輔助鰭的水陸兩棲球形機器人由內部驅動單元和球殼2部分組成，內部驅動單元包括機器人的動力系統和控制電路，球殼由左、右兩半球殼組成，作為運動執行部件，同時對內部驅動單元形成密閉保護，如圖1所示。

圖1 水陸兩棲球形機器人Fig.1 Amphibious spherical robot

黏附在球殼外表面兩極地帶的輔助鰭數量可靈活配置，一種典型的配置方式是在左右兩半球殼上各安裝8片輔助鰭，且位于半球殼上的輔助鰭關于中心軸呈放射性分布，其示意圖如圖2所示。圖中O-XYZ為固定在球殼上的隨體坐標系，Y軸與中心軸重合，R為球殼半徑；1～8代表8個輔助鰭，相鄰輔助鰭之間的相位差為45°。輔助鰭ABC區域的橫截面形狀近似為鈍角三角形，在球殼表面的安裝位置由ζ1和ζ2確定，ζ1，ζ2和頂角ζt共同決定了輔助鰭的平面形狀。

圖2 輔助鰭安裝示意圖Fig.2 Installation diagram of assistant fins

當機器人執行陸地運動時，位于底部的輔助鰭高于地面，即使機器人產生沿X軸方向的滾轉擾動，輔助鰭也不易與地面發生碰撞；當機器人執行水面運動時，位于底部的輔助鰭部分浸沒到液體中，液體會在輔助鰭上產生額外的推進力。

2 單片輔助鰭力學特性

2.1 單片輔助鰭升力和阻力

輔助鰭受力分析如圖3所示，在輔助鰭上建立慣性坐標系P-XYZ，其中原點P為輔助鰭的壓力中心，坐標軸Z垂直紙面向外，傾角φ為輔助鰭平面從X軸正向逆時針轉過的角度。液體作用在輔助鰭上的力可以分解為升力L和阻力D，升力方向垂直于來流方向，阻力方向與來流方向一致。

圖3 輔助鰭受力分析Fig.3 Force analysis of a fin

考慮機器人在靜止液體表面的運動，當球殼繞中心軸旋轉時，機器人整體沿X軸負向以速度Vs移動。輔助鰭隨球殼一起平移和旋轉，其相對液體的速度Vf是牽連速度Vs和相對速度Vn的矢量和，即

相對速度Vn方向垂直于輔助鰭平面，幅值為|Vn|=ωslPY。ωs為球殼相對中心軸的旋轉角速度，lPY為壓力中心P到中心軸間的距離。

運用運動轉換原理，即認為機器人是固定的，觀察液體相對機器人的運動，可以認為液體以一定速度沖擊到輔助鰭上，從而對輔助鰭施加力的作用。相對輔助鰭的來流速度為Vw，Vw與Vf幅值相等而方向相反，即

記速度矢量Vs和-Vn之間的夾角為β，β∈[0,π/2]，則β與傾角φ之間的關系如下：

來流速度Vw的幅值為

Vw和Vn之間的夾角γ的取值范圍為[0,π/2]，γ可通過下式計算：

攻角αe為來流速度Vw與輔助鰭平面之間的夾角，攻角αe和γ之間的關系如下：

當液體以速度Vw沖擊到輔助鰭上時，液體對輔助鰭施加的合力作用于壓力中心，合力可以分解為升力L和阻力D[10]：

式中：ρwater為水的密度，S為浸入水中的輔助鰭平面的面積；CLmax為最大升力系數，CDmax為最大阻力系數。由式(7)和(8)可知，升力和阻力與來流速度幅值|Vw|和面積S正相關。在輔助鰭隨球殼運動的過程中，|Vw|和S均為輔助鰭傾角φ的函數，這使得升力和阻力的計算變得復雜。

將作用于輔助鰭上的升力和阻力在慣性坐標系P-XYZ中分解為

式中：FX和FY分別為液體對單片輔助鰭的作用力在水平方向和豎直方向的分量。水平分力FX的方向與機器人運動方向相同，表現為機器人的推進力。豎直分力FY對機器人運動影響較小，僅進行簡單討論。

2.2 工作周期中的關鍵角度

輔助鰭ABC工作周期中臨界狀態如圖4所示。

圖4 輔助鰭工作周期中的臨界狀態Fig.4 Critical states in a work cycle of fin

輔助鰭前緣A和中心軸之間的距離為lAY，lAY=Rsinζ2；浸入液面下的球殼高度為h。當前緣A剛好和液面接觸，即將開始浸入液體的臨界狀態，傾角φe為

在輔助鰭逆時針轉過一定角度，前緣A即將離開液面的臨界狀態，傾角φd為

當輔助鰭頂點C剛好位于液面上時，傾角φc為

在機器人水面運動過程中，當某輔助鰭傾角φe≤φ≤φd時，該輔助鰭部分浸沒到液體中，液體能夠對其施加力的作用；否則，該輔助鰭位于液面上方，液體對其無力的作用。

2.3 輔助鰭入水面積和形心

輔助鰭的升力和阻力與其浸入液體中部分的面積和形心有關。以前緣A點為原點，建立局部坐標系A-uv，其中uv平面與輔助鰭平面平行，u軸與中心軸平行，如圖5所示。

圖5 輔助鰭入水面積示意圖Fig.5 Wetted surface area of a fin

原點A在隨體坐標系O-XYZ中的坐標為(Rsinζ2cosφ,Rcosζ2,Rsinζ2sinφ)。在局部坐標系A-uv中，直線AC和BC的方程分別為

圓弧的方程為

當φe≤φ≤φd時，浸入液體中的輔助鰭長度lim為

由于輔助鰭平面形狀近似為三角形，針對頂點C高于液面或低于液面的情況，計算浸入液體中的面積和形心。當頂點C高于液面時，即φe≤φ≤φc，浸入液體中的面積Sim1為

形心在局部坐標系A-uv中的坐標(uP1,vP1)可通過下式計算：

式中：MV1和MU1為浸入液體中輔助鰭平面形狀的一階矩：

當頂點C低于液面時，即φc＜φ≤π/2，記LC=R(cosζ1-cosζ2)tan(ζt-π/2)，浸入液體中的輔助鰭面積為

形心的坐標(uP2,vP2)為：

式中：MV2和MU2為浸入液體中輔助鰭平面形狀的一階矩：

忽略不同深度壓強不同引起的壓力分布微小差異，假設液體作用在輔助鰭上的力在浸入液體中的部分均勻分布，則輔助鰭的壓力中心P與浸入液體中的部分的形心重合?；谛涡牡挠嬎愎?，可以得到壓力中心P到中心軸之間的距離lPY的表達式：

2.4 數值分析結果與討論

水陸兩棲球形機器人的參數為R=175 mm，ζ1=13.7°，ζ2=55.2°，ζt=115°，h=116.4 mm，代入式(11)～(13)計算可得關鍵角度φe=24.1°，φc=31.9°；φd=155.9°。取CLmax=0.92；CDmax=1.12，進行數值仿真分析。

浸入水中的輔助鰭面積S和lPY隨傾角φ的變化曲線如圖6所示。由圖6可見：面積變化曲線和lPY變化曲線關于φ=π/2 對稱。在輔助鰭剛浸入液面和即將離開液體的階段，S和lPY隨傾角φ變化較為顯著；而在輔助鰭接近與液面垂直的階段，面積和lPY隨傾角φ變化比較平緩。

圖6 面積S和lPY變化曲線Fig.6 Changing curves of area S and length lPY

球形機器人運動穩定后，即球殼以額定轉速ωs=2π rad/s 旋轉，機器人以額定平移速度|Vs|=0.4 m/s做直線運動時，來流速度幅值|Vw|和攻角αe隨傾角φ變化的曲線如圖7所示。由圖7可知：傾角φ從φe增大到π/2 的過程中，來流速度幅值|Vw|快速減小，攻角先減小再逐漸增大；|Vw|的曲線關于φ=π/2 對稱，攻角的曲線關于點(π/2,π/2)中心對稱，該點同時是攻角曲線的拐點；|Vw|持續減小的主要影響因素為Vs和-Vn之間的夾角β減小。

圖7 來流速度幅值和攻角變化曲線Fig.7 Changing curves of amplitude of inlet water and angle of attack

運動穩定后，作用在單片輔助鰭上的升力和阻力變化規律如圖8所示。從圖8可見：在傾角φ從φe增大到π/2的過程中，由于輔助鰭入水面積增大，阻力先從0增大到最大值，然后，由于來流速度幅值|Vw|下降成為主導，阻力緩慢下降；在φ=π/2 即輔助鰭平面與液面垂直時，阻力取得局部極小值，局部極小值約為阻力最大值的一半，此時，|Vw|也取到極小值；阻力變化曲線關于φ=π/2 對稱。當φe≤φ≤π/2 時，升力的變化趨勢與阻力一致，但是在φ＞π/2 后，升力的符號發生了變化。原因在于，以從X軸正向逆時針轉過的角度為升力和阻力的相位，當φ＜π/2 時，升力的相位超前阻力的相位，當φ＞π/2 后，升力的相位滯后阻力的相位，φ=π/2 時升力為0，是相位變化的臨界點。升力符號的改變反映了升力和阻力間相位的變化。

圖8 升力和阻力變化曲線Fig.8 Changing curves of lift force and drag force

水平分力和豎直分力隨傾角φ變化的規律如圖9所示。從圖9可見：水平分力和阻力有相似的變化規律，但兩者的符號相反，豎直分力和升力有相似的變化規律。根據水平分力計算公式，運動周期中，當傾角φ接近φe或φd時，在水平分力的成分中，升力的水平分量占比較大，阻力的水平分量增大了該階段水平分力的幅值。在傾角φ增大到π/2 的過程中，升力的水平分量占比減小，阻力的水平分量占比逐漸增大；當傾角φ接近π/2 時，阻力的水平分量在水平分力中起主導作用，該階段升力趨向于0，升力對水平分力的貢獻很小。在運動周期的中間階段，水平分力整體變化較為平緩，輔助鰭能給機器人提供持續穩定的推進力。參考升力和阻力計算公式可知，增大輔助鰭入水面積和球殼旋轉速度可提高中間階段水平分力的幅值。

圖9 水平分力和豎直分力變化曲線Fig.9 Changing curves of horizontal force and vertical force

3 液體作用在輔助鰭上的合力

3.1 水平分力和豎直分力計算公式

水平分力和豎直分力關于傾角φ的函數表達式比較復雜，為利于進一步計算和分析，有必要對其形式進行簡化。由于水平分力和豎直分力呈現明顯周期性變化規律，可用傅里葉方法進行擬合，得到水平分力和豎直分力的傅里葉級數近似表達。m階傅里葉級數的方程為

將上述方程中的基寫為列向量形式：

相應的系數寫為行向量形式

則m階傅里葉級數可以表示為系數向量與基向量的積：

液體作用在輔助鰭上的水平分力可以用傅里葉級數表示的分段函數來描述：

定義帶通濾波函數

則上述水平分力又可以表示為

類似地，豎直分力可以表示為

其中：AFX(m)和AFY(m)分別為水平分力和豎直分力對應的系數向量，基向量BFX(m,φ)和BFY(m,φ)的區別在于各自的頻率w不同。

3.2 傅里葉級數表示的合力計算公式

當半球殼上配置的輔助鰭數量為n∈N 時，任意相鄰的輔助鰭之間的相位差為2π/n。以輔助鰭1作為參考基準，其傾角為φ時，輔助鰭k的相位為

當φe≤φ≤φd且φe≤φk≤φd，輔助鰭1 和輔助鰭k同時位于液面下方，液體作用在輔助鰭k上的力計入合力。輔助鰭k相應的帶通濾波函數為

液體作用于輔助鰭k的水平分力為

當FkX(φ)≠0時，將FkX(φ)的表達式用三角函數和差公式展開，分離出其中的常值系數項，表示為系數向量和基向量的積：

式中：WkX(m,k)為系數矩陣，

對作用在半球殼上浸入液面下的所有輔助鰭上的水平分力求和：

則水平分力的合力可以簡化為

類似地，豎直分力的合力可簡化為

3.3 數值分析結果與討論

在給定的機器人參數下，利用傅里葉級數對單片輔助鰭水平分力和豎直分力進行擬合，結果如圖10所示。從圖10可見：在φe≤φ≤φd范圍內，當傅里葉級數的階數m=6 時，水平分力擬合相應的和方差SSE 為0.000 243 2，相關系數R2為0.999 8；豎直分力擬合相應的SSE為0.004 267，R2為0.999 5，顯示擬合曲線與原始曲線具有較高的匹配度。

圖10 水平分力和豎直分力擬合曲線Fig.10 Fitting curves of horizontal force and vertical force

將水平分力擬合得到的頻率和系數向量代入水平分力合力表達式中，計算輔助鰭數量n分別為4，8，12時的水平分力合力，結果如圖11所示。

圖11 不同輔助鰭數量對應的水平分力合力Fig.11 Resultant horizontal force of different numbers of fin

從圖11可以看出：對不同的輔助鰭數量配置，水平分力合力均呈現周期性變化規律。增加配置的輔助鰭數量可以增大合力的平均幅值，平抑合力的波動，從而減小振幅，同時，合力的振蕩頻率也會增加。其中，當輔助鰭數量為12 時，水平分力合力平均幅值約為0.72 N，振幅約為平均幅值的3.5%，是較為合適的配置方式。兩半球殼上的輔助鰭相互對稱配置，故作用在球殼整體的合力等于作用于半球殼的合力的2倍。

4 結論

1)利用輔助鰭改善球形機器人水面運動性能，將傳統球形機器人的應用環境從陸地拓展到水面，增強了其環境適應性。

2)基于機翼理論推導了液體作用在輔助鰭上的升力和阻力計算公式，給出了水平分力和豎直分力表達式，并利用傅里葉級數對水平分力和豎直分力進行擬合，給出了傅里葉級數表示的水平分力合力和豎直分力合力計算公式。

3)輔助鰭在入水和出水臨界狀態之間的中間階段，液體作用在輔助鰭上的水平分力變化平緩，輔助鰭能給機器人提供持續穩定的推進力；提高球殼的旋轉角速度和增大輔助鰭的入水面積都可以增大中間階段作用在輔助鰭上的水平分力，從而提升機器人的推進力；作用在半球殼上輔助鰭上的水平分力合力呈現周期性變化規律，增加輔助鰭數量，可以增大合力的平均值，減小振幅。