矩陣之和Drazin逆的簡單表示*

楊曉英,王亞強,劉 新

(1.四川信息職業技術學院 基礎教育部,四川 廣元 628017;2.寶雞文理學院 數學與信息科學學院，陜西 寶雞 721013)

設Cm×n表示m×n階復矩陣的集合，A∈Cn×n,若X∈Cn×n滿足下列方程[1]：

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA

則稱X為A的Drazin逆,記作X=AD，稱k為A的指數，記作ind(A)=k。記Aπ=I-AAD。矩陣的Drazin逆是矩陣廣義逆的一種類型,如果矩陣的Drazin逆存在必唯一。 矩陣的Drazin逆在信息安全、圖像增強以及神經網絡中有著廣泛的應用， 這也促使許多學者執著于是否可以在沒有任何限制條件的情況下給出Drazin逆的表示。 直到現在，兩個矩陣之和在沒有條件下的Drazin逆表示仍然是一個開放性的問題。 一些學者已經討論了兩個矩陣之和在特定條件下Drazin 逆的表示結果，見文獻[1-6]。 本文通過對其中一個矩陣進行核-冪零分解，然后結合Drazin逆的性質和利用已有引理，給出兩個矩陣之和分別在AπBA=0和AπB=0條件下Drazin逆的簡單表示。

為了給出兩個矩陣之和Drazin逆的新表示，首先給出幾個重要的引理。

其中

引理2[8]1)如果PQ=0,Q是s-冪零的,則

2)如果PQ=0,P是s-冪零的,則

1 主要結果

下面，我們應用以上引理給出在AπBA=0和AπB=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示。

首先，給出兩矩陣之和在AπBA=0條件下Drazin逆的表示。

定理1設A,B∈Cn×n，如果AπBA=0，則

其中，Y=(A+B)ADA，ind(A)=k，max{ind(A),ind(B)}≤m≤ind(A)+ind(B)。

β1∈Ck×k，由

可得：β3α1=0，β4α2=0。

由α1為非奇異的，得β3=0，所以

由引理1，得

其中

(α1+β1)Dβ2(α2+β4)D

其中，ind(α2+β4)=r，ind(α1+β1)=s。

由于β4α2=0，α2為k階 -冪零矩陣，由引理2， 得

(1)

由

Y=(A+B)ADA

由

AπAi(BD)i+1

進而有

由式(1)，顯然

(α2+β4)π=I-(α2+β4)D(α2+β4)

所以

接下來我們計算，

((α1+β1)D)j+2β2(α2+β4)j(α2+β4)π

綜合以上式子，得

其中，Y=(A+B)ADA。

下面，我們應用以上引理，給出在AπB=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示。

定理2設A,B∈Cn×n，如果AπB=0，ind(A)=k，則

其中，Y=(A+B)ADA。

β1∈Ck×k。

易得：β3=0，β4=0。

所以

(YD)i+2BAiAπ=