一類時變系數和吸收項的多孔介質拋物系統解的爆破*

歐陽柏平, 肖勝中

(1.廣州華商學院 數據科學學院，廣東 廣州 511300;2.廣東農工商職業技術學院，廣東 廣州 510507)

最近幾十年來，有關拋物方程和拋物系統解的爆破問題受到學者們廣泛關注。 爆破問題的研究主要涉及解的全局存在、爆破時間的上界和下界、爆破率等，依賴于方程和系統的線性或非線性、空間維數、初始數據以及邊界條件。文獻[1-4]考慮了三維空間上齊次邊界條件(Dirichlet條件和Neumann條件)和Robin邊界條件下解的全局存在和爆破問題。文獻[5-14]研究了高維空間上非線性邊界條件下解的全局存在和爆破問題。文獻[15-17]考慮了時變或空變系數的局部和非局部拋物方程和拋物系統解的爆破。文獻[18-22]研究了其他偏微分方程解的爆破。從某種意義上，非局部的偏微分方程比局部的偏微分方程更有實際應用價值，因而探討非局部的拋物方程和拋物系統解的爆破有更強的理論價值和實際意義。然而，對于非局部的數學模型的研究目前存在不少困難，因為局部的數學模型的理論和方法不適用于非局部的情況。關于爆破發生時解的爆破時間界的估計,研究上界的方法較多，而下界較少。

文獻[4]研究了依賴于時間的拋物系統解的爆破問題：

在齊次Dirichlet邊界條件下，作者得到了三維空間上解的全局存在的條件。同時，在某些約束條件下，得到了三維空間上解的爆破時間的上界和下界估計。

文獻[6]研究了非線性邊界條件下多孔介質拋物系統解的爆破問題：

在非線性邊界條件下，作者得到了Rn(n≥2)上解的爆破條件，以及爆破發生時解的爆破時間的上界和下界估計。

文獻[7]研究了如下拋物系統爆破問題：

在對初始數據一定的約束條件下,作者得到了高維空間上解的爆破條件以及爆破發生時解的爆破時間的上界和下界估計。

受以上文獻的啟發，本文研究非線性邊界條件下具有時變系數和吸收項的多孔介質拋物系統解的全局存在性和爆破問題：

(1)

本文主要研究問題(1)解的全局存在性條件和爆破發生時解的爆破時間的下界估計。其難點是如何處理高維空間、非局部項、吸收項，以及非線性邊界條件對解的爆破影響。目前,尚未發現有文獻研究關于問題(1)的解的全局存在性和爆破問題。

1 全局存在性

本文推導需要用到下面兩個引理。

引理1[14]設Ω是Rn(n≥3)上的有界凸區域，則對于u∈C1(Ω),n>0, 有如下不等式：

(2)

引理2[23]Sobolev不等式

(3)

(4)

其中C=C(n,Ω)，是一個與n和Ω有關的Sobolev嵌入常數。

首先，定義如下輔助函數：

(5)

定理1假設u(x,t),v(x,t)是問題(1)在有界凸區域Ω的經典的非負解,且滿足如下條件：

0≤gi(ξ)≤biξsi,ξ>0,bi>0,si、l、m、q、s>1,

(6)

則問題(1)的解所滿足的泛函式(5)在任何有限時間都是有界的，即問題(1)的解為全局存在的。

證明運用散度定理，對式(5)求導數，得

(7)

其中L=min{l1,l2}。

對式(7)右邊第二項，由散度定理和式(2)，有

(8)

對于式(8)右邊第二項，由H?lder 不等式和Young不等式，得

(9)

式中ε1為正數。

于是，由式(8)和式(9)，得

(10)

同理，重復式(8)—(10)類似的推導，對于式(7)右邊第五項，可得

(11)

對于式(7) 右邊第三項，由H?lder 不等式和Young不等式，有

(12)

同樣地，對于式(7) 右邊第六項，由H?lder不等式和Young不等式，有

(13)

聯立式(7)、式(10)—(13)，有

(14)

選取合適的ε1、ε2，使得r3≤0,λ3≤0，于是，式(14)化為

(15)

由H?lder 不等式和Young不等式，得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中ε3,ε4,ε5,ε6,ε7,ε8為正數。

聯立式(15)—(23)，有

(24)

其中：

選取合適的ε3,ε4,ε5,ε6,ε7,ε8，使得2-r5>0,2-λ5>0。

由H?lder不等式,可知

由此，可推出

(25)

(26)

聯立式(24)—(26)，得

φ′(t)≤(-L+r4+λ4)φ(t)-

(27)

令

由式(27)，可得

φ′(t)≤(-L+r4+λ4)φ(t)-CK1φ(t)1+K2

=φ(t)[-L+r4+λ4-CK1φ(t)K2]

(28)

式中C為正常數。

定理1得證。

2 爆破時間的下界

假設下面條件滿足

ki(t)>0,t≥0

(29)

構造如下輔助函數：

(30)

定理2假設u(x,t),v(x,t)是問題(1)、式(29)在有界凸區域Ω的經典的非負解，則式(30)中定義的能量滿足微分不等式

φ′(t)≤K6φ(t)+2K7(t)φ(t)ξ1+2K8(t)φ(t)ξ2

由此可得爆破時間t*的下界為

t*≥Θ-1(S)

式中：K6,K7(t),K8(t),ξ1,ξ2,Θ,S均在后面定義；Θ-1為Θ的反函數。

證明對式(30)求導數，并利用條件式(29)，得

(31)

其中a=max{a1,a2}。

對式(31)右邊第二項，應用散度定理和式(2)，有

(32)

對式(32) 右邊第二項，利用H?lder 不等式和Young不等式，得

(33)

式中ε1為正數。

于是，結合式(32)和式(33)，得到

(34)

其中：

同理，可以推出

(35)

其中：

ε2為正數。

下面處理式(31)右邊第三項。利用H?lder不等式和Young不等式，有

(36)

同樣地，對式(31)右邊第六項，由H?lder不等式和Young不等式，可推出

(37)

將式(34)—(37)代入式(31)，得到

(38)

再由H?lder不等式和Young不等式，可得

(39)

(40)

(41)

(42)

其中:

ε3,ε4,ε5,ε6為正數。

聯立式(38)—(42)，可推出

(43)

選擇恰當的ε3,ε4,ε5,ε6，使得x11ε5(x10ε3r1+r2)-σ≤0,y11ε6(y10ε4λ1+λ2)-σ≤0。

則由式(43)推出

(44)

利用H?lder 不等式和式(3)，有

(45)

其中：

ε7,ε8為正數。

(46)

同樣，可得

(47)

其中：

ε10為正數。

類似于式(45)的推導，利用H?lder 不等式和式(4)得

(48)

其中：

ε12為正數。

同理可得

(49)

其中:

ε14為正數。

將式(46)—(49)代入式(44)，得

φ′(t)≤(δa+K1+K2+K3)φ(t)+

(50)

取恰當的ε1,ε2,ε8,ε10,ε12,ε14，使得K4≤0,K5≤0。 則由式(50)可推出

φ′(t)≤K6φ(t)+2K7(t)φ(t)ξ1+2K8(t)φ(t)ξ2

(51)

其中：

K6=δa+K1+K2+K3

設

其中K(t)=1+K7(t)+K8(t)。

對式(51)從0到t*積分，有

(52)

因為ξi>1(i=1,2)，所以式(52)右邊積分存在。易知，Θ(t*)是單調遞增函數，于是有

t*≥Θ-1(S)

(53)

其中Θ-1是Θ的反函數，從而完成了定理2的證明。