滾動導軌副多因素振動響應分析

沈瑞豪，馬雅麗，陳志

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

作為直線運動導向部件，滾動導軌副由于定位精度高，傳動性能好，摩擦小，被廣泛應用于各類機械裝置，因此對滾動導軌副的動態響應分析具有很好的理論和實際應用意義。滾動導軌副動態響應特性的誘因依據激勵方式主要分為固有結構屬性、外部激勵與零部件幾何誤差。

考慮固有結構屬性的動態響應，目前主要研究內容是滾動導軌副五自由度固有頻率與模態振型。文獻[1]將滾動體等效成八節點彈簧阻尼單元，建立五自由度的直線導軌振動模型，獲得滾動導軌的固有特性。文獻[2]將滾動體等效為法向線性彈簧單元，基于拉格朗日方程建立導軌系統解析動態模型，分析了滾動導軌各階固有頻率與各階模態振型。文獻[3]分析了由摩擦引起的切向剛度對滾動導軌固有頻率的影響。然而固有結構屬性僅能反映自身的動態性能，需考慮外部激勵與零部件幾何誤差對響應特性的影響。

考慮外部激振力的動態響應，目前主要研究內容是非五自由度非線性系統的動態響應分析與五自由度線性系統的動態響應分析。文獻[4]建立五自由度線性動力學模型，分析動載荷、預緊力及靜載荷對滾動直線導軌的動力學響應的影響。文獻[5]進一步考慮滾動體接觸非線性，建立了滾動直線導軌時變分段非線性單自由度動力學模型，分析了平均載荷與激振力對系統動態特性與穩定性的影響。文獻[6-7]考慮導軌結合面非線性特征，建立三自由度非線性模型，研究了外部激振力下工作臺系統的振動特性。然而，非五自由度分析未能全面反映導軌副各向振動狀態，線性系統未能反映滾動體與滾道之間的非線性接觸，非線性接觸使動態響應特性變得復雜。

滾動導軌副零部件幾何誤差影響其剛度，進而影響其動態響應特性。文獻[8]分析了設計階段幾何誤差的不確定性對運動誤差響應規律的影響。文獻[9]探究了一般形狀與波形的導軌法向誤差下的工作臺五自由度運動誤差特性。文獻[10]將導軌幾何誤差等效成彈簧預緊力，建立了基于有限元方法的滾動導軌運動誤差模型。文獻[11]等建立了基于機床導軌公差的系統運動誤差預測模型，構建了幾何誤差、運動誤差與公差之間的映射關系。然而，導軌副幾何誤差多考慮在系統運動誤差分析中，較少考慮在動態響應分析中。

綜上，本文將建立考慮導軌直線度誤差的五自由度非線性動力學模型，同時考慮預緊力、外部靜載荷與外部激振力對振動特性的影響，構建多因素影響下的振動分析理論基礎，分析振動響應特性與各振動性能因素之間的影響規律。

1 滾動導軌副動力學建模

首先建立滾動導軌副接觸變形模型，獲取接觸變形量，再將滾動導軌副簡化成五自由度非線性質量彈簧系統，基于拉格朗日方程推導動態微分方程組，通過龍格-庫塔法完成方程組求解。本文以雙導軌四滑塊的滾動導軌副為研究對象，如圖1所示，滑塊與工作臺固聯為運動部件，兩導軌與基座固聯，通過滾動體實現導軌與滑塊的相對直線運動。圖中:H為工件高度,Lf為導軌跨距,R1為激振力x向分力Fod-x與x0軸的水平距離,R2為激振力y向分力Fod-y與y0軸的水平距離,T為工作臺厚度。

圖1 滾動導軌副結構與載荷示意圖Fig.1 Structure and load diagram of LMBS

滾動導軌副動力學模型如圖2所示，考慮滾動體與滾道的實際接觸狀態，將滾動體與滑塊滾道、導軌滾道的接觸變形等效成不同接觸系數的彈簧單元。外部激振力Fod=Foutsin(ωt)加載在工件上，ω為正弦激振力角頻率。

1.1 滾動導軌副接觸變形分析

基于剛體理論進行滾動導軌副接觸變形分析，即滾動體彈性變形分析。滾動體彈性變形由振動性能因素引起，影響機理為將導軌直線度誤差等效為滾動體彈性變形；預緊力反映為滾動體的理論直徑的改變；外部靜載荷與激振力改變滾動體與滾道接觸力，接觸力引起滾動體彈性變形。

滾動導軌副的振動響應反映為運動部件的振動位移變化。由于系統結合面處接觸變形的存在，使得運動部件產生五自由度上的位移，分別是沿著y0軸的水平振動位移εy；沿著z0軸的垂直振動位移εz；繞x0軸的側翻振動位移θx；繞y0軸的俯仰振動位移θy；繞z0軸的偏航振動位移θz，如圖2所示。

運動部件的振動位移描述為滾動導軌幾何量的變化，幾何量包括滾道的曲率中心與滾動體的尺度，導軌副的彈性變形導致幾何量的變化。在實際工況中，滾動導軌副中不同滑塊處的接觸特性不同。運動部件的振動位移隨著時間變化，幾何量的變化亦處于時變狀態，如圖3所示。Oc0,ijk，Oc,ijk分別是滑塊滾道理論和實際曲率中心?；瑝K理論曲率中心Oc0,ijk沿水平方向移動ΔYc,ijk，沿垂直方向移動ΔZc,ijk變成實際曲率中心Oc,ijk。位移量ΔYc,ijk和ΔZc,ijk的表達式為

圖3 滾動導軌接觸變形模型Fig.3 Contact deformation model of LRG

ΔYc,ijk=εy-θxzc,ijk+θzxc,ijk,

(1)

ΔZc,ijk=εz+θxyc,ijk-θyxc,ijk,

(2)

式中：(xc,ijk，yc,ijk，zc,ijk)為第i號滑塊第j號滾道第k號滾動體所在對應位置滑塊滾道曲率中心在坐標系O0x0y0z0中的坐標值，i=1,2,3,4，j=1,2,3,4，k=1,2…Z；Z為單列滾動體數。

導軌直線度誤差引起導軌幾何量的變化，改變滾動體與滾道的接觸狀態，進而影響滾動體的彈性變形量。直線度誤差是指被測實際直線與理想直線的偏差。滾動導軌副的理想直線選取為各導軌滾道初始曲率中心沿運動方向形成的直線。

Or0,ijk，Or,ijk分別是導軌滾道理論和實際曲率中心。導軌直線度誤差的存在使得導軌理論曲率中心Or0,ijk沿水平方向移動ΔYr,ijk，沿垂直方向移動ΔZr,ijk，如圖3所示。由于位移量ΔYr,ijk，ΔZr,ijk滿足狄利克雷邊界條件，因此可用傅里葉級數gijk描述公差范圍內導軌直線度誤差的變動，表達式為[12]

(3)

xijk=x0,ijk+vbt，

式中：σ為導軌直線度公差；n為諧波階數；λ為導軌直線度誤差波長；φ為相位；x0,ijk為接觸點沿導軌方向初始位置；vb為滾動體移動速度；t為運動時間。

隨著傅里葉級數項數的增加，各項的諧波幅值減小，導軌直線度誤差對導軌曲率中心影響變小，因此取傅里葉級數第1項描述導軌直線度誤差。

滾動導軌副幾何量的變化等效成滾動體的彈性接觸變形量，滾動體總接觸變形量δijk與幾何量之間的幾何關系為

(4)

fc=rc/D，

fr=rr/D，

式中：L0為曲率中心Oc0,ijk,Or0,ijk之間的理想距離；α0為理想接觸角；λb為反映預緊力的滾動體理論直徑變化量；ΔYijk，ΔZijk分別為滑塊和導軌曲率中心的合位移分量(表1)；rc，rr分別為滑塊與導軌的曲率半徑。

表1 位移分量ΔYijk，ΔZijkTab.1 Displacement components ΔYijk and ΔZijk

考慮滾動體與兩側滾道的接觸變形系數不同，將幾何關系下的滾動導軌副接觸變形量通過載荷關系進行分解。假設滾動體總接觸變形量近似等于滾動體與滑塊和導軌滾道接觸變形量之和，基于赫茲接觸理論，接觸變形量δijk，δc,ijk和δr,ijk的表達式為

(5)

(6)

(7)

Kijk=

(8)

式中：Kc,ijk，Kr,ijk分別為滑塊側與導軌側接觸變形系數；δ*為量綱一的接觸變形；∑ρ為曲率和；ζ為泊松比；E為彈性模量。

1.2 滾動導軌副動力學微分方程

復雜剛體動力學模型微分方程可通過拉格朗日方程建立，表達式為[13]

(9)

1.2.1 滾動導軌副勢能與動能

滾動導軌副勢能為滑塊側與導軌側接觸力沿滾動體彈性變形方向所做合功。在第i號滑塊第j號滾道第k號滾動體處，滑塊側接觸力使得滾動體彈性接觸變形量從0增加至δc,ijk，滑塊側接觸力做功Wc,ijk，導軌側接觸力使得滾動體彈性接觸變形量從0增加至δr,ijk，導軌側接觸力做功Wr,ijk。則滑塊側與導軌側接觸力所做合功Wijk為

(10)

則滾動導軌副的勢能和動能分別為

(11)

(12)

式中：m為運動部件質量；Jx，Jy，Jz分別為運動部件相對于x0，y0，z0的轉動慣量。

1.2.2 滾動導軌副動力學微分方程

基于拉格朗日方程，考慮導軌副勢能、動能和廣義力(外部激勵、外部靜載荷)，建立五自由度振動微分方程組為

(13)

式中：Fos-y，Fos-z，Mos-x，Mos-y，Mos-z分別為外部靜載荷各向分解量；Fod-y，Fod-z，Mod-x，Mod-y，Mod-z分別為外部激振力各向分解量。

1.3 滾動導軌副動力學方程求解

基于滾動導軌副初始輸入參量，聯立(1)—(12)式，采用龍格-庫塔求解動力學方程，具體計算流程如圖4所示。

圖4 數值計算流程Fig.4 Numerical calculation flow chart

2 實例求解與分析

2.1 滾動導軌副結構參數

以某型單列四滾道型滾動導軌為例進行實例計算和分析，滾動導軌副具體參數見表2。

表2 滾動導軌副參數Tab.2 Parameters of LMBS

2.2 直線度誤差對振動位移響應的影響

定義波長比Λ(Λ=λ/λ0)，λ0為基礎波長(λ0=500 mm)，λ為實際波長。ΔYr,ijk,ΔZr,ijk用相同的一階傅里葉級數描述。當波長比Λ∈(0,2)時，誤差波長比、誤差幅值對運動部件位移振幅響應的影響規律如圖5所示。

圖5 不同誤差波長和幅值下的振幅-波長比響應Fig.5 Amplitude-wavelength ratio response under different error wavelengths and amplitudes

當誤差幅值相同時，水平位移與垂直位移(直線位移)的振幅整體變化趨勢相近，即隨著Λ增大呈現振幅先減小后增大且不斷重復的趨勢；俯仰位移與偏航位移(轉角位移)的振幅整體變化趨勢相近，即隨著Λ增大呈現振幅先增大后減小且不斷重復的趨勢；側翻位移振幅隨著Λ增加而減小直至趨于穩定。因為隨著波長的增加，導軌直線度誤差變化緩慢，滑塊直線位移與直線度誤差變化趨近相同，滑塊間趨近量差距較小，進而導致直線位移振幅與轉角位移振幅反向變化。由于滑塊間距與直線度誤差波長相對大小的變化，使得滑塊間滾動體的變形量不同，進而導致趨勢重復現象。當誤差波長相同時，誤差幅值分別為4，8，10 μm，隨著誤差幅值的增大，各向位移振幅呈整體增大趨勢。

2.3 外部激振力對振動位移響應的影響

定義頻率比Ω=ω/ω0，ω0為基礎頻率(ω0=1 500 Hz)，ω為實際頻率。當頻率比Ω∈(0.71,1.40)時，外部激振力的激振頻率、激振力幅值對運動部件位移振幅響應的影響規律如圖6所示。

圖6 不同外部激振力頻率與幅值下的振幅-頻率比響應Fig.6 Amplitude-frequency ratio response under different external excitation force frequencies and amplitudes

當外部激振力幅值相同時，各向位移振幅在頻率比區間內存在振幅峰值。不同位移振幅峰值對應的頻率比不同：水平位移、垂直位移、側翻位移、俯仰位移、偏航位移的振幅峰值頻率比分別為1.00，1.13，1.00，1.28，1.13。位移振幅峰值出現的原因是激振力頻率與固有頻率接近產生共振現象，由于不同振動位移方向的滾動導軌副的固有頻率不同，導致位移振幅峰值對應的頻率比不同。當外部激振力激振頻率相同時，隨著激振力幅值增大(Fout-x，Fout-y，Fout-z值相同且等幅增加)，各向位移振幅整體有增大趨勢，但偏航位移振幅對激振力幅值的敏感度不高。

2.4 外部靜載荷對振動位移響應的影響

當頻率比Ω∈(0.71,1.40)時，不同垂直外載荷作用下運動部件位移振幅響應規律如圖7所示：隨著垂直外載荷的增大(外載荷為4，8，12 kN)，運動部件垂直位移振幅整體有明顯增大趨勢，振幅峰值對應頻率比附近的增大趨勢不顯著；其余各向位移振動幅值對外部靜載荷敏感度較低。因為在滾動導軌副垂直方向上，隨著垂直外載荷的增加，上排滾動體處接觸剛度增大，下排滾動體處接觸剛度減小，直至為零，在此過程中，垂直剛度減小且變化率增大，進而導致垂直位移振幅增大。

圖7 不同外部法向靜載荷下的振幅-頻率比響應Fig.7 Amplitude-frequency ratio response under different external normal static loads

2.5 預緊力對振動位移響應的影響

當頻率比Ω∈(0.71,1.27)時，不同預緊等級下運動部件位移振幅響應規律如圖8所示。導軌副預緊等級分為輕度預緊、中度預緊和重度預緊。

由2.3節分析可知，同一預緊力下，當外部激振力頻率與系統固有頻率接近時會出現位移振幅峰值。由圖8可知：隨著預緊等級的增加，各向位移振幅峰值對應的頻率比增大，即預緊等級改變系統固有頻率，隨著預緊等級增加固有頻率有增大的趨勢。在任意局部區間中，位移振幅不一定隨著預緊等級增加而減小，不同預緊等級下的位移振幅與外部激振力頻率有著密切關系。

圖8 不同預緊力下振幅-頻率比響應Fig.8 Amplitude-frequency ratio response under different preloads

3 結論

滾動導軌副振動響應性能是導軌副重要的質量評價指標，本文建立了滾動導軌副多因素振動響應模型，通過實例計算分析得出結論：

1)隨著波長比的增加，運動部件直線位移振幅先減小后增大，但側翻位移振幅變化趨勢與直線位移相反；波長比相同時，各向位移振幅隨著誤差幅值的增加而增加。

2)隨著外部激振力幅值增加，除偏航位移振幅敏感度不高外，運動部件各向位移振幅都有明顯的增加；外部激振力頻率與系統固有頻率相同時出現振幅峰值。

3)垂直外載荷增大可以增大運動部件垂直位移振幅，其各向位移振幅對外載荷的敏感度不高。

4)隨著預緊力增大，各向位移振幅峰值對應的頻率比增大，即導軌副各向位移振幅固有頻率增大；不同預緊等級下的位移振幅與外部激振力頻率密切相關。