不同典型形狀落石沖擊砂墊層試驗與量綱分析*

閆 鵬，方 秦，張錦華，張亞棟，陳 力，范俊余

（1.中國人民解放軍陸軍工程大學，江蘇 南京 210007；2.東南大學爆炸安全防護教育部工程研究中心，江蘇 南京，211189；3.東南大學土木工程學院，江蘇 南京 211189）

落石具有難預測、大質量和強沖擊的特點，因而落石災害成為山區常見的極具威脅的自然災害之一。工程技術人員經常采用攔石墻、明洞或棚洞等剛性結構對重要目標和地段進行防護。此類結構抗力較高，常覆有墊層作為落石沖擊的緩沖層，能夠抵抗能量較大的落石沖擊。墊層一般就地取材，由覆土、沙礫、碎石等材料構成，是重要的耗能結構，可以將落石巨大的動能部分轉化為墊層組成顆粒的變形能、顆粒之間的摩擦耗能以及部分飛散顆粒的動能[1]。因此，落石沖擊墊層模型是落石防護研究中最常見的模型之一。

一般地，落石沖擊力、侵入深度和沖擊作用時間常作為研究落石沖擊效應的重要物理量，同時也是防護結構抗力設計的參考依據。落石沖擊力一般指落石施加于墊層上的作用力，決定了防護結構設計承載力的大??；侵入深度一般指落石侵入墊層的深度，由于落石可能會穿透墊層對結構造成較嚴重的局部破壞，因此落石侵入深度決定了墊層的最小設計厚度；沖擊作用時間一般指落石沖擊作用的總時長，與落石沖擊力共同決定了落石沖量的大小，此外，落石沖擊力到達峰值的時間也需要重點關注。學者們針對落石沖擊墊層的影響因素，開展了大量的試驗和數值模擬研究工作，主要包括落石的質量、形狀、沖擊速度和姿態以及墊層密度、強度等，這些因素如何共同決定落石的沖擊力、侵入深度和沖擊作用時間是研究的重點和難點。

首先，大多數研究中考慮的首要影響因素是落石的質量和沖擊速度，或者直接考慮落石動能（或沖擊能量）的影響。山口悟等[2]通過落石沖擊碎石墊層原型試驗研究發現，沖擊能量相同但是質量不同的落石，其最大沖擊力幾乎相同。而Calvetti 等[3]的落石沖擊墊層離散元模擬結果表明，落石質量的增加會同時增大落石沖擊力、延長沖擊作用時間；而沖擊速度的增加僅增大沖擊力，對沖擊作用時間的影響很小。Gerber 等[4]通過試驗研究發現，落石的沖擊力波形特征主要受落石質量的影響，受沖擊速度的影響很小。

其次，多數情況下，落石沖擊速度方向與墊層法向方向存在一定的角度（可定義為入射角），而落石與墊層的正沖擊只是一種特例，因此，針對落石斜沖擊的問題，可以將落石沖擊速度分解成法向速度和切向速度。而袁進科等[5]、Yu 等[6]、何思明等[7]通過大量落石斜沖擊墊層試驗研究發現，法向沖擊力僅與分解后的法向速度有關，而切向沖擊力僅與切向速度有關，兩者的影響可以解耦后再分別進行研究。

此外，落石形狀的隨機變化也十分顯著，Fityus等[8]對澳大利亞New South Wales山區落石形狀特征進行了詳細的統計和分析，將落石形狀分成球形、圓盤形、圓柱形、圓錐形和多棱角形5大類，這5大類又可以進一步細分為21小類。當不同形狀的落石沖擊墊層表面時，其沖擊端形狀的隨機變化又會產生不同的沖擊效果，因此，研究落石形狀對落石沖擊效應的影響十分必要。然而多數研究者在落石沖擊試驗研究中僅對落石采用某一種特定形狀假設，如將落石假定為球形[9-14]、圓錐形[15]、立方體[4,16-18]或圓柱體[13,19]。Perera 等[20]采用隨機形狀的石塊設計了落石沖擊試驗，結果表明落石沖擊力出現了較強的隨機性，但是尚無結論證明哪種形狀的落石會引起更大的沖擊力。唐建輝[21]通過數值模擬方法比較了立方形和球形落石的沖擊力，結果發現球形落石的沖擊力更高；而陳馳等[22]開展了相似的試驗，卻得出了完全相反的結論。Shen 等[23]采用離散元方法模擬了Calvetti 等[24]開展的球形落石沖擊砂土墊層試驗，發現落石的沖擊力隨著球度的增加而增大，但是Shen 等未保證不同球度的落石應具有相同的體積，結果導致落石模型的密度變化范圍為2 650～10 986 kg/m3，遠超實際的落石密度。Yan 等[25]通過落石沖擊鋼筋混凝土板有限元模型，研究了質量和密度相同但球度和沖擊姿態不同的落石對沖擊力的影響，結果表明，落石球度越小，不同沖擊姿態下的沖擊力離散性越大。因此，落石形狀影響的重要性不容忽視，但是當前相關研究較少，結論相互矛盾且不可靠。

最后，墊層的材料特性是工程技術人員最關心的設計參數。Kawahara 等[26]、唐紅梅等[27]和Calvetti等[3]的試驗研究均表明，隨著墊層密度增加，落石沖擊力逐漸增大，侵入深度逐漸減小，因此，墊層密度的影響也不可忽視。

綜上所述，落石沖擊墊層的主要影響因素包括落石的質量、形狀、沖擊速度以及墊層的強度、密度等，但是目前大多數試驗研究通常采用控制變量法逐一分析各因素的影響規律，這樣只能根據試驗結果得到一些具有定性規律的結論，對理解各因素間的相關性、提出落石沖擊的理論分析模型幫助甚微。而且一般僅針對落石質量、速度等主要影響因素開展相關研究，忽略了落石形狀這一重要的影響因素。

針對以上不足，開展了不同典型形狀落石撞擊墊層的試驗研究，根據當前落石沖擊試驗總結發現，落石的典型形狀包括球形、錐形和平頭3種。因此，本文中首先設計這3種典型形狀落石沖擊砂墊層的試驗，獲得落石的侵入深度和沖擊力時程曲線，分析不同典型形狀落石對試驗結果的影響；然后采用量綱分析方法[28]和π相似理論[29]將影響因素轉換成無量綱的形式，對無量綱沖擊因子及侵入深度之間的相關性進行分析；最后研究各沖擊因子對落石沖擊結果的影響規律。

1 試驗方案設計

1.1 試驗裝置和試驗方法

落石沖擊墊層試驗系統分為起吊裝置、落石和砂墊層3部分，見圖1。起吊裝置通過吊車懸臂和繩索對落石進行抬升，最大起吊高度約20 m。起吊時，落石由墊層中心位置逐漸向上拉升，可以保證落石落點位置位于墊層中心，起吊高度通過激光測距儀和吊車進行控制。

圖1 落石沖擊試驗系統Fig.1 Rockfall impact test system

如圖2(a)所示，每次落石升到指定下落高度H并不再晃動以后，即通過遙控脫鉤裝置釋放落石。落石首先在重力作用下作自由落體運動，然后以一定速度撞擊砂墊層，侵入到一定深度后，速度降為零，沖擊過程結束，在整個下落和沖擊過程中，通過固定在落石上的三軸加速度傳感器采集其質心加速度隨時間變化的數據a(t)。根據牛頓第二定律可知：

式中：m為落石的質量，FR為落石受到來自墊層的阻力，G為落石自身的重力。

根據牛頓第三定律可知，落石對墊層沖擊力F與落石受到墊層的阻力FR的大小相等，方向相反，即F=–FR，代入式(1)可得：

Pichler 等[15]的研究表明，考慮重力與不考慮重力所得到的落石沖擊力之間的誤差不超過10.6%，因而本文中假定落石沖擊力的大小近似等于落石質量與加速度之積，即F(t)≈?m a(t)。另外，通過對加速度時程曲線a(t)隨時間積分，可以得到落石的速度時程曲線v(t)或侵入深度時程曲線z(t)，最后通過觀察落石表面縱向刻度，也可以測量落石沖擊墊層的最終侵入深度zm，如圖2(b)～(c)所示。

圖2 落石沖擊試驗數據測量方法Fig.2 Measurement method of rockfall impact test data

向鋼桶內裝填砂子并在重力作用下自然密實得到試驗所用的砂墊層，然后從中預留試樣，用于開展砂子的物理特性和力學性能測試。試驗準備了直徑分別為1和2 m 的兩種鋼桶，鋼桶壁厚均為0.05 m，桶高均為1 m。墊層底部為0.05 m 厚的鋼板，平鋪于地面上，因此本文中假設鋼桶和鋼板的變形可以忽略不計，底部和側向邊界視為剛性邊界條件。為了防止砂墊層因沖擊密實而發生材料強度和密度的變化，每次落石沖擊后都將墊層上方約1/2厚度的砂子換填并重新進行自然密實，以盡量消除對下次沖擊結果的影響。

1.2 試驗方案和材料參數

根據研究目的不同，將試驗分為兩組。第1組試驗研究落石形狀對落石侵入深度和沖擊力時程曲線的影響，落石質量m均為5.41 kg，頭部特征尺寸（一般用落石沖擊端部等效直徑表示）d均為0.12 m，頭部形狀分別為球形、錐形和平頭，如圖3所示。落石的下落高度（H）范圍為1.0～2.5 m，對應的初始沖擊速度（v0）范圍為4.43～7.00 m/s。墊層厚度（h）為0.4 m，鋼桶直徑（D）為1 m，因此，筒徑D與落石直徑d的比值D/d=8.3，Seguin 等[30]的研究表明，當D/d超過5.0時，墊層側向邊界約束的影響可以忽略不計。試驗結果分析見第3節。

第2組試驗分析影響因素與沖擊結果之間的相關性和影響規律，試驗設計落石質量m變化范圍為10～100 kg，頭部形狀包括球形、錐形和平頭，所有落石的質量、形狀和設計尺寸如圖3所示。落石的下落高度范圍為0.3～15.0 m，對應的初始沖擊速度為2.40～17.10 m/s。墊層厚度為1.0 m，其中，10 kg 的落石沖擊筒徑為1 m 的墊層，50～100 kg 的落石沖擊筒徑為2 m 的墊層，因此，筒徑與落石直徑的比值D/d的變化范圍為5.6～8.3，墊層側向邊界約束的影響同樣可以忽略不計。具體的試驗工況和結果分析見第4節。

兩組試驗所用落石材料均為花崗巖，經試驗測定：落石密度為2 475 kg/m3，彈性模量約為80 GPa，泊松比為0.24；砂土墊層自然密實的密度為1 108 kg/m3，含水率為3.3%。砂土墊層強度fc通過對墊層樣本進行室內靜力載荷試驗確定，試驗裝置及示意圖如圖4(a)所示，通過對砂墊層進行擬靜力加載，同時記錄施加的載荷p和侵入深度zm，直至砂土墊層完全失去承載力為止。根據載荷p和加載面積S可以獲得桿端的平均壓應力σn：

從試驗墊層中取3組樣本，得到平均應力σn與無量綱侵入深度zm/d之間的關系曲線如圖4(b)所示，可以估算墊層平均強度fc=0.065 MPa。

圖4 砂土墊層強度靜力載荷試驗及結果Fig.4 Static load test and results of strength of sand cushion

2 試驗結果分析及討論

根據第1組試驗獲得的不同形狀落石沖擊墊層的試驗結果，重點分析和討論落石形狀對侵入深度和沖擊力的影響。為了提高試驗結果的可靠度，每條試驗曲線均為在重復條件下3次沖擊結果的平均值。

2.1 侵入深度

圖5(a)～(c)分別給出了球形、錐形和平頭落石在4.4、5.4、6.3、7.0 m/s沖擊速度下的侵入深度時程曲線，可以發現落石侵入墊層的深度z均隨時間的延長而逐漸增加，增加的速率逐漸減緩，最終停止，幾乎沒有發生落石的反彈，此時落石的侵入深度即為落石的最終侵入深度zm。落石的沖擊速度越大，zm越大。圖5(d)給出了以球形落石最終侵入深度zs為基準，錐形和平頭落石的侵入深度的相對值，記為zm/zs。試驗結果表明，在相同沖擊速度下，錐形落石的最終侵入深度zm最大、球形次之、平頭最小，其中錐形落石最終侵入深度的平均值約為球形落石的1.35倍，球形落石約為平頭落石的2.27倍，此倍數關系在沖擊速度為4.4～7.0 m/s 范圍內幾乎保持不變，說明落石形狀對侵入深度的影響顯著，且具有一定的規律性。

圖5 不同形狀落石侵入深度對比Fig.5 Comparison of the penetration depth of falling rocks with different shapes

2.2 沖擊力

圖6(a)～(c)分別給出了球形、錐形和平頭落石在不同沖擊速度下的落石沖擊力時程曲線，可以發現不同形狀落石的時程曲線變化的共同特點是，沖擊速度越大，落石沖擊力越大，第1峰值出現時間越早，且均出現了第2峰值。雙峰特征在當前很多落石沖擊試驗結果中均有出現[3-4]，已有研究表明，雙峰出現的原因是正在侵入的落石與墊層底部反射的壓縮波相互作用引起的，第2峰值大小和出現時間與墊層厚度和壓縮波在墊層中的傳播速度等因素有關[3]。

圖6 不同形狀下落石沖擊力時程曲線Fig.6 Time history curves of impact force for falling rocks with different shapes

相同沖擊速度下，不同形狀落石的最大沖擊力記為Fm。圖7分別為在4組不同速度下以球形落石的最大沖擊力Fs為基準，得到的錐形和平頭落石的相對沖擊力時程曲線，記為Fm/Fs，結果表明，在沖擊速度為4.4～7.0 m/s范圍內，相同沖擊速度下，平頭、球形、錐形落石的最大沖擊力Fm依次減小，而錐形、球形、平頭落石的第一峰值出現的時間（簡稱峰值時間）t1依次縮短。球形落石的沖擊力峰值平均值約為錐形落石的1.35 倍，平頭落石約為球形落石的2.52倍（見圖8(a)）。錐形落石的峰值時間平均值約為球形落石的1.46倍，球形落石約為平頭落石的2.73倍（見圖8(b)）。上述結果同樣說明：在試驗沖擊速度范圍內，落石形狀對落石的沖擊力和峰值時間的影響十分明顯，且具有一定的規律性；而在相同沖擊速度下，不同形狀的落石對墊層的沖量Im幾乎相同（見圖8(c)），說明落石形狀對沖量的影響可以忽略不計。

圖7 不同形狀落石相對沖擊力時程曲線Fig.7 Time history curvesof relative impact forcefor falling rocks with different shapes

圖8 落石形狀對沖擊力、峰值時間和沖量的影響Fig.8 Effects of falling rock’s shapeon impact force, peak time and impulse

2.3 沖擊成坑現象

圖9為3種典型的落石沖擊成坑形狀，經觀察發現，球形、錐形和平頭落石沖擊砂墊層最終成坑的形狀分別為球形、錐形和平底坑，與落石沖擊端的形狀幾乎完全相同（部分差異是由于移除落石后，沖擊坑邊緣散落的砂子造成的）。試驗現象表明，在落石低速沖擊松軟砂土墊層的前提下，墊層會發生很大的塑性變形，而落石的變形可以忽略不計，因此，落石與墊層之間接觸面的形狀可以近似認為等于落石侵入墊層部分的落石表面形狀，沖擊過程中接觸面形狀和面積的變化等同于落石侵入部分的表面形狀和面積的變化。假設接觸面上單位面積所受阻力相同，則落石所受墊層總阻力主要是由接觸面的形狀和面積的變化決定的，平頭落石初始接觸面積最大，沖擊力峰值最高；錐形落石初始接觸面積最小，沖擊力緩慢增加，沖擊力峰值最??；而球形落石接觸面積和沖擊力峰值介于兩者之間。

圖9 不同典型形狀落石沖擊成坑形狀Fig.9 Different impact cratersformed by different typical falling rocks

以上試驗結果均表明，落石形狀對侵入深度和沖擊力的影響很大。沖擊端形狀越鈍，落石的沖擊力越大，峰值時間越小，沖擊時程曲線越陡峭；反之，沖擊端形狀越尖，落石的沖擊力越小，峰值時間越大，沖擊時程曲線越平緩，這一特點符合實際的經驗判斷。另外，圖5(d)和圖8(a)～(b)試驗結果表明，盡管沖擊速度不同，但錐形、球形和平頭落石之間的侵入深度、沖擊力和峰值時間總是保持近似不變的比例，這證明落石形狀與沖擊速度對沖擊結果的影響可能是相對獨立的、相互影響很小。

3 侵入深度的無量綱化分析

參考彈體沖擊土體或混凝土研究中被廣泛采用的物理假設[31-33]，落石的侵入深度z、沖擊力F和沖擊力峰值時間t作為落石防護結構設計直接參考的依據，可用于表征和分析落石的沖擊結果。而影響落石沖擊結果的主要因素有：落石的質量m、沖擊速度v0、沖擊頭部的特征尺寸d、形狀影響因子（一般根據落石形狀量化的方法定義）ψ 以及墊層的密度ρg、墊層強度fc等。一般地，這些物理量之間的關系可以表示為：

式中：物理量(m,v0,d,ψ;ρg,fc)表示函數關系中的自變量，物理量(z,F,t)表示因變量。由于落石的影響參數較多，所以通過控制變量法對每個單一變量的影響進行研究會導致試驗工況過多。因此，本節擬采用量綱分析法[28]，將上述有量綱的物理量轉化為無量綱的沖擊因子，以達到減少影響參數和簡化模型的目的。然后，通過第2組試驗進一步擴大落石質量和沖擊速度的研究范圍，以探究落石的無量綱沖擊因子之間以及與沖擊結果之間的相關性和影響規律。

3.1 無量綱沖擊因子

根據量綱分析方法[28]和π相似理論[29]，任意物理量的量綱都可以表示成基本量綱的冪次之積：

式中：L、M 和T分別表示長度、質量和時間的基本量綱；由于ψ 為表征落石形狀的物理量，一般用落石頭部形狀的等效錐角表示[15]。

以侵入深度z的關系式為例，式(4)可改寫為：

將式(7)中的量綱代入式(8)后可得：

根據量綱齊次原則，描述物理規律的等式兩端的量綱必須相同，因此可得方程組：

無量綱化分析的另一個優勢在于將式(4)中涉及的6 個自變量（m、v0、d、ψ、ρg和fc）縮減為3個無量綱沖擊因子（I、λ 和ψ）。以邊長為d（頭部特征尺寸）的立方體落石為例，討論各沖擊因子I、λ 和ψ 的物理意義。

式中：Et為落石的沖擊動能，Fc為由墊層強度fc引起的靜阻抗力，Et/Fc表示靜阻力Fc對落石做負功直至落石動能Et降為零時的運動距離。因此，對于給定的落石沖擊動能Et和特征尺寸d，墊層的強度fc越小，靜阻抗力Fc越小，運動距離（即落石侵入深度）越大，沖擊因子I越大，因此I反映了由墊層強度fc決定的落石侵入墊層的能力，I越大，落石侵入能力越強，可稱I為強度沖擊因子。

其次，λ =m/(ρgb3)可表示為：

式中：ρr表示邊長為d的立方體落石密度，ρg表示墊層密度，因此，λ 可視為落石與墊層之間的密度比，一般情況下，落石密度ρr變化不大，而墊層密度ρg越小，λ 越大，因此可稱λ 為密度沖擊因子。根據墊層密度影響的落石沖擊試驗結果[3,26-27]可知，相同條件下，墊層密度越小，落石侵入深度越大，因此，密度沖擊因子λ 反映了由墊層與落石相對密度ρr/ρg決定的落石侵入墊層的能力，λ 越大，落石侵入能力越強。

最后，落石形狀沖擊因子ψ 的提出借鑒了彈體沖擊動力學中表征錐頭、平頭、尖卵形等不同彈頭形狀影響的無量綱形狀系數的概念[31]，目的是反映落石形狀的影響，但是由于落石形狀的任意性和復雜性，本文中僅分別討論球形、錐形和平頭3種典型落石形狀的影響規律。

3.2 沖擊因子的影響規律

第3.1節將落石的主要影響因素無量綱化，得到了無量綱沖擊因子I、λ 和ψ，并分析了其所具有的物理意義，下面將根據試驗結果，進一步分析沖擊因子與落石沖擊結果之間的相關程度，研究沖擊因子對落石沖擊結果的影響規律。

3.2.1沖擊因子的變化范圍

在試驗設計之前，本節首先根據山區落石質量、形狀、沖擊速度的統計規律，對沖擊因子的變化范圍進行初步估算，沖擊因子I和λ 可拆寫為：

因此，m/d3、v0、fc和ρg的變化范圍決定了沖擊因子I和λ 的變化范圍。

首先，分析m/d3的變化范圍。m/d3是與落石密度ρr和整體形狀有關的變量，對于標準的球形落石有：

式中：R為球形落石半徑，R=d/2（圖10(a)）。一般地，巖石密度的變化范圍較小，因此可以參考本試驗中測得的花崗巖材料落石密度，ρr=2 475 kg/m3，可得m/d3=1 296 kg/m3。若考慮到落石整體形狀變化的影響，對于橢球形落石有：

式中：c為橢球體z軸半徑，R為橢球體x和y軸半徑（圖10(b)～(c)），因此，m/d3與c/R有關。根據山區常見落石的形狀統計分析發現[8]，c/R的取值范圍一般為0.25～4.00，因此，實際山區落石m/d3的估計變化范圍為324～5 184 kg/m3。

圖10 橢球形落石的整體形狀變化范圍Fig.10 Variation of the overall shape of the ellipsoid falling rocks

其次，根據文獻[34]，山區落石沖擊速度v0估計范圍為4～40 m/s；根據我國公路和鐵路設計規范[9,10,35]可知棚洞墊層強度fc的變化范圍，對于一般黏性土、砂性土，fc=0.05～0.55 MPa，對于一般卵、礫、碎石層，fc=0.2～1.2 MPa；根據Calvetti等[24]的落石沖擊棚洞原型試驗和本試驗，一般墊層密度ρg的變化范圍為1 000～2 000 kg/m3。綜上所述，將上述影響因素的變化范圍代入式(17)～(18)后，得到實際落石沖擊因子估計范圍：0.01＜I＜165.89，0.16＜λ＜5.18。

因此，參考實際沖擊因子的變化范圍，設計了球形、錐形和平頭落石沖擊砂墊層試驗，落石沖擊試驗的結果以落石侵入墊層深度為代表，根據Pichler 等[15]的試驗研究和理論假設發現，無量綱因變量（無量綱侵入深度πz，沖擊力πF和沖擊力峰值時間πt）之間存在如下近似關系：

根據式(12)～(14)有：

無量綱沖擊因子與3種無量綱因變量之間的相關性必然是相似的，因為試驗中侵入深度是最便于準確測量的物理量，所以本節選取并根據第2組落石沖擊試驗結果中的最終無量綱侵入深度zm/d，分別分析球形、錐形和平頭落石無量綱沖擊因子（I和λ）與無量綱侵入深度zm/d之間的相關性和影響規律。

根據正交試驗法設計的試驗工況分別如表1～3所示，表中記錄了不同質量、沖擊速度和特征尺寸下的2個無量綱沖擊因子以及試驗測得的無量綱侵入深度zm/d。試驗設計沖擊因子的變化范圍為：0.29＜I＜15.60，1.67＜λ＜5.22。

表1 球形落石沖擊砂墊層試驗工況Table1 Conditions of impact test by spherical falling rocks

3.2.2沖擊因子相關性分析

根據沖擊因子I和λ 的物理意義分析可知，I和λ 分別反映了墊層強度和密度影響的落石侵入墊層的能力，因此與無量綱侵入深度zm/d之間必然具有一定的關聯程度。相關性分析是統計學中用于研究變量之間線性相關程度的一種分析方法，通常用皮爾森相關系數來表征兩個變量之間的相關程度，計算公式為：

表2 錐形落石沖擊砂墊層試驗工況Table 2 Conditionsof impact test by conical falling rocks

表3 平頭落石沖擊砂墊層試驗工況Table 3 Conditions of impact test by flat falling rocks

式中：ρ為變量x和y之間的相關系數，C(x,y)為變量x和y的協方差，σ2(x)和σ2(y)分別表示變量x和y的方差。根據定義有，|ρ|≤1，|ρ |越接近零，表示兩個變量之間相關度越弱；|ρ |越接近1，表示兩個變量之間相關度越強。圖11(a)～(b)表示了所有落石侵入深度試驗數據zm/d分別與沖擊因子I和λ 的相關性，侵入深度與沖擊因子之間呈正相關，根據I和λ 的定義可知，墊層的強度或密度越小，落石的侵入深度越大，這條規律符合經驗性定性判斷。zm/d與I和λ 的相關系數分別為0.71和0.77，表現出較強的正相關性。相關系數結果表明，I和λ 可能在決定最終侵入深度zm/d中所起的作用較相近。

圖11 無量綱沖擊因子與無量綱侵入深度之間的相關性Fig.11 Correlation between dimensionless impact factorsand penetration depths

表4 無量綱沖擊因子之間及與侵入深度的相關性Table4 Correlation between dimensionlessimpact factorsand penetration depths

相關性分析結果只能反映沖擊因子與侵入深度之間的相關程度，因此，還需要在此基礎上，進一步分析無量綱沖擊因子對侵入深度的影響規律，即沖擊因子與侵入深度之間的函數關系：

式中：方程F1以強度與密度沖擊因子（I和λ）為自變量，下面將分別在球形、錐形和平頭3種典型形狀落石沖擊條件下，研究沖擊因子對試驗結果的影響規律。

圖12(a)～(c)分別為球形、錐形和平頭落石無量綱侵入深度zm/d與強度沖擊因子I和密度沖擊因子λ 的試驗數據，結果表明，I和λ 是相對獨立的影響因素，在不同的λ 下，zm/d隨I的增加而增加的規律是基本一致的。

圖12 不同形狀落石無量綱侵入深度的擬合曲線Fig.12 Fitting curves of the dimensionless penetration depths of the blocks

通過對試驗數據進行擬合的方法可以分別得到球形、錐形和平頭落石的擬合公式：

由式(25)～(27)可以看出，擬合曲線與試驗數據具有良好的一致性。

表5比較了上述不同形狀落石的擬合公式的擬合參數，對于相同函數形式的擬合公式，不同形狀落石的擬合參數之間存在差異。這說明，如果不考慮落石形狀的影響，只根據不同的落石形狀假設，提出的擬合公式適用范圍十分有限。因此，當前落石沖擊試驗研究中基于不同落石形狀假設而獲得的試驗規律和理論計算公式的適用范圍也是有限的，且相互之間難以進行比較和驗證。目前仍然缺少對落石形狀影響的量化分析方法，以及考慮形狀影響因子ψ 的統一的理論計算公式。

表5 不同形狀落石3種擬合公式的擬合參數比較Table 5 Comparison of parameters of three fitting formulas for falling rocks with different shapes

4 結 論

開展了不同典型形狀落石沖擊墊層的侵入深度和沖擊力的試驗研究，首先根據第1組試驗研究了落石形狀對侵入深度和沖擊力時程曲線波形的影響，然后根據第2組試驗對落石沖擊影響因素（包括落石的質量、速度、形狀、特征尺寸以及墊層的強度、密度）進行了無量綱化分析，并得到了無量綱沖擊因子與侵入深度之間的相關性和影響規律，主要結論如下。

（1）落石形狀對侵入深度和沖擊力的影響很大。沖擊端形狀越鈍，落石的沖擊力越大，峰值時間越小，沖擊時程曲線越陡峭；反之，沖擊端形狀越尖，落石的沖擊力越小，峰值時間越大，沖擊時程曲線越平緩，這一特點且符合經驗性的定性判斷。另外，盡管沖擊速度不同，但錐形、球形和平頭落石之間的侵入深度、沖擊力和峰值時間總是保持近似不變的比例，證明落石形狀與沖擊速度對侵入深度的影響可能是相對獨立的、相互影響很小。

（3）無量綱沖擊因子與侵入深度試驗結果之間的相關性分析研究表明，zm/d均隨著I和λ 的增加而增大，這意味著墊層的強度越小密度越小，落石的侵入深度越大。I和λ 與zm/d的相關系數分別為0.71和0.77，說明I和λ 可能在決定最終侵入深度zm/d中所起到的作用比較相近，而I和λ 的相對獨立性較強、相互影響較小。

（4）為了確定沖擊因子與侵入深度之間的函數關系，在無量綱沖擊因子相關性分析結果的基礎上，提出了考慮強度與密度的擬合公式zm/d=Aλln(1+CI/λ)。結果表明，在不同的λ 值下，zm/d隨I的增加而增加的規律是基本一致的。而對于相同函數形式的擬合公式，不同形狀落石的擬合參數之間存在差異，說明未引入形狀影響因子ψ 的擬合公式適用范圍十分有限，因此進一步提出考慮落石形狀影響的沖擊力及侵入深度的統一理論計算方法很有必要。