一段函數交點問題的變式探究

張和平，朱燦梅

（1.凱里學院，貴州凱里 556011；2.凱里市第十五中學，貴州凱里 556011）

疫情防控期間，貴州省推出“陽光校園·空中黔課”的線上教學活動，講授“一段函數的交點問題”專題課程，深受啟發，受益匪淺.然而，線上教學中如何處理知識、技能與思想的關系，如何充分揭示數學思想、培養學生思維品質等問題，值得思考，也是開放式線上教學大眾督導的益處和進步.在此，筆者通過問題變式的討論，以期拋磚引玉.

1 教學復述與思考

教學問題：若直線y=-3x+b與雙曲線在1 ≤x≤4 的范圍內有公共點，則b的取值范圍是____________.

授課過程：如圖1 所示，一次函數y=-3x+b是一組平行直線，使用代入法求參數b的取值范圍.依題意，直線y=-3x+b與雙曲線y=在1 ≤x≤4的范圍內有公共點，把x1=1 和x2=4 代 入y=，求得y1=2，y2=，即得兩交點是（1，2）和把x1=1，y1=2 和x2=4，y2=分別代入直線y=-3x+b，求得b1=5，b2=.所以，b的取值范圍是：

一點思考：由教學過程發現，一方面，從教師上課中的直觀構圖（圖1）可看出，存在2 個明顯失誤：一是對直線y=-3x+b一次項系數性質沒有把握，造成繪制直線草圖方向偏差大而出現錯誤.圖1 中繪制b（1由x1=1，y1=2 求得）在b（2由x2=4，y2=確定）上方，與結果表述（b1＜b2）矛盾.說明對直線y=ax+b的一次項系數（a=-3）缺乏最基本的判斷，一次函數y=-3x+b圖像與正比例函數y=-3x圖像是平行直線，一次項系數a=-3確定了直線的方向變化情況；二是在1 ≤x≤4的范圍內直線y=-3x+b與雙曲線的公共點是右交點（作為教師應該明白），而繪制草圖1是左交點，沒有正確把握交點的情況.另一方面，本課程教學中主要使用代入法求解b的取值范圍，方法簡單，技巧可操作性強，但沒有實現向聯系、問題引領的深度教學轉變［1］，特別是缺乏解釋b取值范圍存在性原理，沒有很好揭示本專題蘊含的函數、方程、化歸、幾何直觀等重要數學思想，不利于學生數學思維品質的培養.

此題也曾是2019年QZ市HA 縣初中學業質量監測數學試題的一道填空題，主要考查初中學生對2個重要函數性質以及蘊含的數學思想掌握情況，題目綜合性較強，在教學中不應該就題論題，應該解決一類問題的本原性原理，更要注重蘊含數學思想的分析.

2 問題解答與討論

首先，確定b值存在性問題.由已知直線y=-3x+b與雙曲線有公共點，通過聯立方程求解公共交點，即解方程組整理得3x2-bx+2=0.由判別式Δ=b2-24，令Δ=b2-24 ≥0，解得，或說明當或時，直線y=-3x+b與雙曲線有公共點.而且可以計算，y=時的唯一公共交點是

第二步，討論b在指定區域內的取值范圍.依題意，在指定范圍內確定b值，要考慮這樣幾個問題：①在指定區域內，x與b是否建立有對應關系？②在關系式中隨著x增大，b如何變化？③是否通過構建直觀圖像判斷b的變化趨勢？

帶著這些問題，利用已知條件試圖建立x和b之間的關系.由上述方程組，把（2）式代入（1），整理得，說明x和b之間能夠建立關系，即每一個xi(i=1,2,…,n)都對應一個bi(i=1,2,…,n).根據一次函數y=ax+b(a≠0)性質，由每一個bi(i=1,2,…,n)構成無數條直線簇都與直線y=ax平行.先畫直線y=-3x的圖像，如圖2所示.當時，在上每一個點確定的每條直線y=-3x+bi都與直線y=-3x平行，根據構建圖像（圖2）可知，都隨x的增大而增大.把x1=1，y1=2 和x2=4，分別代入直線y=-3x+b，求得b1=5，由以上分析，在1 ≤x≤4的范圍內b的取值范圍是

圖2

上述的教學過程中，通過構建方程組探討了b值的根源性問題，把問題延伸到在定義域內確定b的取值范圍的教學，體現了對函數思想、方程思想、化歸思想的培養［2］.在第二步討論b在指定區域內的取值范圍教學中，依據函數的性質描繪關于b值范圍的趨勢變化圖像，凸顯函數思想和幾何直觀思想［3］在教學中的運用.在整個教學過程中，先是求定義域內b的取值范圍到指定區域內b的取值范圍的一個教學設計，體現由一般性原理到特殊值、整體性到局部的數學思想［3］.教學中要心中有思想，站高一級思考問題、降低一位來解決學生的實際問題，要由傳授知識、技能教學深化到加強數學思想的滲透培養.

變式練習與思考：

一次函數系數改變符號變式問題：如果直線y=3x+6 與雙曲線在1 ≤x≤4 有公共交點，求b的取值范圍.

問題設疑：經過計算，得b1=5，，依據前面結果表達方式，答案是不是為什么？

簡單分析：如圖3所示，依據直線y=3x+6的一次項系數a=3大致描繪一次函數圖像.隨著x的增大，b逐漸變小，從而，正確答案是

圖3

通過上述解題分析可知，本專題教學如果設計為如下問題，對學生認知和解題將會有一定幫助：

（1）討論直線y=-3x+b與雙曲線的交點情況，并確定參數b的取值范圍；

（2）若直線y=-3x+b與雙曲線在1 ≤x≤4的范圍內有公共點，求b的取值范圍.

3 問題變式與探究

把上述問題變式為如下問題：

（1）討論y=-3x+6與的交點情況，并確定參數b的取值范圍；

（2）若直線y=-3x+6與雙曲線在1 ≤x≤4的范圍內有公共點，求b的取值范圍.

此變式是由直線方程參數變為曲線方程有參數，圖像及其變化都較為復雜，對初中學生是深度變式，需要分析不同情況進行解決.

整理得3x2-6x+b=0，由判別式Δ=36 -12b，令36 -12b=0，解得b=3；Δ ＜0，解得b＞3；Δ ＞0，解得b＜3.所以，當b=3時，直線與雙曲線有唯一一個公共交點；當b＞3時，直線與雙曲線沒有公共交點；當b＜3時，直線與雙曲線有2個公共交點，但要考慮b≠0情況.

②直線y=-3x+6 的圖像是確定的，建立直角坐標系，先畫此圖像.根據雙曲線y=(b≠0)性質，如圖4所示，隨著b增大，雙曲線(b≠0)沿著直線y=x移動遠離坐標原點.

圖4

聯立（3）（4）解方程組，解得b=xy=-3x2+6x.根據函數性質，二次函數b=-3x2+6x開口向下，頂點坐標為P（1，6），即當1 ≤x時，二次函數b=-3x2+6x嚴格遞減，如圖5 所示.因此，計算得當x=1時，b=3；當x=4時，b=-24.

圖5

現在討論b值變化情況及取值范圍：根據前述可知，當b≤3（b≠0）時，直線y=-3x+6 與雙曲線有公共交點，而且b=3 時直線與雙曲線相切，即b=3 最大臨界值.根據題意，可繪制如圖6所示的幾何圖形.

圖6

當x從1→4 變化時，直線y=-3x+6 上點A（1，3）沿該直線下移至點D（4，-6），由直觀圖形和b=-3x2+6x核算可知，當x=2時，b=0（即y=0的一條直線）.由此可知，當x=2，即b=0時，是雙曲線在一、三象限和二、四象限的分界點.

經上述討論，在1 ≤x≤4范圍內，b的取值范圍是-24 ≤b＜0和0 ＜b≤3.

由解題教學看出，參數變為雙曲線函數問題，難度變得復雜.由雙曲線性質判斷曲線的圖像變化趨勢，隨著指定點由B向C移動，一次函數值將由點A 移動到點D，是一個動態變化過程.這個變化過程中，當x無限趨近于2時，雙曲線圖像將由在一、三象限變到二、四象限，x=2是分界點.這個教學過程中不僅體現了函數思想、方程思想、數形結合、化歸思想、幾何直觀、空間觀念和邏輯推理等初等數學中的基本思想［4］，更是滲透了由靜態向動態、有限向無限的高等數學思想轉變，不僅讓學生感受數學之美妙所在，享受數學課堂學習快樂.

變式練習與分析：

（1）一次函數系數改變符號的變式思考：若直線y=3x+6與雙曲線在1 ≤x≤4的范圍內有公共點，求b的取值范圍.

簡要分析：首先利用根判別式確定直線y=3x+6 與雙曲線存在公共交點b的取值范圍，經計算，當b≥-3時直線與雙曲線有公共交點.

然后確定在1 ≤x≤4的范圍內b的取值范圍.聯立直線與雙曲線函數，建立方程組：

計算得：b=3x2+6x，此二次函數開口向上，頂點坐標P（-1，-3），說明二次函數b=3x2+6x在-1 ≤x上（嚴格）遞增.所以，當1 ≤x≤4時，b的取值范圍是：9≤b≤72.

（2）變換函數的變式思考：

①已知函數y=3x+6與y=x2-c（c為常數）的圖像有且僅有一個公共點，則常數c的值為多少？

②已知函數y=3x+6 與y=x2-c（c為常數）在1 ≤x≤4 范圍內有且僅有一個公共點，則常數c的值為多少？

簡要分析：對于問題①，需要聯立2個函數構建方程組，消元化歸為一元二次方程，依題意利用判別式求解，并判別2 個函數在有2 個交點.對于問題②，需要思考兩個問題：一是探討時，交點是否在指定范圍內；二是在1 ≤x≤4范圍內只有一個公共點，需要考慮兩端界點情況.由問題①可知，c=時，則，該值在1 ≤x≤4 范圍內，符合條件；考慮兩個端點問題：（1）當x=1 時，計算得c=-8，函數y=3x+6 與y=x2+8 有2 個共同點，即A（1，9），B（2，12），如圖7所示，不符合題意條件.

圖7

從圖7中可看出，當c從變化到-8時，函數y=3x+6與y=x2-c都有2個公共點.而且判斷出兩函數兩交點A（1，9）和B（2，12）是不符合條件的臨界點，x=2是臨界點的右交點，即相當于x=2時c=-8不符合條件.因此，在1 ≤x≤2指定區域內兩函數有且只有一個交點，計算出只有符合條件.當x=4時，解得c=-2，聯立兩函數y=3x+6與y=x2+2，解得兩交點P（-1，3），C（4，18），在1 ≤x≤4指定范圍內只有一個交點，符合題意.所以，函數y=3x+6與y=x2-c（c為常數）在1 ≤x≤4范圍內有且僅有一個公共點，則常數c的值為：和-8 ＜c≤-2.

值得注意的是，此變換函數的變式題與原教學專題有相同之處，在指定1 ≤x≤4范圍內計算左端點x=1時都存在左、右兩交點問題，而且是右交點符合條件，解題過程中在繪制圖形或是求解參數時可能容易忽視，甚至造成錯解.

由上述變式教學討論可知，一段函數交點問題的變式形式是多種多樣的，可以通過交換、改變兩個函數的參數，可以變換其中一個函數及其參數，也可以變換指定不同定義域范圍等變式，都可能構建成為一個好的變式探究問題.對于一段函數交點問題的教學設計中，需要通過聯立構建方程組，從問題的本原性探討b的取值范圍，再把問題延伸到在定義域內確定b的取值范圍的教學，滲透了函數、方程和化歸等數學思想，呈現由一般到特殊、整體到局部的數學思維過程.依據函數的性質在指定定義域范圍內描繪b值范圍的變化趨勢圖像，不僅體現函數思想、數形結合、空間觀念和幾何直觀在教學中的運用，更是呈現了由靜態向動態、有限向無限的高等數學思想的滲透，讓學生感受數學之美妙，享受數學課堂學習快樂，為進一步數學學習提供感性認識和理性思維，培養學生良好的數學思維品質.