自動駕駛環境下考慮停車需求的交通均衡模型*

劉詩序，賀朝陽，關宏志，王智煜，朱建超

(1.福州大學 土木工程學院，福建 福州 350108;2.北京工業大學 建筑工程學院，北京 100124)

近年來，世界各國紛紛投入人力物力開發AVs技術。由于AVs可以以一個很小的車頭間距跟車行駛，使得AVs行駛的道路通行能力大大增加，從而緩解交通擁堵、提升路網整體的運輸效率，小的車頭間距還可以減少空氣阻力以提高燃油效率[1-4]。另外，AVs不需要人工干預即可完成日常出行，這意味著出行者可以在AVs中從事其他活動，例如進餐、休息等，也為弱勢群體的自主出行提供很大的便利[5]。

在AVs環境下，網絡交通流將如何分布，是交通研究者所關注的問題，人們通?；诮煌ň饫碚搧硌芯看祟悊栴}。在交通均衡分配研究領域，用戶均衡(user equilibrium, UE)原則認為每個出行者在做路徑選擇時都將自己的出行成本降至最低，并且不存在出行者能夠單方面改變路徑降低其成本。由于AVs能夠獲取有關交通狀況的準確信息，可以基于UE原則分析自動駕駛環境下的網絡均衡流量。對于AVs交通模式，學者們從不同的角度進行了分析。

MEHR等[6]建立了AVs與普通車輛混行的變分不等式均衡模型，證明了網絡均衡狀態不是唯一的。WANG[7]和BAHRAMI[8]也研究了AVs與普通車輛混行的均衡問題，結果表明，隨著AVs市場滲透率的增大，總出行時間變小。但是，上述研究都沒有考慮空載AVs的停車選擇過程，而AVs的停車選擇過程會產生額外的交通需求，因此會影響網絡的均衡狀態。普通人工駕駛車輛的很多研究考慮了停車選擇，而有關于AVs的研究極少。LIU[9]首次對通勤者乘坐AVs出發時間和停車位置選擇的聯合均衡進行建模，ZHANG[10]在AVs停車位置基礎上綜合研究了早晚通勤模式，他們研究的是共享AVs出行[9-10]。同時也有以私人AVs為研究對象，比如LEVIN[11]研究了包括AVs在內的三種交通方式的停車選擇問題，結果表明停車費對均衡結果有影響，但他的試驗中AVs只能回家停車，且均衡解不唯一。ZHANG等[12]研究了AVs的網絡中停車費和停車場容量的變化對網絡均衡的影響,但他假設出行者首先進行停車場選擇，其建模思路與出行者的選擇過程不符。

綜上所述，現有研究存在以下問題：1)目前已有考慮停車選擇的AVs均衡問題，其選擇過程不符合實際；2)此類均衡問題建立變分不等式模型的解不一定唯一，不利于分析交通政策(如停車費)對網絡性能的影響。另外，SOTEROPOULOS[13]指出在可預見的未來，實現私人擁有的AVs普及是可能的。所以本文以私人AVs為研究對象，由此建立相應的數學規劃模型，以得到唯一的均衡狀態，有利于分析停車費等政策對出行成本和路段流量的影響。

1 路徑選擇過程分析

在考慮停車場選擇時，路網中AVs與普通車輛的路徑選擇過程不同。駕駛普通車輛的出行者路徑選擇過程如圖1，可總結為：離開出發地→到達停車場→出行者步行至目的地。由于AVs具有自動駕駛功能，對應的出行過程為：離開出發地→到達目的地并放下出行者→自動駕駛找到停車位，如圖2。因此AVs的路徑選擇可以分為兩個階段：第一個階段是出行者乘坐AVs到達目的地，第二個階段是空載AVs自動選擇停車場。與普通車輛相比，AVs交通模式有三個特點：不需要花費時間尋找停車場；停車位置可以選擇遠離市中心的區域；消除了從停車場到工作地點的步行時間[7]。第一階段中，出行者乘坐AVs去往目的地，此階段出行者主要根據行駛時間來選擇路徑，而在第二階段，出行者不在車內，AVs只需要尋找到車位停車即可，此階段路徑選擇的主要依據為燃料消耗和停車費。從網絡整體來看，路段行駛時間同時受到載人和空載AVs流量的影響。

圖1 普通車輛路徑選擇過程

圖2 AVs路徑選擇過程

根據效用最大化原則，在第一個階段，AVs將選擇行程時間最短的路徑；在第二個階段，AVs選擇出行成本最小的停車場，出行成本包括AVs去往停車場所消耗的燃油費和停車場的收費。因為自動駕駛車輛可以獲得完全路網信息，所以本文假設路網可以達到確定性的用戶均衡。

基于以上分析，本文對AVs的出行全過程建模。需要說明的是，供AVs選擇的停車場包括公共停車場和私人停車場(如出行者家中的停車場)兩類。

2 自動駕駛環境下的交通均衡條件

2.1 出行成本

考慮交通網絡G=(N,P,A)，其中N表示網絡中的節點集合(不含停車場)，P表示網絡中的停車場集合，包括家庭私人停車場和公共停車場，A表示網絡中路段的集合。用R表示網絡中所有出發地的集合，S表示網絡中所有目的地的集合，Krs表示從出發地r∈R到目的地s∈S之間的所有路徑的集合，Lsp表示從目的地s∈S到停車場p∈P之間的所有路徑的集合。需要特別說明的是，在實際問題中，起始節點集合、目的地集合和停車場集合可能存在交集，即同一節點既可能是起始節點，也可能是目的地節點，還可能是停車場。

假定路段a∈A上的路段行駛時間(行駛成本)函數是這兩種車流量的單調遞增函數，即，

ti,a=ti,a(xi,a,xi′,a)

(1)

式中：ti,a表示AVs在路段a上的路段行駛時間函數；i=1,i′=2時表示載人AVs;i=2,i′=1時表示空載AVs。

那么，第一階段中載人AVs出行成本可表示為，

(2)

在第二個階段中，通常出行時間的增加意味著出行距離的增加或車速的降低，這可能導致更高的能源消耗成本，因此，油耗可以表示為，

g2,a(x2,a,x1,a)=G(t2,a(x2,a,x1,a))

(3)

式中：g2,a(x2,a,x1,a)表示空載AVs路段行駛油耗成本，是路段行駛時間的單調遞增函數[9]。

將路段行駛油耗轉換為行駛時間，

h2,a(x2,a,x1,a)=α·g2,a(x2,a,x1,a)

(4)

式中：h2,a(x2,a,x1,a)表示路段a上的空載AVs轉化為時間單位的油耗；α為油耗與時間之間的轉換系數。

第二階段中空載AVs行駛成本可表示為，

(5)

第二階段的出行成本還要考慮停車費，本文將停車場分為家庭停車場和公共停車場。家庭停車場的停車費與出行者的出發地有關，如果某一出發地有家庭停車場，那么對于從該節點出發的出行者，停車費為0，而對于其他節點的出行者，不能在這里停車，他們的停車費為無窮大。公共停車場的停車費假設為固定值。停車成本可表示為，

Cr,p=β·cr,p

(6)

式中：Cr,p表示從出發地r出發的AVs選擇停車場p的停車成本；cr,p表示從出發地r出發的AVs選擇停車場p的停車費；β為停車費與時間之間的轉換系數。需要說明的是，(5)式的空載AVs行駛成本與車輛從哪里出發無關，但(6)式的停車費用與起點有關，為了統一表達和建模方便，式(5)也考慮了起點。

2.2 均衡條件

根據圖2的AVs的出行過程分析可知，出行選擇的兩個階段都應達到均衡。

對于第一階段的路徑選擇，載人AVs選擇從出發地到目的地的路徑使得出行成本最小，在這種情況下，沒有人可以通過單方面更改路徑來進一步減少個人出行成本。均衡條件為，

(7)

對于第二階段的停車場選擇，空載AVs從目的地出發選擇路徑行駛油耗與停車費之和最小的路徑和停車場。在這種情況下，沒有AVs可以通過單方面更改停車場和路徑的選擇來進一步減少個人出行成本。均衡條件為，

(8)

(Cr,p+μsp,r-λs,r)qsp,r=0,Cr,p+μsp,r-λs,r≥0,qsp,r≥0,?r,s,p

(9)

式中：μsp,r表示均衡態下從目的地s到停車場p之間(由起點r出發)的最小出行成本，fsp,rl表示從目的地s到停車場p之間(由起點r出發)的路徑l上的流量；λs,r表示均衡態下從目的地s到停車場(由起點r出發)的最小凈出行成本，包括路徑行駛時間和停車成本兩部分；qsp,r表示從目的地s出發選擇停車場p(由起點r出發)的需求量。(8)式是路徑選擇均衡條件，表示停車場確定情況下AVs選擇最短的路徑去停車場，(9)式是目的地選擇均衡條件，表示AVs選擇出行成本最小的停車場。

3 交通均衡模型構建

假設OD需求量固定，建立自動駕駛環境下的交通均衡數學規劃模型，

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式(10)是目標函數，無直觀經濟學含義；式(11)表示OD對r—s之間的路徑流量與需求量的守恒關系；式(12)表示從目的地s到停車場p(由起點r出發)之間的路徑流量與s—p的停車需求量(由起點地r出發)之間的守恒關系；式(13)表示從目的地s到停車場p的停車需求量(由起點r出發)與OD對r—s之間需求量的守恒關系；式(14)表示非負約束；式(15)和(16)表示路段流量與路徑流量之間的關系。

下面證明式(10)—(16)的一階條件等價于均衡條件式(7)—(9)。首先，假設同一路段上，空載AVs路段流量對載人AVs路段行駛時間成本的邊際貢獻與等當量的載人AVs路段流量對空載AVs路段行駛時間成本的邊際貢獻相等，即，

(17)

由數學規劃基本理論可知，式(10)—(16)的拉格朗日函數為，

(18)

式中:μrs、μsp,r、λs,r分別為約束(11)—(13)的拉格朗日乘子，對目標函數Z求關于x1,a的一階偏導數，得,

(19)

由假設條件式(17)可知,

t1,a(x1,a,x2,a)-t1,a(x1,a,0)

(20)

因此,

(21)

同理，目標函數Z對x2,a求一階偏導可得,

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

對拉格朗日函數分別求關于qsp,r、λs,r的一階偏導數，得,

(27)

(28)

綜上，拉格朗日函數對應的一階條件為,

(29)

(30)

(Cr,p+μsp,r-λs,r)qsp,r=0

Cr,p+μsp,r-λs,r≥0

(31)

(32)

顯然式(29)—(31)與均衡條件(7)—(9)等價。模型等價性證明完畢。

4 解的唯一性證明

在實際情況中，載人AVs和空載AVs混行的路段行駛時間成本函數應該具有以下特點：

1)路段行駛時間成本隨流量的增加而增加，即,

(33)

2)載人AVs路段流量對載人AVs路段行駛時間成本函數的影響超過空載AVs路段流量對其路段行駛時間成本函數的影響。對于空載AVs也有類似的結論,即,

(34)

(35)

將目標函數寫成兩部分之和，即,

Z=Z1+Z2

(36)

其中,

(37)

(38)

因為Z2是線性函數，為凸函數，所以只需要證明Z1的Hessian矩陣是正定的即可。

Z1對路段a的流量x1,a求一階偏導,

(39)

分別求x1,b和x2,b的二階偏導,

(40)

(41)

同理可得,

(42)

(43)

Z1的Hessian矩陣可表示為如下的分塊對角矩陣:

(44)

其中,

(45)

由出行成本函數一般滿足式(33)—(35)可知，

(46)

5 求解算法

式(10)—(16)討論的是路段相互影響并且含停車場選擇的組合均衡問題。為求解方便，通過網絡變換法，將原問題轉化成等價的標準UE問題再求解。如圖3，實線代表實際道路，假設網絡中有M個起始節點，N個目的地節點，I個停車場，為每一個起始節點r設置一個虛擬訖節點r′，表示起始節點出發的流量最終會抵達相應的虛擬節點。用虛線將停車場與每一個虛擬節點相連接，虛線上的路段出行成本為相應的停車成本Cr,p。此時網絡中新增了OD對(s—r′)，且新增OD對的需求量qsr′=qrs。

圖3 等價網絡

在等價網絡中，假設實際路段集合為A1，虛擬路段集合為A2，空載AVs的路段出行成本函數為，

(47)

因此，數學規劃模型可以轉化為，

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

可以看出兩個模型基本一致，若將變換網絡求解出來的qsp,r′看成qsp,r、qsr′看成qrs，就和式(10)—(16)完全一致。

將約束條件(50)和(51)合并，并改寫式(54)，得到，

(55)

(56)

式(48)、(49)、(52)、(53)、(55)、(56)就是變換網絡的UE模型。因此，對圖3按照固定需求UE模型求解，即可得原模型的解。而經典UE模型的求解算法較多，本文使用MSA算法，具體步驟可參考文獻[15]。

6 算例

網絡結構如圖4所示，兩個OD對，qOD=1 000 pcu·h-1和qO′D′=1 500 pcu·h-1，四個停車場可供AVs選擇，其中家庭停車場1(P1)和3(P3)分別位于起點O和O’，停車場2(P2)和4(P4)為公共停車場。路段a的成本函數如下：

圖4 交通網絡結構

t1,a(x1,a,x2,a)=h2,a(x2,a,x1,a)=

表1 路段屬性

表2 停車費

固定停車場4的費用，中心停車場2的費用逐漸減少，分析路段流量、停車場需求量和個人總出行成本的變化情況，如圖5—圖7。

圖5顯示了停車場2周圍8個路段流量變化情況，停車場2的費用減少百分比在0%～32%時，路段流量不變化；在32%～57%之間時，流向停車場2的路段流量增加；超過57%時，路段流量不再受到停車場2費用的影響。由此可以看出，停車場2的停車費在一定范圍內變化，會使局部路段流量產生明顯變化，當超出這個范圍，對路段流量不再產生影響。

圖6顯示了當中心停車場的停車費降低，AVs就近選擇公共停車場。當停車場2的費用減少百分比在0%～32%時，各停車場需求量無變化，此時停車選擇結果與停車場2費用無關。在32%～40%時，停車場4的需求量升高，主要是因為選擇停車場2的AVs增多，導致局部路段行駛成本上升，相比而言，選擇停車場4的成本較低，所以從O’出發的空載AVs部分選擇停車場4；超過40%時，停車場4的需求量開始降低，主要因為停車費的降低高于路段行駛成本的增加；超過49%時，停車場3的需求量變為0，表明從節點O出發的空載AVs全部選擇停車場2；超過53%時，停車場4的需求量變為0，表明從節點O’出發的空載AVs選擇停車場1和2；超過57%時，停車場1的需求量變為0，整個網絡的AVs全部選擇停車場2，此時網絡中停車選擇與停車場2的費用無關，各停車場需求量不再變化。

圖6 停車需求量變化情況

圖7顯示了個人總出行成本變化情況，當停車費減少不超過32%時，停車場2的停車費變化不對個人總出行成本產生影響；超過32%時，隨著停車費的持續下降，個人出行總成本總體上是降低的，這是因為除了停車費降低外，較低的停車費也會激勵更多的出行者選擇公共停車場，而不是回到出發地停車，以此減少空載AVs額外的出行需求造成的道路擁堵以及行駛所產生的油耗。另外，在32%～57%之間時，總出行成本產生波動，雖然停車費降低，但AVs尋找停車場增加了額外的出行需求，導致總出行成本上升。而超過57%時，停車費的變化不再影響出行者的停車選擇，此時個人總出行成本與停車場2的費用呈線性關系。

圖7 個人總出行成本變化情況

7 結語

當考慮停車選擇過程時，AVs與普通汽車的出行模式存在差異，這將產生額外的出行需求，基于此建立了相應的均衡模型，探討了不同的停車費對路網均衡狀態的影響程度，研究成果可為自動駕駛環境下的停車費設置提供參考。本文算例中停車場2相當于市中心的公共停車場，結果表明，個人出行總成本會隨停車費降低而出現波動性變化，這意味著在AVs使網絡用戶受益的同時，也對管理者提出了新的挑戰，因為它改變了交通模式并導致了部分道路擁堵加劇。