空時分組碼在PPM 調制下的信道容量

李靜

（陜西省建筑職工大學，陜西 西安 710068）

兩根發射天線的空時分組碼[1]在1998 年由Alamouti SM 研究得出。緊接著，以空時分組碼兩根發射天線為基礎研究了多根發射天線，并且對正交空時分組編碼[2]進行了定義。信道容量（Channel Capacity）可以平均最大速率傳送信息，其計算方法有多種，通常應用連續信道容量和離散信道容量兩類。bit/符號和bit/s 定義為離散信道的基本單位。研究發現，影響信道容量的因素有信噪比、發射天線數、接收天線數、調制數、光強閃爍衰減系數等。無線通信干擾可以轉為潛在的通信能力，即每一條獨立的信道可由多徑線路來充當，不同的信息被同時傳送，即加倍地增加了無線光MIMO 的容量，也就是說，多徑并行傳輸多個不同的數據序列?？諘r編碼應用領域廣泛，具有很好的發展前景，空時編碼體制已經作為第三代移動通信的標準體制，在第四代移動通信系統中也起到了關鍵作用。

1 信道容量

1.1 平均信息量

按照信息論的概念，統計發送xi和收到yj信息量的平均值，其中，發送xi的不確定程度信息量減去收到yj的不確定程度信息量，可得到C值[3]為：

1.2 根據全概率公式、貝葉斯公式得出信道容量公式

p(xi)稱為先驗概率，定義為發出符號平均信息量xi的概率（i=1，2，…，n）；p(yj)稱為后驗概率，定義為收到符號平均信息量的概率（j=1，2，…，m）；p(yj|xi)稱為轉移概率，定義為發出符號平均信息量xi和收到符號平均信息量yj在一定條件下的概率。

根據貝葉斯公式，可得：

根據全概率公式，可得：

式中，P(y1)表示收到符號y1時的概率，j=1；P(x2)表示發送符號x2的概率，i=2；P(y1|x1)為轉移概率，表示發出符號x1在一定條件下收到符號y1的概率；把式（3）、（4）代入式（2）可得p(xi|yj)，最后，代入式（1）中，可以得到信道容量公式。

2 仿真分析和結果

利用蒙特卡羅方法進行仿真試驗，仿真的條件為：總發射功率ES不變，ES=1；樣本數為100 000，其中，取二進制數據流；光電轉換效率η=0.8；試驗模型采用大氣湍流模型、對數正態分布模型、Gamma-gamma 分布模型下的不同發射天線數和接收天線數目；利用4PPM 調制方法進行調制；閃爍因子SI=0.4 時為弱湍流、SI=0.9 時為中湍流、SI=1.25 時為強湍流。大氣結構折射率常數分別為2.10×。距 離L為8 000 m 和1 000 m，波長λ=1.06 μ m。

2.1 α 服從對數正態分布概率密度函數

α服從對數正態分布概率密度函數，如式（5）所示。

式中，μx為平均信息值，為方差，其中μx和滿足μx=-，α為光強衰減閃爍系數，A為振動幅度值[4]。

2.2 Gamma-gamma 分布概率密度函數

Gamma-gamma分布概率密度函數如式（6）所示。

式中，I為接收端的光強，Γ(·) 是gamma 函數，Kα-β(·)是第二類修正貝塞爾函數[5]，α和β定義如下：

SI為閃爍因子，SI與α和β的關系[6]為SI=1/α+1/β+1/(αβ)。

＜1 為弱湍流；≈1 為中湍流；＞1 為強湍流。

2.3 兩種情況下的仿真圖像

圖1 為SI=0.4 時對數正態分布下的信道容量，Monte Carlo 仿真1×1，2×2，3×3，4×4 系統的信道容量，從發送天線角度來看，當接收天線數目加大時，信道容量明顯加大。

圖1 SI=0.4 時對數正態分布下的信道容量

圖2 為SI=0.4 時的Gamma-gamma 分布，從仿真圖可以得出4×4 的空時分組碼系統性能最佳。

圖2 SI=0.4時Gamma-gamma分布下的信道容量

圖3 為SI=0.9 時Gamma-gamma 分布下的誤碼率，Monte Carlo 仿真1×1，1×2，2×1，2×2 系統的誤碼性能。從仿真圖可以得出，2×2 系統的誤碼率最小，1×1 系統的誤碼率最大，在PS=10-2時，采用空時分組碼后2×2 比2×1 系統性能提高了約10 dB。

圖3 SI=0.9時Gamma-gamma分布下的誤碼率

圖4 為SI=1.25 時Gamma-gamma 分布下的誤碼率，從仿真圖可以看出，在PS=6.6×10-1時,4×4 比1×1 的空時分組碼系統性提高了約10 dB。關于對數正態分布和Gamma-gamma 分布下中斷概率的研究如圖5、6 所示，弱湍流、對數正態分布下的仿真距離L=81 000 m，波長λ=1.06 μm，則大氣結構折射率常 數分別為，此時從小到大為0.12、0.32、0.52，中斷概率減小信噪比反而增加；在中強湍流信道下，按照Gamma-gamma 仿真對中斷概率進行研究。仿真時距離L=8 000 m，波長λ=1.061 μm，大氣結構折射率常數分別為由小值逐漸增大時，[α,β]定義為[4,1.6]、[4.3,1.3]、[8,1]，中斷概率減小，信噪比不斷增大。

圖4 SI=1.25時Gamma-gamma分布下的誤碼率

圖5 PPM調制下對數正態分布的中斷概率

圖6 空時分組碼在PPM調制下Gamma-gamma分布下的中斷概率

3 研究現狀分析

Teladar 在1995 年對衰落抑制MIMO 信道容量[7]進行了研究。Foshini 在1996 年給出了多輸入多輸出分層（D-BLAST）算法[8]，對分層空時編碼進行了定義，通過BLAST 實驗得到了應用。1998 年TarokhV等人首次提出并定義了STC(空時碼）[9-11]。

單根發射天線編碼應用推廣多根發射天線[12]是Tarokh 等人在Alamouti 方案基本理論上發展的。復信號發射天線數和分集增益達到最大，且它們的和為2，而當時不存在分集增益達到最大和傳輸速率達到最大時發射天線數為1。同時，文獻[13]中提出了準正交或非正交空時分組碼。

為了能夠獲得最大的發射分集增益，利用了STBC 正交設計理論的無時間冗余，采用最大似然譯碼算法得到最大的發射分集編碼增益來降低譯碼復雜度?？諘r網格編碼的方法是TarokhV 首先提出[14]的。分集增益和編碼增益由空時網格編碼提出，碼元前后發送具有一定的相關性，部分碼元發送錯誤，但是整幀的數據仍正確?？諘r網格編碼在編碼過程中的優點：性能較佳、抗衰落能力強、用途廣泛等，但還是有一些缺點，比如空時網格編碼在編碼過程中搜索強的編碼比較困難、網格編碼在采用維特比譯碼算法時比較復雜而且計算的效率相對比較低。

4 結論

文中利用先驗概率、后驗概率、轉移概率根據貝葉斯公式、全概率公式得出信道容量C的公式，且得出影響信道容量公式[15]的因素有信噪比、發射天線數、接收天線數、調制數、閃爍因子。

文中主要研究了空時分組碼信道容量，以及影響信道容量的中斷概率和誤碼率。通過Monte Carlo 方法進行仿真，從仿真結果得出以下結論：1）在相同的調制方式和編碼下，在信道容量好的情況下，其發射天線數多；2）在相同的調制方式和編碼下，發送和接收天線數越多，誤碼率越??；3）大氣結構折射率常數一定時，信噪比增加時中斷概率卻在減小[16-17]。

文中主要按照最基本的信息論的方法推導MIMO 信道容量、中斷概率、誤碼率，采用Matlab 仿真方法分別在對數正態分布模型、Gamma-gamma 分布模型下對不同天線數進行仿真，得出其最優的編碼。