基于訂單取消量可預測的制造商原材料庫存優化研究

陳光會　王瑞亭　蘇兵　李會聰

摘 要：本文針對已支付定金客戶取消訂單的情形，提出根據歷史訂單量和實際交易量利用線性回歸模型來預測訂單取消量。在此基礎上，本文構建了以庫存總成本最小為目標的訂單取消量可預測的制造商原材料庫存優化模型，然后設計了時間復雜度為O（np）的近似算法GA求解模型（其中n為原材料的種類數，p為預測訂單取消量的時段數），并分析了算法GA的近似比。最后選取XAHL有限公司的庫存數據進行實例分析，驗證了模型和算法的有效性，根據模型計算結果給出公司原材料采購和庫存優化策略。本文旨在為制造商進行原材料采購及庫存決策提供理論依據。

關鍵詞：預測;訂單取消量;原材料庫存;線性回歸;近似算法

中圖分類號：C934文獻標識碼：A文章編號：1003-5192（2021）03-0069-07doi：10.11847/fj.40.3.69

Research on Material Inventory Optimization of Manufacturersunder Order Cancellations Predictable

CHEN Guang-hui， WANG Rui-ting， SU Bing， LI Hui-cong

（School of Economics and Management， Xian Technological University， Xian 710021， China）

Abstract：For the practical case that customers orders may cancel who have paid down deposit， the paper proposes to predict order cancellations based on linear regression model according to historical orders and actual transactions. Then the material inventory optimization model under order cancellations predicted with the objective of minimizing total inventory costs is established， and approximate algorithm GA with time complexity O（np） to solve the problem is designed（Where n denote categories of materials， p denote phases of order cancellation）， and the approximate ratio of GA is analyzed. Finally， take inventory data of XAHL Co.， Ltd. as an example to conform effectiveness of the model and algorithm，which help to optimize inventory strategies and material purchasing of XAHL Co.， Ltd.. All the conclusions are aim to provide theoretical basis for all material purchasing and inventory decision-makers of manufacturers.Key words：prediction; order cancellations; material inventory;? linear regression; approximate ratio

1 引言

制造商（本文特指面向訂單企業）在接到客戶訂單（均指產品訂單，后同）且客戶支付一定定金后進行原材料采購及生產。實際中，客戶支付定金后會由于銷售不景氣或發現性價比更有競爭力的產品等原因取消部分或全部訂單，此時制造商已完成原材料采購。為削弱客戶取消訂單帶來的庫存持有成本和管理成本增加，制造商會提前預測客戶訂單取消量。因此，研究客戶訂單取消量可預測的原材料庫存優化對制造商的采購、庫存決策具有重要的研究意義。

現有研究一類是考慮訂單不可取消情形下，要么考慮缺貨成本[1～7]研究制造商原材料庫存優化，其中李毅鵬等[3]主要從供應鏈上下游角度分析了制造商的訂單決策及期望利潤。Wang[5]建立了包括采購、持有和缺貨成本的多周期庫存優化模型。許圣佳和蔣煒[7]通過點擊量和購買量進行需求預測建立了庫存優化模型。要么考慮生產延誤成本[8～10]，Cohen等[8]結合丟失訂單的成本、最終并未簽訂的訂單丟失成本、產成品入庫而導致的持有成本以及因生產時間延遲引起的產品延誤成本研究了制造商庫存優化。Li[9]引入決策風險偏好對制造商最佳開始生產時間的決策進行了研究。黃焜等[10]構建了包含生產延誤成本的供應商成本模型。要么考慮生產變動成本，Khouja[11]，Darwish[12]探討了考慮生產變動成本的制造商原材料庫存優化。另一類考慮訂單可取消的情形，文獻[13，14]考慮訂單取消量為常數，其中Vlachos和Dekker[13]對固定退貨率的單周期存儲問題展開了探討，You和Wu[14]結合顧客在預售時段取消訂單且銷售時段的變質率是常數構建了以期望利潤最大為目標的目標函數。文獻[15～17]考慮訂單取消量服從概率分布，其中Fleischmann等[15]提出了訂單取消量服從泊松分布的庫存模型，黃祖慶和達慶利[16]假定需求和訂單取消率服從泊松分布建立了帶時滯性的最優訂貨模型并求解，范麗繁和陳旭[17]構建了所有訂單取消量的概率相等并服從二項分布的顧客接受概率模型。上述兩種方式多考慮過程結果即最佳訂貨量和訂貨點，預測的結果有時與實際不符，且針對面向訂單企業的制造商庫存優化研究的比較少，更缺少對基于訂單取消量可預測的制造商原材料庫存優化進行建模及求解經濟結果的研究。

針對現有研究的不足，本文針對已支付定金客戶取消訂單情形下的原材料庫存優化問題進行研究。首先構建基于歷史訂單量和實際交易量的線性回歸模型對客戶訂單取消量進行預測，在此基礎上以庫存總成本（訂貨成本+購入成本+庫存持有成本+缺貨成本-定金）最小為目標建立基于訂單取消量可預測的制造商原材料庫存優化模型，設計算法求解，并分析算法的復雜性和近似比[18，19]。最后以XAHL有限公司的庫存數據為例驗證了模型和算法的有效性，并計算和分析此情形下公司原材料庫存總成本，利用分析結果給出公司庫存優化策略。

2 問題描述與建模

制造商依據與客戶簽訂的訂單向原材料供應商采購原材料進行生產或裝配，并在采購原材料之前向客戶收取一定定金，同時制造商會依據訂單量給出價格折扣。原材料采購完成后，常出現已支付定金客戶取消訂單的情形，制造商如何預測客戶訂單取消量并決策原材料的采購量Q，使得其庫存總成本最小從而盡可能減少由此帶來的損失。

2.1 基本假設

為了更好解決已支付定金客戶基于訂單取消量可預測的制造商原材料庫存優化問題，給出以下基本假設：

（1）在新訂單出現之前原材料采購不能瞬時補貨。

（2）原材料采購完畢不能補貨。

（3）客戶取消訂單前制造商采購的原材料價格不變。

（4）客戶取消訂單前制造商原材料已采購完畢。

符號說明：K為訂貨成本;Qi為第i種原材料采購量;Pi為第i種原材料的單位購買價格;bi為第i種原材料的單位缺貨成本;H為單位庫存持有成本;A為客戶預定的產品數量;α為制造商提供給客戶的定金率;β為制造商提供給客戶的價格折扣率;P0為制造商提供給客戶的單位產品銷售價格;D為預測的訂單取消量;γi為制造商生產單個產品A需要第i種原材料的比例系數;c為采購常量（c>0），為了保證制造商采購量的非負性而設立。決策變量為Qi。

2.2 基于線性回歸的訂單取消量預測模型構建

客戶訂單取消量受眾多因素影響，本文選取歷史訂單量和實際交易量（二者的差值正是訂單取消量）作為自變量，建立基于歷史訂單量和實際交易量的線性回歸模型對客戶訂單取消量進行預測，進而構建了基于線性回歸的訂單取消量預測模型。以往研究通常假設第t時間段的訂單取消量為Dt，其訂單取消量預測模型為

Dt=μ1+σ1Z（1）

（1）式為一般訂單取消量預測模型服從正態分布時的線性回歸形式。其中μ1為正態分布的期望值，σ1為訂單取消量的標準差，Z為標準正態分布的隨機數。

本文根據t-1時間段的歷史訂單量Xt-1對第t時間段的訂單取消量進行預測，模型轉變為（2）式

Dt|Xt-1=θ0+θ1Xt-1+σ2Z（2）

其中σ22=Var[D2t]=（1-ρ2）σ21（3）

ρ是歷史訂單量和實際交易量之間的相關系數，θ0和θ1是參數，σ2表示訂單取消量的標準差。

可以看出，基于歷史訂單量與實際交易量間的相關性建立的訂單取消量預測模型比單純用訂單取消量進行預測誤差更小。

2.3 訂單取消量可預測的庫存優化模型構建

本文在預測訂單取消量基礎上，建立訂單取消量可預測的制造商原材料庫存優化模型并進行求解。以制造商庫存總成本最小為目標建立模型如下

min TC=K+∑ni=1QiPi+∑ni=1QiH2+

∑ni=1[γi（A-Dt）-Qi]bi-AαP0β（4）

s.t. Qi=-γi（A-Dt）+c（5）

∑nPi

A-Dt0（7）

0<β<1（8）

0<α<1（9）

0Qiγi（A-Dt）（10）

目標函數（4）：制造商庫存總成本最小，依次為訂貨成本、購入成本、庫存持有成本、缺貨成本、違約定金;約束條件（5）為原材料采購量和預測的訂單取消量成線性函數的約束;約束條件（6）是價格約束，即制造商原材料的采購價格小于產品的銷售價格;約束條件（7）是客戶訂單取消量的約束;約束條件（8）是制造商提供給客戶的價格折扣率約束;約束條件（9）是制造商提供給客戶定金率約束;約束條件（10）是原材料的采購量約束。

3 模型分析與求解

庫存問題是一個NP難問題，因此本文設計近似算法GA對所建模型進行求解[18，19]。假設Dt為預測的第t時間段的客戶訂單取消量;m為實際中客戶歷史訂單取消量最小值;M為訂單取消量最大值。

3.1 算法GA思想與步驟

3.1.1 算法GA思想

第一，制造商接到客戶訂單量A，根據產品的物料清單計算出原材料的需求量qi=γiA（i=1，2，…，n），即求出構成產品的n種原材料的需求量。而企業預測第t時間段的客戶訂單取消量為Dt，結合歷史訂單取消量所處區間[m，M]，將預測的訂單取消量與實際中歷史訂單取消量的極值進行比較，會得到不同情形，再針對不同情形進行具體分析并給出制造商原材料采購策略。

第二，將預測的訂單取消量同實際中歷史訂單取消量進行比較，分為三種情形，如圖1所示。

圖1 情形分析

（1）若Dt

（2）若Dt∈[m，M]，即預測的訂單取消量處在實際中歷史訂單取消量區間內。那么，當Dt=m時，按歷史訂單取消量最小值m計算;當

Dt∈[m，M]時，按Dt=mM計算;當Dt=M時，按歷史訂單取消量最大值M計算。

（3）若Dt>M，即預測的訂單取消量大于實際中歷史訂單取消量最大值，則按歷史訂單取消量最大值M計算。

第三，按照y=γi（A-Dt）進行n種原材料采購。

第四，根據原材料采購數量，輸出對應的Qi及min TC。

3.1.2 算法GA步驟

第1步 計算Dt|Xt-1=θ0+θ1Xt-1+σ2Z（t=1，2，…，p），令D={Dt}。

第2步 令τ=1。

第3步 如果Dt

第4步 如果mDtM，轉第6步;否則Dt>M，轉第10步。

第5步 令D*=D，轉第14步。

第6步 如果Dt=m，轉下一步;否則轉第8步。

第7步 令D*=m，轉第14步。

第8步 如果Dt∈（m，M），轉下一步;否則轉第10步。

第9步 計算mM，且令D*=mM，轉第14步。

第10步 如果DtM，轉下一步;否則轉第4步。

第11步 令D*=M，轉第14步。

第12步 如果τ

第13步 令k=1。

第14步 計算yk=γi（A-D*），若k

第15步 計算min TCi，輸出對應的yi。

3.2 算法GA的時間復雜度分析

算法第1步的計算次數為O（p）;第3～4步需要循環n次;第6步需要循環n次;第8步需要進行n次循環;第9步需要計算O（n）次;第10～12步需要進行n次循環;第14步需要計算n次，因而算法的復雜性為O（np），進而得到定理1。

定理1 訂單取消量可預測的庫存優化模型的算法GA的時間復雜度為O（np）。其中n為原材料種類數，p為預測訂單取消量時段數。

由于算法GA是一個近似算法，因此需要對算法的性能好壞進行分析，算法性能的好壞通常用算法的近似比來度量[18，19]，以下是算法GA的近似比分析。

3.3 算法GA的近似比分析

令OPT（I）表示任一實例I的最優解，A（I）表示應用算法GA求出的實例I的解。首先分析最優解并給出引理1。

引理1 對于任一實例I，該庫存優化問題最優解OPT（I）的下界為

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

證明 ??????TC=K+∑ni=1QiPi+∑ni=1QiH2+∑ni=1[γi（A-Dt-Qi）]bi-AαP0β

=K-AαP0β+∑ni=1QiPi+H2∑ni=1Qi+

∑ni=1γibi（A-Dt）-∑ni=1biQi

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）minQi+nγibimin（A-Dt）

意味著對任一實例I，其最優解OPT（I）下界為K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）minQi+nγibimin（A-Dt），證畢。

運用算法GA對I進行求解，解為

A（I）=K+∑ni=1QiPi+∑ni=1QiH2+

∑ni=1[γi（A-Dt）-Qi]bi-AαP0β

=K-AαP0β+∑ni=1QiPi+H2∑ni=1Qi+

∑ni=1γibi（A-Dt）-∑ni=1biQi

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）·

max Qi+nγibimax（A-Dt）

綜上，給出定理2。

定理2 訂單取消量可預測的庫存優化模型的算法GA的近似比為

η=K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）max Qi+nγibimax（A-Dt）

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

近似比與max Qi、max（A-Dt）成正比，與min Qi、min（A-Dt）成反比，其變化如圖2所示。

根據近似比變化圖，可進一步討論近似比的取值范圍。

η=1+（nPi+H2-nbi）max Qi+nγibimax（A-Dt）-

（nPi+H2-nbi）min Qi-nγibimin（A-Dt）K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

=1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

K-AαP0β+（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

當K-AαP0β=0時，算法GA的近似比為

η1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

因而得到推論1。

推論1 訂單取消量可預測的庫存優化模型的算法GA的近似比η上界為

1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）

由于K-AαP0βmax{K}，即當制造商的采購成本最大、固定訂貨成本最大時，得到算法GA的近似比為

η1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）+max{K}

由此得到推論2。

推論2 訂單取消量可預測的庫存優化模型的算法GA的近似比η下界為

1+（nPi+H2-nbi）（max Qi-minQi）+nγibi{max（A-Dt）-min（A-Dt）}

（nPi+H2-nbi）min Qi+nγibimin（A-Dt）+max（K）

因為近似比η的取值取決于max Qi、min Qi及max（A-Dt）、min（A-Dt），如果預測的訂單取消量的最大值與最小值相差不大時，則η的上界和下界都趨近于1。因此從近似比η可知，預測的訂單取消量之間誤差越小算法GA得出的值越接近最優值。

4 實例分析

XAHL有限公司，其產品一體化噴嘴（按客戶訂單進行原材料采購后生產）對各原材料需求狀況如表1所示。

第一，XAHL有限公司接到一體化噴嘴訂單量A=200件后，根據物料清單構成計算各原材料的需求量為qi，各原材料名稱及價格如表1所示。其中xi（i=1，2，…，12）表示一體化噴嘴由12種原材料構成，qi（i=1，2，…，12）表示客戶訂單對原材料的需求量，ai（i=1，2，…，12）表示單位產品原材料的需求量，Pi（i=1，2，…，12）表示原材料的單價。

第二， 由XAHL有限公司庫存數據知，公司實際中歷史訂單取消量最大值為76，最小值為13。當公司接到客戶訂單A=200件時，首先根據前一時段末的訂單取消量計算訂單取消量預測值Dt（t=1，2，…，12），并與歷史訂單取消量實際值[13，76]進行比較，分三種不同情形。若D<13，即預測的訂單取消量小于實際中歷史訂單取消量最小值，按預測的訂單取消量D計算;若13D<76，即預測的訂單取消量處在實際的歷史訂單取消量區間內時，若D=13當時，按D=13計算，當D∈[13，76]時，按D=13×76=31.43計算，實際以32計算;若D76，即預測的訂單取消量大于實際的歷史訂單取消量最大值，按D=76計算。不同時間段一體化噴嘴的實際訂單取消量及基于線性回歸預測的訂單取消量如表2所示。

第三，按照y=γi（A-D）進行12種原材料采購。

第四，計算采購量Qi。

第五，由于Pi

第六，計算庫存總成本：min TC=3520015.48元。

由上述分析可得XAHL有限公司庫存優化策略：當公司預測的訂單取消量與實際的歷史訂單取消量誤差不大時，根據預測的訂單取消量來決策原材料的采購量，此時其庫存總成本最小。

5 結論與啟示

本文在考慮已支付定金客戶取消訂單情形下，首先根據制造商的歷史訂單量和實際交易量建立基于線性回歸的訂單取消量預測模型;然后以制造商庫存總成本最小為目標構建訂單取消量可預測的制造商原材料庫存優化模型，對模型設計近似算法GA進行求解分析，得到GA的時間復雜度是O（np）;接著進行近似比分析。由求解結果可知，如果預測出的訂單取消量最大值與最小值相差不大時，近似比η的上界和下界都會趨近于1，此時算法GA得出的值越接近于最優值。

綜上所述，制造商在進行原材料采購前，可以先預測已支付定金客戶的訂單取消量。若預測的訂單取消量小于實際中歷史訂單取消量最小值，按照預測的訂單取消量進行計算;若預測的訂單取消量處在歷史訂單取消量變化區間內，以預測值D=最大值×最小值（指實際歷史訂單取消量）進行計算;若預測的訂單取消量大于歷史訂單取消量最大值，則按歷史訂單取消量最大值計算。由此可知，根據訂單取消量預測值，結合制造商原材料庫存優化模型，對原材料進行采購，從而達到庫存總成本最小。上述結論可為制造商進行原材料采購及庫存決策提供理論依據。

本文研究的不足之處在于提出的假設為客戶取消訂單之前制造商采購的原材料價格一直不變，并不完全符合現實市場發展規律，也沒有針對多級庫存進行研究。

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