新四翼超混沌系統的線性反饋控制*

李德奎

(甘肅中醫藥大學 定西校區 理科教學部，甘肅 定西 743000)

自從美國氣象學家LORENZ提出了LORENZ混沌系統[1]以來，混沌系統的構造和控制得到了廣大學者的普遍關注。陳關榮和呂金虎利用混沌反控制方法，分別發現了著名的CHEN系統[2]和Lü系統[3]。隨后LIU構造了一個四翼混沌系統[4]，盡管后來被證明該四翼混沌系統是假的, 卻引起了學術界對四翼和多翼混沌系統研究的興趣。文獻[5]提出一個具有雙曲正弦非線性項的四翼三維混沌系統。文獻[6]構造了一個具有四翼吸引子的超混沌系統，計算出其最大Lyapunov指數值為5.879 4，并分析了系統的動力學行為。文獻[7]構造了一個四翼超混沌系統，利用數值仿真的方法，繪制了系統的分岔圖及Lyapunov指數譜，分析了隨參數變化時系統動力學行為的演化，但其最大Lyapunov指數值小于1，系統的混沌特性不強。文獻[8]基于三八超混沌系統[9]，通過增加一個外激勵信號的方法，得到了一個新四翼超混沌系統，該系統具有兩個正的Lyapunov指數值，且最大Lyapunov指數值為6.146 2，具有較強的混沌特性，在工程技術領域具有潛在的應用價值。

混沌系統是非線性隨機系統，對初值具有極端敏感性，因此對混沌的控制和應用是科學界長期以來普遍關注的焦點課題，并取得了豐碩的研究成果[10]?；煦缈刂频闹姆椒ㄓ校簠滴_法[10]、時滯反饋控制法[11]、自適應控制法[12]、滑?？刂品╗13]、線性反饋控制法等。其中，參數微擾法是1990年美國Maryland大學的三位科學家OTT,GRELOGI和YORKE提出的一種混沌控制方法，后來為了紀念這三位科學家，將這種方法稱為OGY方法。在混沌系統參數已知的條件下，線性反饋控制法具有控制系數易于計算、控制器結構形式簡單，電路實現容易等優點。

基于以上討論，本文通過Lyapunov指數方法，分析新四翼超混沌系統的混沌特性，并構造線性反饋控制器，對其進行線性反饋控制，為新四翼超混沌系統在工程技術中的應用奠定理論基礎。

1 新四翼超混沌系統

文獻[8]基于三八超混沌系統[9]，通過增加一個外激勵信號的方法，得到了一個新四翼超混沌系統，其微分方程組為，

(1)

式中：g(t)=sgn(sinωt)是周期為2π/ω的符號函數，當系統的參數a=10,b=28,c=2,θ=4,k=8，ω=1時，系統處于超混沌運動狀態，且具有如圖1所示的四翼超混沌吸引子。

圖1 四翼超混沌系統(1)的吸引子相圖

Lyapunov指數是對系統任意相鄰相軌線平均發散程度或收斂程度的一種度量，是判斷混沌最有效的一種定量方法。當系統沒有正Lyapunov指數時，認為系統處于平衡狀態。當系統具有一個正Lyapunov指數時，認為系統處于混沌運動狀態。當系統具有兩個或兩個以上正Lyapunov指數時，認為系統處于超混沌運動狀態。同時，當混沌系統的最大Lyapunov指數越大，系統的混沌行為越強。表1給出了新四翼超混沌系統和其它經典混沌系統的最大Lyapunov指數值。

表1 系統的最大Lyapunov指數值表

從表1可以看出，與其它經典混沌系統或超混沌系統相比較，新四翼超混沌系統的最大Lyapunov指數值最大，新四翼超混沌系統的混沌特性更強。因此，該系統在保密通信、圖像加密、生物醫學工程等領域具有潛在的應用價值。

混沌控制是混沌應用的前提，也是混沌研究的最重要領域。同時，利用結構形式最簡單、電路容易實現的控制器實現混沌控制，是混沌控制研究的不懈追求。本文對新四翼超混沌系統利用狀態反饋控制器進行控制，將系統的混沌狀態控制到預期運動狀態。

2 線性反饋控制

設計狀態反饋控制器，使系統達到預期的穩定狀態，最常見的反饋控制就是對系統的所有狀態進行線性反饋控制。若能夠對系統(1)盡可能少的狀態變量進行線性反饋控制，則控制的結構形式就更加簡單，電路實現更加容易。但經過推算，僅對系統(1)的某一個狀態變量實施線性反饋控制，不能夠消除其混沌行為而趨于穩定狀態。若對系統(1)的任意兩個及以上狀態變量實施線性反饋控制，就能夠使系統穩定到預期的運動狀態。

不失一般性，僅對系統(1)的狀態變量y和u進行控制，取線性反饋控制器為v2=my，v4=nu，新四翼超混沌系統(1)對應的受控系統描述為，

(2)

在參數已知情況下，為了討論反饋增益系數m和n滿足什么條件時，受控的四翼新超混沌系統(2)能夠穩定到原點，構造Lyapunov函數為，

(3)

顯然V是正定的，V對時間t的導數為，

-XTP(m,n)X

(4)

系統(1)在其所給參數空間處于超混沌運動，通過線性反饋控制器作用，要使得系統(2)消除混沌處于穩定狀態，需要矩陣P(m,n)是正定的。根據系統(1)給出的參數a=10，b=28，c=2，θ=4，k=8，ω=1可知，矩陣正定的充要條件，也就是系統(2)穩定于原點的充分條件為，

(5)

由式(4)可得，

(6)

根據式(3)，式(6)可寫成，

V≤V(0)e-2λmin(P(m,n))t

(7)

式中：V(0)為式(3)所述的Lyapunov函數的初值條件，于是可得到下面的結論。

定理1如果線性反饋控制器的增益系數m和n滿足(5)式，那么受控的新四翼超混沌系統(2)指數穩定于原點。

3 數值仿真

根據系統(2)參數a=10，b=28，c=2，θ=4，k=8，ω=1，系統(2)穩定于原點的充分條件(5)可化為，

(8)

反饋控制增益系數m和n所表示的平面被分成三部分(如圖2所示)，分別為區域(I)、(II)和(III)，其中不等式組表示的區域(I)稱為控制域，區域(II)和(III)為非控制域。

圖2 反饋控制增益系數m和n所示的區域圖

從圖2可以看出，新四翼超混沌系統具有很大的控制域。為了驗證控制器對新四翼超混沌系統(1)的控制效果，分別任意選取控制域(I)中的A點和非控制域中的B點設置控制器，選取系統(1)初始值為(x(0),y(0),z(0),u(0))=(6，2，2，3)，觀察受控系統(2)狀態變量的變化情況。

圖3所示為控制域(I)中A點線性反饋控制器對新四翼超混沌系統的控制效果。當t∈[0,20]時，系統(1)處于超混沌運動狀態。在t=20 s時，對系統(1)施加線性反饋控制器v2=my，v4=nu，其中m=40和n=30。當t∈[20,40]時，受控系統(2)的各狀態變量迅速趨于零，說明在控制域(I)中任意選取一點，設計線性反饋控制器，能夠將新四翼超混沌系統(1)的各狀態變量控制到原點。

圖3 反饋控制增益系數m=40和n=30時受控系統(2)狀態變量的時間序列圖

圖4所示為非控制域(II)中B點線性反饋控制器對新四翼超混沌系統的控制效果。當t∈[0,20]時，系統(1)處于超混沌運動狀態。在t=20 s時，對系統(1)施加線性反饋控制器v2=my，v4=nu，其中m=20和n=20。當t∈[20,40]時，受控系統(2)的狀態變量z不能趨向于零，說明在控制域外的區域任意選取一點，設計線性反饋控制器，不能夠將新四翼超混沌系統(1)的狀態變量控制到原點。

圖4 反饋控制增益系數m=20和n=20系統(2)狀態變量的時間序列圖

4 結論

對新四翼超混沌系統的Lyapunov研究發現，其最大Lyapunov指數值大于一些經典混沌系統或超混沌系統的最大Lyapunov指數值。進一步說明新四翼超混沌系統的具有更強的混沌特性，在實際工程技術領域具有潛在的應用價值。

通過推算發現僅對新四翼超混沌系統中某一個狀態變量實施線性反饋控制，不能夠徹底消除其混沌行為，如果對其任意兩個及以上狀態變量實施線性反饋控制，就能夠使系統穩定到原點。通過對其狀態變量y和u進行線性反饋控制，發現新四翼超混沌系統具有很大的控制域。

在控制域內任取一點，設計線性反饋控制器，能夠將新四翼超混沌系統的狀態變量指數穩定到原點，在控制域以外的非控制域所取的點，設計的線性反饋控制器不能使其狀態變量穩定到原點。