70，73Ge的麥克斯韋平均截面計算

李雪，黃美容，王德鑫

（1.內蒙古民族大學 數理學院，內蒙古 通遼028043；2.內蒙古民族大學 核物理研究所，內蒙古 通遼028043）

隨著國防科技及核能與核技術研究的發展，近幾年來新型核能系統的研發對核數據的需求越來越強烈，相關單位對核數據研究的關注度也逐漸加強，紛紛投入人力、物力開展核數據相關研究，進一步促進核數據研究工作的發展［1］.

恒星中的重元素是通過不同機制產生的，如慢中子俘獲（s過程）和快速中子俘獲過程（r過程）.在紅巨星中發現的s過程解釋了大約60%比56Fe重的原子核的起源，剩下的40%的原子核通常歸因于r過程［2］.其中麥克斯韋平均截面（Maxwell average cross section，簡稱MACS）是研究天體中重元素合成的重要參數，利用該參數可計算出太陽系的核素豐度、給出有關s過程中核合成的中子密度分布和宇宙年齡、溫度等情況［3］.因此，找到最適合的積分方式，對研究核天體物理起著重要作用.目前s過程核合成的計算通?；趯Ｓ玫暮颂祗w物理數據庫，如BAO等［4的工作.這些數據庫包含麥克斯韋平均截面和天體物理反應速率的質量信息.NAKAGAWA等［5］也根據JENDL-3.3評價的核反應庫計算了麥克斯韋平均截面和天體物理反應速率.

從20世紀40年代研究核數據開始，各個國家都先后建立了自己的評價核數據庫，尤其是中子核數據庫，并且不斷地更新版本.比如美國的ENDF、歐洲的JEFF、日本的JENDL、中國的CENDL、前蘇聯的BROND等.美國國家核數據中心（NNDC）收錄了ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0和CENDL-3.1［6-9］評價的核反應庫的麥克斯韋平均截面和天體物理反應速率.筆者采用梯形數值積分、復化梯形積分、復化辛普森積分［10］對70Ge、73Ge（n，γ）的麥克斯韋平均截面進行計算，找到其中最合適的積分方法，并用該方法對ENDF/B-VIII.0、JEFF-3.3、CENDL-3.2和TENDL-2019［11-14］的最新版本的核反應庫進行了計算.

1 麥克斯韋平均截面

設天體環境中有2種原子核x和y，其中y為靶核，x為入射炮彈，x和y發生核反應的反應速率與它們之間的相對運動速度v、反應截面σ以及A和B的數密度，即

其中，R為核反應的反應速率.

在天體環境中，核的速度分布可以用一個概率函數φ（v）表示，φ（v）滿足［15］

因此，在計算時應該考慮到速度的分布，計算所有速度的平均值<σv>，即

其中，<σv>的含義是對每對核子的反應率.

總反應率可以表示為

為了使上述公式包含全同粒子的情況，通常把公式（4）改寫成

核的數密度可以通過天體密度、核的質量分數或摩爾分數來計算

式中，NA是阿伏伽德羅常數，Ai是原子核i的質量.

通常，原子核運動速度遵從麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布率，即

這里T是氣體溫度，m是原子核質量，指數項中的分子表示運動能量E=1/2mv2，函數φ（v）也可以寫成能量E的函數

為了方便計算，通常溫度以T6（106k）為單位，則溫度和玻爾茲曼常數k的乘積kT可以轉化為以keV單位的能量值，即kT=0.086 2×T6keV.對于發生在恒星介質內的核反應，參與反應的兩個原子核x和y的速度分布都可以用麥克斯韋-玻爾茲曼分布描述.因此，每對原子核發生反應的速率，應該是兩個速度分布的乘積的積

式中，v表示2個原子核之間的相對運動速度，用vx和vy分別表示核x與核y的運動速度.如果用V表示質心系運動速度：用μ表示x和y的約化質量，即μ=mxmy/（mx+my）總質量M=mx+my，則反應速率<σv>可以寫成v與V的積分表達式

（10）式中，速度分布函數φ（V）和φ（v）分別表示為

和

由于速度分布函數φ（V）和φ（v）都是歸一的，核反應界面僅與2個反應核之間的相對運動速度有關，因此式（10）可以簡化為

將式（12）代入可得

把速度v換成能量E后，上式可轉化為

根據核天體物理反應率，將麥克斯韋的平均截面定義為

其中，v是中子和目標核素的相對速度，vt是平均熱速度，由下式給出

由此得出麥克斯韋平均截面的計算公式為

其中，k和T分別是系統的玻爾茲曼常數和溫度，E是中子相對于目標的相對運動能量.ENDF-6格式橫截面的值在實驗室系統中制成表格，最后一個方程必須修改為［1］

其中，a=m2/（m1+m2），k和T分別是系統的玻爾茲曼常數和溫度是實驗室系統中的中子能量，m1和m2分別是中子和靶核的質量.

2 積分方法

2.1 梯形數值積分

與梯形積分不同，梯形數值積分（Trapezoidal numerical integration）是基于梯形積分形式改進的.通過梯形法執行數值積分運算.通過將一個區域分為包含多個更容易計算的區域的梯形，該方法對區間內的積分計算近似值.

當有一組數據Y時，通過梯形數值積分法計算Y的近似積分（采用單位間距），Y的大小確定求積分所沿用的維度：如果Y為向量，則梯形數值積分是Y的近似積分.如果Y為矩陣，則梯形數值積分對每列求積分并返回積分值的行向量.如果Y為多維數組，則梯形數值積分對其大小不等于1的第一個維度求積分.該維度的大小變為1，而其他維度的大小保持不變.

當有2組數據X、Y時，通過梯形數值積分法計算X、Y積分，根據X指定的坐標或標量間距對Y進行積分.如果X是坐標向量，則length（X）必須等于Y的大小不等于1的第一個維度的大小.如果X是標量間距，則梯形數值積分法對X，Y求積分等于X乘求積后的Y.

2.2 復化梯形積分

將區間［a，b］劃分成N等分，子區間的長為，稱hN為變步長.此時，節點為xk=x0+khN（k=0,1…,N）.由定積分的性質和梯形公式，得到復化梯形公式為

2.3 復化辛普森積分

將區間［a，b］劃分成N等分，子區間的長為，在每個子區間上采取Simpson公式.此時，共有2N+1個節點.即，得到復化辛普森公式為

3 70Ge、73Ge的MACS計算

先前公布的麥克斯韋平均截面計算是基于線性化截面的辛普森積分法，筆者主要根據ENDF/BVII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.評價數據庫查找的（n，γ）截面數據，運用梯形數值積分方法、復化梯形積分方法、復化辛普森積分方法對70Ge、73Ge在8~100 keV下的麥克斯韋平均截面進行計算，并與評價數據集Brookhaven National Laboratory report（BNL Report）［16］中數據進行對比，分析哪種積分方式計算結果更貼近于數據集BNL Report數據，接著用最合適的積分方式算出新評價數據庫的麥克斯韋平均截面的值.

BNL Report計算了843種材料的中子截面、韋斯科特因子、共振積分、麥克斯韋平均截面和天體物理反應率.廣泛分析新評價的中子反應截面、中子協方差和數據處理技術的改進促使研究者計算核工業和中子物理量，產生s過程麥克斯韋平均截面和天體物理反應率，系統地計算不確定性.討論了核反應的計算結果，并給出了新的計算結果.因此計算結果與BNL Report對比是比較有可信度的.

3.1 70Ge的MACS計算

根據3種方法的計算結果與數據集BNL Report數據作圖如下.

圖1、圖2、圖3、圖4分別為根據ENDF/B-VII.1、JEFF-3.1.2、JENDL-4.0、CENDL-3.1數據庫計算的70Ge麥克斯韋平均截面與數據集BNL Report中麥克斯韋平均截面的對比圖，其中Trapezoidal表示的是梯形數值積分方式的計算結果，Mulriple Trapezoidal表示的是復化梯形積分方式的計算結果，Mulriple Simpson表示的是復化辛普森積分方式的計算結果.從圖1可以觀察到梯形數值積分方式的計算結果除了在kT=40 keV時，略高于BNL Report數據，其他情況與BNL Report結果相符；復化梯形積分方式的計算結果與復化辛普森積分方式的計算結果相同，二者在kT=8~40 keV低于BNL Report的結果，在kT=50~100 keV處，3種計算方式所得結果相吻合.從圖2可以觀察到梯形數值積分方式的計算結果與BNL Report結果相一致，復化梯形積分方式的計算結果與復化辛普森積分方式的計算結果相契合.同樣在kT=8~40 keV低于BNL Report，在kT=50~100 keV處，3種計算方式所得結果完全一致.圖3所能觀察到的與圖1一樣，梯形積分方式的計算結果與BNL Report結果符合的很好，除了在kT=40 keV時，略高于BNL Report數據；而復化梯形積分方式的計算結果與復化辛普森積分方式的計算結果是相吻合的，但是他們在kT=8~40 keV時低于BNL Report數據，但在kT=50~100 keV處，3種計算方式所得結果一致.圖4的整個數據結果以及曲線走向都與前3個圖有所不同，引起不同的原因是原始數據庫截面數據的不同導致的，如圖5所示.其次，可以觀察到3種積分方式所得結果與BNL Report數據相差都很大，只有在kT=8~10 keV時梯形數值積分結果接近于數據庫結果.

圖1 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.1 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

圖2 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.2 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

圖3 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.3 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

圖4 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.4 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

圖5 7 0Ge不同數據庫的(n,γ)截面數據對比圖Fig.5 Comparison of(n,γ)cross section data of different70Ge databases

3.2 73Ge的MACS計算

根據3種方法的計算結果與數據集BNL Report數據作圖如下.

圖6、圖7、圖8、圖9分別為根據JEFF-3.1.2、ENDF/B-VII.1、CENDL-3.1、JENDL-4.0、數據庫計算的73Ge麥克斯韋平均截面與數據集ENL Report中麥克斯韋平均截面的對比圖.從圖6可以觀察到梯形積分方式的計算結果在kT=8~60 keV時略高于BNL Report數據，而在60 keV之后兩者吻合；而復化梯形積分方式的計算結果與復化辛普森積分方式的計算結果是一致的，但是它們在kT=8~60 keV時低于BNL Report數據，但在kT=60~100 keV處，3種計算方式所得結果一致.從圖7可以觀察到梯形數值積分方式的計算結果與BNL Report數據相同，復化梯形積分方式的計算結果與復化辛普森積分方式的計算結果很吻合，同樣在kT=8~60 keV時低于BNL Report數據，在kT=60~100 keV處，3種計算方式所得結果符合的很好.圖8所能觀察到梯形數值積分方式的計算結果稍高于BNL Report數據；而復化梯形數值積分方式的計算結果與復化辛普森積分方式的計算結果相符，但是它們在kT=8~60 keV處低于BNL Report數據，但在kT=60~100 keV處，3種計算方式所得結果一致.由圖9可以看出在kT=8~60 keV處，梯形數值積分結果高于BNL Report數據，復化梯形積分方式的計算結果與復化辛普森積分方式的計算結果低于BNL Report數據.

圖6 ENDF/B-VII.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.6 Maxwell average cross section of ENDF/B-VII.1

圖7 JEFF-3.1.2的麥克斯韋平均截面圖Fig.7 Maxwell average cross section of JEFF-3.1.2

圖8 CENDL-3.1的麥克斯韋平均截面圖Fig.8 Maxwell average cross section of CENDL-3.1

圖9 JENDL-4.0的麥克斯韋平均截面圖Fig.9 Maxwell average cross section of JENDL-4.0

3.3 70Ge、73Ge在ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019數據庫下的MACS計算

根據不同評價的核反應數據庫分別用梯形數值積分、復化梯形積分、復化辛普森積分對70Ge、73Ge計算恒星核合成反應（n，γ）的麥克斯韋平均截面結果與BNL Report提供的麥克斯韋平均截面數據進行比較，結果發現用梯形數值積分的積分結果最為符合.所以運用相同方法計算了新的評價數據庫的麥克斯韋平均截面.

運用梯形數值積分方法，計算新的評價數據庫ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019的麥克斯韋平均截面.結果如下.

續表2

從表1、表2可以看出，無論是70Ge還是73Ge，對于ENDF庫、CENDL庫新舊版本（n，γ）截面數據計算結果差距不大，CENDL、JEFF-3.3新的數據庫數據，與原版本有一點差別，原因在于數據庫原始截面數據的差異.就總體而言，幾乎沒有變化.通過數據，觀察到JEFF庫的變化很大，所以對新舊數據庫的（n，γ）截面數據進行了比較.如圖10、圖11，發現數據庫的變化很大，對麥克斯韋平均截面的影響較大，所以對新的（n，γ）截面數據進行計算是非常必要的.

表1 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019評價數據庫截面數據用梯形數值積分方式所得7 0Ge的麥克斯韋平均截面Tab.1 ENDF/B-VIII.0，CENDL-3.2，JEFF-3.3，TENDL-2019 evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section of70Ge

表2 ENDF/B-VIII.0、CENDL-3.2、JEFF-3.3、TENDL-2019不同評價數據庫截面數據用梯形數值積分方式所得7 3Ge的麥克斯韋平均截面數據Tab.2 ENDF/B-VIII.0，CENDL-3.2，JEFF-3.3，TENDL-2019 different evaluation database cross section data using trapezoidal numerical integration method to obtain the Maxwell average cross section data of73Ge

圖10 70Ge JEFF新舊數據庫的(n,γ)截面數據對比圖Fig.10 Comparison of(n,γ)cross section data of 70Ge JEFF old and new databases

圖11 7 3Ge JEFF新舊數據庫的(n,γ)截面數據對比圖Fig.11 Comparison of(n,γ)cross section data of 73Ge JEFF old and new databases

4 結語

核數據是用來描述原子核基本性質、核衰變以及入射粒子與原子核發生反應過程等方面信息的統稱，是核科學與核工程應用所需的重要基礎數據，其精度和可靠性直接關系著核工程產品的可靠性、安全性和經濟性.其中麥克斯韋平均截面的精度及準確性對于現階段的研究也是非常重要的，因此，通過不同評價的核反應數據庫分別用梯形積分、復化梯形積分、復化辛普森積分對70Ge、73Ge計算恒星核合成反應（n，γ）的麥克斯韋平均截面進行了計算，發現梯形數值積分方法所得結果最為符合，對接下來計算各種核反應參數是有極大幫助的，同時也希望能為其他研究者提供參考.