含末端質量的懸臂梁隨機非線性振動的隨機平均法

解娜娜， 葛 根

(天津工業大學 機械工程學院，天津 300387)

懸臂梁作為一種應用廣泛的基礎性結構，其動力學問題一直是學者們研究的重點。Zavodney等[1-2]進行了含集中質量的懸臂梁振動試驗，在試驗測試的基礎上，采用多尺度法進行了理論分析，并用試驗數據驗證了分析的正確性。Nayfeh等[3]討論了幾何非線性和慣性非線性對響應的影響是否等效，在多尺度法的基礎上，得出了幾何非線性產生漸硬效應、慣性非線性產生漸軟效應的結論。Dwivedy等[4]將多尺度法推廣到高階多尺度法，并將其應用于懸臂梁的動力學研究。Hamda等[5]比較了多尺度法和諧波平衡法的精度。懸臂梁振動常用的方法除了多尺度法外還有許多其它的方法，比如能量平衡法和變分法[6-7]， Nikkar等用這些方法研究了帶有中間集中質量的均勻懸臂梁的大振幅自由振動。除此之外，學者們將激勵從確定的簡諧激勵推廣到隨機噪聲，如Feng等[8-9]用窄帶噪聲激勵懸臂梁模型，并用多尺度法進行分析。Ge等[10]將隨機平均方法應用于受高斯白噪聲橫向激勵的懸臂梁模型。

在許多懸臂梁振動試驗研究中，需要將附著在懸臂梁上的加速度傳感器視為不可忽略的集中質量。由于振動過程中的橫向和軸向都有位移，不可避免地在方程中產生慣性非線性項(在部分文獻中稱之為和坐標相關的質量coordinate-dependent mass)[11-12]，但是傳統的隨機平均法[13-15]只能解決擬線性振子或含有剛性非線性項的振子。當含有慣性非線性項時，現有的隨機平均法尚不能完全適用。所以本文提出了一種可適用于含末端質量懸臂梁振動的改進強非線性隨機平均法，這種方法將原本解決僅含有剛性非線性項的隨機平均法擴展到了能解決既含有剛度非線性又含有慣性非線性的振子。

文中首先用凱恩方程對含有末端質量塊的懸臂梁進行了建模，將模型的系數與Zavodney等用牛頓力學建立的含集中質量的模型系數進行了比較，發現當把文獻[16]162中的邊界條件改為與本文相同時，模型系數是相同的，這一比較證明了我們建模的正確性。然后構造了振子的哈密爾頓函數，利用該函數導出了關于瞬時振幅和瞬時相位的一組隨機微分方程，隨后用能量平衡法[17]得到了平均化頻率表達式。本文的隨機平均法將隨機微分方程組簡化為一維伊藤隨機微分方程?；谝撂俜匠?，得到了末端質量取不同值時的瞬態振幅的穩態概率密度以及速度-位移的穩態聯合概率密度。蒙特卡羅法數值模擬充分說明了本文方法的有效性。

1 建 模

圖1 基座激勵下含有尖端質量的細長均勻不可拉伸懸臂梁

如圖1所示，由于梁是不可拉伸的，微段P的位移矢量為

dP=ui+[w(s,τ)+h(τ)]j

(1)

P的軸向位移和Mt的軸向位移為

(2)

式中，ξ為s的形式變量。

對式(2)求時間的導數，得到P的速度vP和加速度aP為

(3)

(4)

同樣地，尖端質量Mt的速度和加速度為

(5)

(6)

梁的彎曲變形能

(7)

其中的彎矩M

(8)

懸臂梁的i階橫向位移可以設為式(9)

wi(s,τ)=φi(s)qi(τ)

(9)

(10)

式(10)的邊界條件為

將式(3)～(9)代入式(10)，得到式(11)

(11)

引入無量綱變換

(12)

其中的系數為

模態函數是

φi(ζ)=cosh(λiζ)-cos(λiζ)+

(13)

式(13)雖然是由線性懸臂梁振動模型推導出來的，但在非線性動力學問題中仍是有效的。λi是超越頻率方程式(14)的根。

kλ[cos(λ)sinh(λ)-sin(λ)cosh(λ)]·

[1+cos(λ)cosh(λ)]=0

(14)

表1 式(12)的系數

(15)

式(15)的系數,如表2所示。

表2 式(15)的系數

式(15)可被寫為

(16)

式中：x為關于時間的t的變量，x的二階導數前的括號內(1+α2x2)被稱為慣性非線性項(坐標相關質量coordinate-dependent mass);α2為慣性非線性系數;α1為剛度非線性系數;ω為線性基礎圓頻率;μ為線性阻尼系數;γ為外激系數;η(t)為外激勵信號。

當η(t)是高斯白噪聲時，隨機平均法是一種有效的求解方法。隨機平均法有標準隨機平均法(幅值包線隨機平均)、能量包線隨機平均[19]240-243等幾種。Ge等曾利用能量平衡法改進了幅值包線隨機平均法。這些隨機平均法目前只能解決不含慣性非線性的振子的隨機振動問題。為處理式(16)中慣性非線性，Ge等[20]采用一種近似變形：在式(16)上每項乘以(1+α2x2)-1，然后將(1+α2x2)-1用馬克勞林展式近似為(1-α2x2)，如此這個方程被化簡為形式上不含慣性非線性項的近似方程，隨后該近似方程用隨機平均法得以求解。文獻[21]也采用類似泰勒展開的方法對加速度項進行的近似后采用路徑積分法(path integral solution, PIS)求解含集中質量的懸臂梁響應的穩態概率密度函數數值解。Ge等提出的近似(1+α2x2)-1≈(1-α2x2)實際有很大的局限性，因為這個近似僅在x很小時才能成立。因此，目前需要一種能對式(16)直接求隨機平均的方法。

2 公式變形

式(16)的動能為

(17)

式(16)保守力的勢能為

(18)

則哈密爾頓函數為

(19)

假設位移、速度為

θ=Φ(t)+τ(t)

(20)

式中:A是隨機瞬時等效振幅;τ(t)是隨機相位。隨機頻率為

(21)

把式(20)代入式(19)，當θ=0，哈密爾頓函數為

(22)

當θ≠0，哈密爾頓函數為

(23)

顯然處于穩態時，H1=H2在任何時候都成立，可以解得

(24)

其中

M(Acosθ)=1+α2A2cos2θ

(25)

我們現對x=Acosθ求時間導數得

(26)

化簡得

(27)

再對y=-Aνsinθ求時間導數，結合式(25)中第二個式可得

(28)

(29)

(30)

(31)

如此聯立式(27)和式(31)，并考慮

(32)

將式(32)代入式(27)，可得：

(33)

目前為止，我們已經將式(16)化為了式(32)、(33)這個隨機微分方程組。

(34)

此結果已經被多次驗證[22-23]。

如此，可知式(32)、式(33)中θ(t)可重新表示為

θ(t)=ω(A)t+τ(t)

(35)

3 隨機平均

將式(32)、式(33)重新表示為標準形式

(36)

其中

(37)

首先式(37)這個結果中的漂移項m1，m2含有慣性非線性項M(Acosθ),而擴散項b11，b21則不含有，說明慣性非線性項只對漂移項起作用。其次，如果忽略慣性非線性，則式(37)就和文獻[19]240-242中的表達式完全一致，這說明了上述的推導的正確性。如此可將式(36)用隨機平均原理化簡為一個一維伊藤微分方程。

dA=m(A)dt+σ(A)dW(t)

(38)

其中m(A)為漂移項，σ2(A)為擴散項，W(t)為標準的單位維納過程。m(A)和σ2(A)表達式由式(39)得出

(39)

Rij(τ)=

(40)

其中的算子E[·]表示數學期望，δ(τ)為狄拉克-德爾塔函數。

由式(39)可以計算出m(A)和σ2(A)表達式分別如下

(41)

其中各系數為

a6=α1(3Dα1α2+40α1μω2+22α2μω4)

a4=4(5Dα1α2ω2+44α1μω4+8α2μω6)

a2=-4(Dα1ω2-4μω6)

a0=-8Dω4

(42)

4 穩態概率密度

基于伊藤方程的平均?？?普蘭克-柯爾莫哥洛夫方程(Fokker-Planck-Kolmogorov, FPK)為

(43)

(44)

常數N是歸一化系數。

只需把式(41)、(42)代入式(44)可得穩態概率密度函數式(45)

(45)

如此可知關于哈密爾頓函數H的穩態概率和振幅A的穩態概率密度關系如下

(46)

振幅A和哈密爾頓函數H的關系可由式(22)反解出來

(47)

只需把式(47)代入式(46)即可得到關于哈密爾頓函數H的穩態概率。

再接下來，關于x和y的聯合概率密度又可以由哈密爾頓函數H的穩態概率得到

(48)

5 數值模擬

(實線：式(45)解析解；圓點：數值模擬)

關于位移x和速度y的聯合概率密度函數的計算如下。先定義一個平面{-0.2≤x≤0.2,-0.6≤y≤0.6}，以步長Δx=0.013,Δy=0.04劃分30×30網格。對剛才穩態的n=2 000×200 000個點統計落在每個格子里的點數，如此可計算出每個格子里的概率值，將概率值除以格子面積Δx·Δy即可得每個格子的概率密度函數值。理論值式(47)和其數值模擬的結果如圖3所示。

(a) k=0,式(48)理論預測值

從圖2、圖3可以發現，無論是等效振幅A還是速度和位移聯合概率密度的理論預測結果和蒙特卡羅數值模擬結果對應非常良好。這說明了本文方法的有效性。

6 結 論

本文研究了一種可應用于含有末端質量的懸臂梁振動的隨機平均法，將原本只能處理含有非線性剛度的隨機平均法發展到了能處理同時含有剛性非線性項和慣性非線性項的隨機微分方程組，我們發現：

(1) 慣性非線性只影響隨機微分方程的漂移項，不影響擴散項。

(2) 在微分方程組化簡為伊藤方程后，在伊藤方程基礎上，得到概率密度函數的表達式。數值模擬和概率密度函數的理論預測與模擬結果完美對應。

總的來說，本文方法有效地擴大了隨機平均法的使用范圍。