高考數列綜合題的三種新題型歸類分析

福建省寧德市民族中學(355000) 鄭一平

福建省寧德市第一中學(352100) 蘇華春

命題者常喜歡把數列與相關知識綜合作為高考壓軸題考查學生數學解題能力和綜合素質,是基于數列既是高中數學的主干知識,又是學習高等數學的基礎,既具有函數的特征,又能構成獨特的遞推關系.從近年高考數列試題可以看出,由過去單純考查數列知識或遞推數列問題轉化為在知識交匯上做文章,常以綜合性問題形式作為壓軸題出現.特別作為壓軸題常設計了許多層次恰當、合理的綜合性問題,使數列與高中階段相關知識相結合,并以數列知識為載體注重考查數學推理能力和分析解決問題的能力,尤其考查學生對數學問題的理解水平和數學素養,成為學生數學高考得高分的關鍵.本文以浙江、北京、江蘇近兩年全國高考數列綜合題為例,分析其三種新題型及其解題方法特點,對于做好數列教學與復習,尤其對提升數列綜合題解題能力有很大幫助.

1 與不等式交匯的綜合題

這類試題似乎考數列但又不單純為數列,尤其注意在知識交匯上做文章,設計了層次恰當、合理的綜合性問題,使數列與高中階段重要的不等式等知識相結合, 考查不等式證明、計算的方法、技巧.

例1(2019年高考浙江卷)設等差數列{an}的前n項和為Sn,a3= 4,a4=S3, 數列{bn}滿足: 對每n ∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數列.

(1)求數列{an},{bn}的通項公式;

(2)記Cn=證明:C1+C2+···+

分析(Ⅰ)首先求得數列{an}的首項和公差確定數列{an}的通項公式,然后結合三項成等比數列的充分必要條件整理計算即可確定數列{bn}的通項公式;

(Ⅱ)結合(Ⅰ)的結果對數列{cn}的通項公式進行放縮,然后利用不等式的性質和裂項求和的方法即可證得題中的不等式.

解析(Ⅰ)由題意得解得:故數列{an}的通項公式為an=2n-2.所以Sn=n(n-1).由n ∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數列知:

整理得:

(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的通項公式可得:

評析本題(Ⅰ)主要考查數列通項公式的求解,(Ⅱ)考查如何根據條件把等量關系轉化為不等量關系,通過放縮方法結合裂項求和達到目的,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

例2(2020年高考浙江卷理科第20 題)已知數列{an},{bn},{cn}中,a1=b1=c1= 1,cn=an+1-an,cn+1=

(Ⅰ)若數列{bn}為等比數列,且公比q ＞0,且b1+b2=6b3,求q與{an}的通項公式;

(Ⅱ)若數列{bn}為等差數列, 且公差d ＞0, 證明:c1+c2+···+cn ＜1+

分析(Ⅰ)根據b1+b2=6b3,求得q,進而求得數列{cn}的通項公式,利用累加法求得數列{an}的通項公式.(ⅠⅠ)利用累乘法求得數列{cn}的表達式,結合裂項求和法證得不等式成立.

解(Ⅰ)依題意b1= 1,b2=q,b3=q2,而b1+b2= 6b3,即1+q=6q2,由于q ＞0,所以解得q=所以bn=因為bn+2=故cn+1=·cn= 4·cn,所以數列{cn}是首項為1, 公比為4 的等比數列, 所以cn= 4n-1.所以an+1- an=cn= 4n-1(n≥ 2,n ∈N*).所以an=a1+1+4+···+4n-2=

(ⅠⅠ)依題意設bn= 1+(n-1)d=dn+1-d, 由于(n≥2,n ∈N*),故

所以

由于d ＞0,b1= 1, 所 以bn+1＞0, 所 以即c1+c2+···+cn ＜1+n ∈N*.

評析本題對能力要求較高,主要考查累加法、累乘法求數列的通項公式,考查裂項求和法和推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.

2 新定義型數列綜合題

新定義數列問題主要給出了數列新定義一種運算、概念(如一種符號、一種圖形等)、一種性質等,由過去單純考查數列知識或遞推數列問題以及在知識交匯上做文章,變為設計層次恰當、合理的新問題,使數列與高中階段相關知識相結合,并以數列知識為載體注重考查數學推理能力和分析解決問題的能力,要求學生在短時間內理解試題所給的新型定義,能將所學知識與方法遷移到不同情境中,進而考查學生的理性思維和數學素養.

例3(2019年高考江蘇卷壓軸題)定義首項為1 且公比為正數的等比數列為“M-數列”.

(Ⅰ)已知等比數列{an}滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證: 數列{an}為“M-數列”;

(Ⅱ)已知數列{bn}滿足:b1= 1,其中Sn為數列{bn}的前n項和.

①求數列{bn}的通項公式;

②設m為正整數,若存在“M-數列”{cn}(n ∈N*),對任意正整數k,當k≥m時,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

分析(Ⅰ)只要求出數列{an}的通項公式即可判斷結論;

(Ⅱ)①由題意利用遞推關系式討論推理可得數列{bn}是等差數列, 據此即可確定其通項公式; ②由①確定bk的值,將原問題進行等價轉化,構造函數,結合導函數研究函數的性質即可求得m的最大值.

解析(Ⅰ)設等比數列{an}的公比為q,所以a1/=0,q /=0.由

因此數列{an}為“M-數列”.

②由①知,bk=k,k ∈N*.因為數列{cn}為“M-數列”,設公比為q,所以c1= 1,q ＞0.因為ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,...,m.當k=1 時,有q≥1;當k=2,3,...,m時,有

設f(x)=(x ＞1), 則f ′(x)=令f′(x)=0,得x=e.列表如下:

x (1,e)e (e,+∞)f′(x)+0-f(x)↗極大值↘

綜上,所求m的最大值為5.

評析本題主要考查等差和等比數列的定義、通項公式、性質等基礎知識,考查代數推理、轉化與化歸及綜合運用數學知識探究與解決問題的能力.尤其問題(Ⅱ)②要通過觀察分析構作函數,把數列問題轉化為函數問題利用導數知識來解決.

例4(2020年高考江蘇卷第20 題)已知數列{an}(n ∈N*)的首項a1= 1,前n項和為Sn.設λ與k是常數,若對一切正整數n,均有成立,則稱此數列為“λ-k”數列.

(Ⅰ)若等差數列{an}是“λ-1”數列,求λ的值;

(Ⅱ)若數列{an}是“-2”數列,且an ＞0,求數列{an}的通項公式;

(3)對于給定的λ, 是否存在三個不同的數列{an}為“λ-3”數列,且an≥0? 若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由,

分析(Ⅰ)根據定義得Sn+1-Sn=λan+1,再根據和項與通項關系化簡得an+1=λan+1,最后根據數列不為零數列得結果;

解(Ⅰ)Sn+1-Sn=λan+1,即an+1=λan+1,由a1=1,an+1/≡0,所以λ=1.

(Ⅱ)因為an ＞0,所以Sn+1＞Sn,所以因為所以所以Sn+1= 4Sn,所以Sn= 4n-1, 因為S1=a1= 1,Sn= 4n-1, 所以an= 4n-1-4n-2= 3·4n-2,n≥ 2, 所 以an=

(Ⅲ)假設存在三個不同的數列{an}為λ-3 數列.

有兩個不等正根,設f(x)=(λ3-1)x2+(λ3+2)x+(λ3-1)(λ/=1).

①當λ ＜1 時, Δ = (λ3+2)2-4(λ3-1)2＞0?0＜λ3＜4,即0＜λ ＜1,此時f(0)=λ3-1＜0,對稱軸＞0,滿足題意.

②當λ ＞1 時, Δ = (λ3+2)2-4(λ3-1)2＞0?0＜λ3＜4,即1＜λ ＜此時f(0)=λ3-1＞0,對稱軸x=-＜0,此情況有兩個不等負根,不滿足題意舍去.

綜上,0＜λ ＜1.

評析本題考查數列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步以及綜合分析求解能力,屬難題.解決新定義問題的兩個突破點: 一是正確理解新定義.耐心閱讀, 分析含義,準確提取信息是解決這類問題的前提,剝去新定義、新法則、新運算的外表,利用所學的知識將陌生的性質轉化為我們熟悉的性質,是解決這類問題的突破口.二是合理利用有關性質是破解新定義型問題的關鍵.在解題時要善于從題設條件給出的數式中發現可以使用性質的一些因素,并合理利用.問題(Ⅰ)比較簡單;問題(Ⅱ)根據遞推數列關系推導求得Sn= 4n-1,進而求得an達到求解目的;問題(Ⅲ)則通過變形、代換,把問題轉化為一元二次方程根的分布問題,把數列問題轉化為二次函數問題解決,意在考查學生的轉化能力和推理能力.只有在分析條件理解題意的基礎上,用所學知識進行推理方能奏效.

3.與數論相關的推理綜合題

例5(2019年高考北京卷壓軸題)已知數列{an},從中選取第i1項、第i2項、…、第in項(i1＜i2＜i3＜···＜in),若ai1＜ai2＜··· ＜aim,則稱新數列ai1,ai2,··· ,aim為{an}的長度為m的遞增子列.規定: 數列{an}的任意一項都是{an}的長度為1 的遞增子列.

(Ⅰ)寫出數列1,8,3,7,5,6,9 的一個長度為4 的遞增子列;

(Ⅱ)已知數列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am0,長度為q的遞增子列的末項的最小值為an0.若p ＜q,求證:am0＜an0;

(Ⅲ)設無窮數列{an}的各項均為正整數,且任意兩項均不相等.若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s-1,且長度為s末項為2s-1 的遞增子列恰有2s-1 個(s=1,2,···),求數列{an}的通項公式.

分析(Ⅰ)由題意結合新定義的知識給出一個滿足題意的遞增子列即可;(Ⅱ)利用數列的性質和遞增子列的定義證明題中的結論即可;(Ⅲ)觀察所要求解數列的特征給出一個滿足題意的通項公式,然后證明通項公式滿足題中所有的條件即可.

解析(Ⅰ)滿足題意的一個長度為4 的遞增子列為: 1,3,5,6.

(Ⅱ)對于每一個長度為q的遞增子列a1,a2,··· ,aq,都能從其中找到若干個長度為p的遞增子列a1,a2,··· ,ap,此時ap≤aq, 設所有長度為q的子列的末項分別為:{aq1,aq2,aq3,···}, 所有長度為p的子列的末項分別為:{ap1,ap2,ap3,···},則an0= mⅰn{aq1,aq2,aq3,···},注意到長度為p的子列可能無法進一步找到長度為q的子列, 故am0≤mⅰn{ap1,ap2,ap3,···},據此可得:am0＜an0.

(Ⅲ)滿足題意的一個數列的通項公式可以是

下面說明此數列滿足題意.很明顯數列為無窮數列, 且各項均為正整數, 任意兩項均不相等.長度為s的遞增子列末項的最小值為2s -1, 下面用數學歸納法證明長度為s末項為2s -1 的遞增子列恰有2s-1個(s=1,2,···):當n= 1 時命題顯然成立, 假設當n=k時命題成立, 即長度為k末項為2k -1 的遞增子列恰有2k-1個,則當n=k+ 1 時, 對于n=k時得到的每一個子列as1,as2,··· ,ask―1,2k-1,可構造:as1,as2,··· ,ask―1,2k-1,2(k+1)-1 和as1,as2,··· ,ask―1,2k,2(k+1)-1 兩個滿足題意的遞增子列,則長度為k+1 末項為2k+1 的遞增子列恰有2×2k-1=2k=2(k+1)-1個.

綜上可得,數列an==2,1,4,3,6,5,8,7 是一個滿足題意的數列的通項公式.

評析本小題主要考查接受新知識能力,引入新定義,要求利用定義結合條件解決相關問題,所謂“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種,然后根據此新定義去解決問題,有時還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.但是,透過現象看本質,它們考查的還是基礎數學知識,所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好三基,以不變應萬變才是制勝法寶.特別問題(Ⅲ)對觀察能力要求較高,觀察得到通項后要求能利用數學歸納法進行證明有一定難度.

例6(2020年高考北京卷壓軸題)已知{an}是無窮數列.給出兩個性質:

①對于{an}中任意兩項ai,aj(i ＞j),在{an}中都存在一項am,使

②對于{an}中任意項an(n≥3),在{an}中都存在兩項ak,al(k ＞l).使得an=

(Ⅰ)若an=n(n=1,2,···),判斷數列{an}是否滿足性質①,說明理由;

(Ⅱ)若an= 2n-1(n= 1,2,···),判斷數列{an}是否同時滿足性質①和性質②,說明理由;

(Ⅲ)若{an}是遞增數列,且同時滿足性質①和性質②,證明:{an}為等比數列.

分析(Ⅰ)根據定義驗證,即可判斷;(Ⅱ)根據定義逐一驗證,即可判斷; (Ⅲ)首先,證明數列中的各項同號,然后證明a3=最后,用數學歸納法證明數列為等比數列即可.

解(Ⅰ)因為a2= 2,a3= 3,/∈Z,所以{an}不具有性質①;

(Ⅱ)因為?i,j ∈N*,i ＞j,=2(2i-j)-1,2i-j ∈N*,所以=a2i-j.所以{an}具有性質①;因為?n ∈N*,n≥3,?k=n-1,l=n-2,= 2(2k-l)-1= 2n-1=an,所以{an}具有性質②;

(Ⅲ)首先, 證明數列中的各項同號, 不妨設已知某項是正數,往證數列各項恒為正數.顯然an /= 0(n/∈N*),假設數列中存在負項,設N0= max{n|an ＜0},第一種情況: 若N0=1,即a1＜0＜a2＜a3＜···,由①可知: 存在m1,滿足am1=＜0,存在m2,滿足am2=＜0,由N0= 1可知從而a2=a3, 與數列的單調性矛盾, 假設不成立.第二種情況: 若N0≥2, 由①知存在實數m, 滿足am=＜0,由N0的定義可知:m≤N0,另一方面,am==aN0,由數列單調性可知:m ＞N0,這與N0的定義矛盾,假設不成立.

同理可證得數列中若存在負數,則各項恒為負數.綜上可得,數列中的各項同號.

其次, 證明a3=利用性質②: 取n= 3, 此時(k ＞l), 由數列的單調性可知ak ＞al ＞0, 而a3=ak ·＞ak, 故k ＜3, 此時必有k= 2,l= 1, 即a3=,最后,用數學歸納法證明數列為等比數列(過程留給讀者).

綜上可得,數列{an}的通項公式為:an=a1qn-1.即數列{an}為等比數列.

評析本題主要考查數列的綜合運用,等比數列的證明,數列性質的應用,數學歸納法與推理方法、不等式的性質的綜合運用等知識,意在考查學生的觀察能力、轉化能力和推理能力.問題(Ⅰ)與(Ⅱ)相對都比較簡單, 問題(Ⅲ)對能力要求較高,關鍵突破點有三: 一要根據證明需要分情況逐一討論;二要根據性質②找到前三項的等比關系;三要根據性質①找到數列中的其他項,并證明其他項依次滿足等比關系.