四足機器人跳躍控制規劃及仿真分析*

任坤照，田春霖，陳 帥，鄭 達，劉 巖

（1.西安交通大學 電氣工程學院，陜西 西安710000；2.西安交通大學 電信學部，陜西 西安710000；3.西安交通大學 機械學院，陜西 西安710000）

由于四足仿生機器人具有高機動性，負載和適應能力強，可運用于物資運輸、搶險救援等方面，因而具有廣闊的應用前景。

四足機器人的性能主要取決于對復雜環境的適應能力，實現不同步態的規劃最為關鍵。目前，國內外對四足機器人的Walk（慢步）、Trot（快步）等一般步態的研究都較為成熟，如Hiroshi Kimura等提出了基于各種復雜環境下的Walk步態的閉環控制系統[1]，李川等基于足端軌跡及CPG（Central Pattern Generators）網絡對兩種步態展開了研究[2-3]。但對于四足機器人的跳躍步態的研究較少，跳躍規劃的理論仍需完善，在機械結構、運動過程中姿態調整也有待進一步改進，對其運動學、動力學的研究成為熱點。在實際場景中，跳躍步態可以跨越障礙物，適應各種復雜地表，應用廣泛，極大增強了四足機器人的運動性能。

本文著重對四足機器人的跳躍步態進行控制規劃并通過搭建仿真平臺進行驗證。根據足端是否觸地分階段采取利用幾何解析法進行軌跡規劃。利用D-H法建立機身質心與各關節的坐標系，并基于正逆運動學對跳躍步態進行分析，求解出各階段關節角度函數。同時，根據Lagrange法以及D'Alembert's原理對跳躍過程進行動力學分析，得到關節電機的力矩驅動函數。

通過SolidWork軟件建立了全肘式四足機器人的結構模型，使用ADAMS和MATLAB軟件對物理樣機進行運動學聯動仿真，驗證了跳躍控制規劃的有效性。

1 跳躍運動建模

四足機器人的設計模型如圖1所示。在跳躍過程中，只研究正中面上的運動特征，對冠狀面不做考慮。同時，由于在跳躍過程中前（后）兩腿的運動狀態相同，因此，可把四足機器人視為一維平面的多剛體系統。根據足底是否觸地，將跳躍過程分為起跳相、騰空相和著地相。在足端騰空時機器人與地面不存在約束限制，即機身不受外部作用力與力矩。

圖1 四足機器人設計模型

1.1 D-H坐標系建立

如圖2所示，根據D-H（）法對四足機器人建立坐標系。據此進行各坐標系的坐標轉換，對跳躍過程進行運動學分析。

圖2 四足機器人運動學坐標系坐標圖

在軀體的幾何正中心建立身體坐標系{Ob}，前進方向為x軸的正方向，豎直向上為z軸的正方向。以順時針方向對四條腿分別編號為1，2，3，4。在每條腿的髖關節建立坐標系{Oih}（i=1，2，3，4），{Oih}的x軸正向為豎直向下方向，z軸正向為前進方向。同理，對膝關節建立坐標系{Oik}，以足端為原點建立坐標系{Oit}。由此可得身體坐標系到髖關節坐標系的轉換矩陣N如式（1）。以左前腿為例，設足端運動軌跡在身體坐標系下的函數為z=f（x，y）。由足端在身體坐標系下的坐標P知足端在髖關節坐標系下的坐標P0。由此可以逆解出大小腿電機旋轉角度。

式中，disx為前兩腿髖關節間距；disy為同側兩腿髖關節間距。

1.2 跳躍軌跡規劃

1.2.1 起跳階段軌跡規劃

起跳階段需保證足端與接觸地面有足夠的摩擦力，即在跳躍過程未發生相對滑動，同時髖關節相對于足底坐標應該滿足以下條件：

（1）初始機身高度為y0，水平位移為0m離地前機身高度為y1，水平位移x1；

（2）初速度為0m/s，離地前速度為v1；

（3）初加速度為0m/s2，離地前，豎直加速度為-g，水平加速度為ax1。

在起跳階段，足底在大地坐標系下位置固定，故以足底為參考，規劃機器人質心的運動方程。由于在起跳階段，四腿同時起跳，動作一致，可只考慮單腿的運動。如圖3所示，設機身質心在起跳階段，水平加速度ax（t）=k1t，豎直加速度ay（t）=k2t（k1、k2為常系數），則水平位移為，豎直位移為

圖3 跳躍階段單腿示意圖

由于髖關節的運動軌跡與質心同步，設足端為原點O，髖關節的坐標為B（PX，PY），建立如圖4所示坐標系。

圖4 起跳階段腿部關節坐標系

起跳階段D-H參數見表1。

表1 起跳階段D-H參數

髖關節在基坐標的轉換矩陣：

利用幾何解析法對起跳階段做逆運動學分析，由此得到關節轉動角度函數：

1.2.2 騰空階段軌跡規劃

足端離地后，機器人處于僅受重力作用的騰空狀態。在騰空階段機器人機身做類平拋運動，即機身在豎直方向由于以-g為加速度的勻變速運動。同時，在起跳離地時刻與著地時刻，足端與地面接觸且速度均為0。在騰空階段，在跳躍過程中足端有伸縮。

對于質心而言，跳躍階段機身質心運動軌跡為：

式中，νx1為起跳結束時刻水平速度；νy1為豎直速度。如圖5，以髖關節為原點建立坐標系：

圖5 騰空階段腿部關節坐標系

足端在基坐標的轉換：

得到跳躍過程中的角度驅動函數：

跳躍機器人有一定的越障能力，欲得到跳躍跨越的最大障礙物高度極限H。用sin函數曲線以及二階多項式擬合足端軌跡，規劃足端軌跡：

1.2.3 著地階段軌跡規劃

足端著地后，此時地面有足夠的摩擦力，即無相對滑動。在電機力矩驅動下產生與機身慣性相反的作用力，使得機器人的速度減小直至為0m/s。著地階段可視為起跳階段的逆過程。同樣，此時足端固定，如圖6，建立坐標系。著地階段質心的位移曲線為

圖6 著地階段腿部關節坐標系

2 動力學建模

四足機器人關節數較多，整個系統有多個輸入輸出，力學關系較為復雜。本文采用Lagrange法以及D'Alembert's原理對其進行動力學分析，根據運動規劃，求解跳躍過程中各關節驅動力矩，進而得到電機的驅動力函數。

力矩控制的靈敏度更高，控制方式以及動態性能更好。如圖7所示，建立跳躍過程中的受力分析圖：

圖7 四足機器人單腿的受力分析

單腿物理參數見表2。

表2 單腿物理參數

設定整個機器人的機械結構均為剛性，不發生柔性變形，同時忽略關節間的相對摩擦以及物理樣機裝備過程的誤差。由于起跳階段動力較為簡單，此處僅討論騰空與著地階段的動力學分析。與運動學分析類似，建立如圖7坐標系。

式中，P1為大腿質心到髖關節距離；P2為小腿質心到膝關節距離（X1，Y1）為大腿質心坐標；（X2，Y2）為小腿質心坐標。此時動能Ek，勢能Ep為：

得到Lagrange函數：

式中，M1為髖關節驅動力矩；M2為肘關節驅動力矩。

著地后，由于機身具有慣性，此時需要反方向的作用力，設此時足端與地面無相對滑動，地面給機器人的靜摩擦力。根據D'Alembert's原理，對單腿力矩平衡分析得到：

如圖8，對整體進行受力分析，由于跳躍過程中軀干是平動，質心處力矩為0，根據受力平衡與力矩平衡，得到式（9）的力學方程。

圖8 四足機器人整體的受力分析

式中，Fxi、Fyi為第i條腿足端的水平與豎直方向的力，Fx Fy為質心受到的水平與豎直方向的力，LQ為質心到髖關節的水平距離。

根據軌跡規劃可知大腿、小腿角加速度在開始準備跳躍的一瞬間發生突變，同時在離地和著地的瞬間有微小突變，由此引發力矩的突變。

在力矩控制中，可對這兩次的突變進行一個平滑的曲線過渡，可有效減小四足機器人運動過程中受到的沖擊力。

Fx1作為可變參數，結合前面驅動力矩公式得到相應驅動函數，利用MATLAB求解出如圖9髖、膝關節力矩變化。由力矩圖觀察可得Fx1取時，即取Fx1=Fx4分析得到的力矩為最優解。

圖9 髖、膝關節力矩變化曲線圖

3 仿真研究

利用SolidWorks建立機器人得機械模型，并基于MATLAB中的Simulink模塊搭建四足機器人系統，聯合ADAMS進行模擬實際跳躍過程。

3.1 物理樣機跳躍軌跡規劃

根據上述的軌跡規劃，對物理樣機探究其跳躍階段的最大限度。根據樣機參數（如表3所示），跳躍時取每條腿的輸出扭矩為T=18N·m，則跳躍時對地面的作用力為

表3 物理樣機參數

設初始時，小腿與地面夾角為φ，大小腿夾角（外角）為ω，則根據規劃的軌跡，加速度a在起跳過程中與時間t成線性關系，則有k1=

為了使同一腿上兩個電機在起跳過程中都能以最優效率輸出，應使髖關節即身體質心的運動軌跡和足端接觸點與髖關節中心的角度α盡量小，故需要對起跳的姿態進行調整，而起跳的姿態主要由小腿與地面夾角φ以及大小腿夾角ω決定，通過MATLAB對φ∈（40°，70°），ω∈（130°，160°）進行迭代分析。得到：φ越大，α越小，在ω=158°時α有最小值?？紤]機械結構的限制，取ω=148°。

由于φ與起跳階段加速度及時間都有關，進而影響到跳躍的高度以及距離，為求得最優的高度與距離，通過非線性規劃來得到φ的值。建立非線性規劃問題：

式中，（px，py）為開始起跳時髖關節較足端與地面接觸點的相對位置；(PX，PY)為起跳階段結束時髖關節相對于足端接觸點的位置；H、X分別為跳躍的高度和距離。

利用MATLAB得到目標函數最優時，此時a=25.7°，t=0.384s。得到機身質心軌跡隨時間變化的函數：

根據得到的質心與足端的運動軌跡函數，得到如圖10的一個跳躍周期膝、髖關節角度變化曲線。

由圖10可以分析得到，在起跳階段，機體的前伸主要靠膝關節擺動，因此膝關節角度以較大幅度增加，而髖關節角度逐漸減??；在騰空期前期，膝關節的擺動對機體的豎直運動起主要作用；在跨越期間，髖關節角度變化較快，膝關節先收縮再伸展；著地后，恢復初始角度。

圖10 膝、髖關節角位移變化曲線圖

3.2 運動學仿真

通過前文規劃的四足機器人在跳躍過程中的機身質心運動軌跡以及足端運動軌跡，通過正逆運動學分析，得到每條腿關節轉角方程，仿真過程如圖11所示。

圖11 關節轉角函數的運動分解圖

為驗證規劃曲線的合理性與魯棒性，借助ADAMS得到機身質心在水平與豎直方向位移與速度的變化圖，如圖12所示。

在整個跳躍周期內，通過圖12可以看出整個機身在水平方向的跳躍軌跡與之前規劃的運動軌跡基本一致，在某些節點處，如起跳著時的速度變化有較大起伏，最大偏差約為0.5m/s，但由于偏差時間較小，對整體運動軌跡影響較小。

圖12 中質心水平方向偏移表明整個跳躍過程中機身較為穩定，但在著地的瞬間豎直方向質心會有0.005m的偏差，主要原因是在騰空階段對身體角度的調整不夠，使得下落時后腳先著地從而引起較小的偏差，可以通過加大騰空階段的下落過程中小腿擺動角加速度，使身體下落時質心運動角度向下，機身更加平穩著地。

圖12 跳躍過程各參數變化圖

3.3 動力學仿真

整個機器人為鋼體結構，與地面接觸碰撞過程較為復雜，同時為驗證規劃的運動軌跡的正確性與合理性，故將前文得到的力矩驅動函數施加在ADAMS中對機器人模型的各腿的髖關節與肘關節，進行動力學仿真。跳躍過程，四足機器人的運動分解姿態如圖13。從圖13中可以看出，機身質心與足端的運動軌跡與規劃的曲線基本一致。起跳階段，獲得向上以及向前的驅動力矩，肘關節變化較大，在起跳過程中起主要作用。騰空階段，腿部有收縮，同時機身做類平拋運動。在著地階段，機身減速，重心降低。

圖13 關節力矩函數的運動分解圖

水平與豎直方向的位移與速度的變化趨勢如圖14所示。在離地和著地的瞬間大小腿角加速度有微小突變，由此引發力矩的突變?？蓪@兩次的突變進行一個平滑的曲線過渡，減小四足機器人運動過程中受到的沖擊力。仿真結果與理論值基本一致，驗證了前文規劃曲線以及力矩驅動函數的正確性。

圖14 跨高欄全過程控制效果圖

4 結束語

根據四足動物跳躍運動特性，本文將跳躍過程分為起跳、騰空和著地三個階段分別進行運動曲線的規劃。通過正逆運動學分析得到了關節轉角控制函數，并基于Lagrange法以及D'Alembert's原理進行動力學分析推導出力矩驅動控制函數。利用SolidWorks建立物理樣機模型，利用ADAMS聯合MATLAB搭建仿真平臺。進行了物理樣機的運動學、動力學仿真，將仿真結果與理論值進行比較，從而驗證了跳躍運動規劃曲線的可行性與正確性，以及角度控制、力矩控制的準確性與魯棒性，為后續四足機器人或其他跳躍型機器人控制規劃以及仿真實驗的研究提供了基礎。