利用切線解決最小距離問題的源與流

廣東省中山市中山紀念中學 馬紅芳 李勇剛

在教學中,筆者發現一個問題: 很多同一個本質的問題改變了問題的呈現形式,學生就會覺得很困難,不會處理.如何解決這個問題? 筆者在教學中嘗試通過變式教學去解決.首先引導學生掌握解決這類問題源問題的處理方法,然后通過變式,一方面讓學生看到同樣一個知識背景的不同呈現形式,學會透過不同的形式看到所研究問題的本質;另一方面通過變式層層深入,讓學生對問題的本質有更深刻全面的認識,以期達到更好的教學效果.

本文首先是給出用切線解決直線和曲線上動點距離最小值問題的一個最基本的原型,通過一題多變,讓學生看到很多看起來不同形式的問題,通過文字語言,圖形語言以及數學符號語言的相互轉化,可以化歸為熟知的源問題.

例1已知點P在函數f(x)= ex的圖像上運動,點Q在直線y=x上運動,求|PQ|的最小值.

解析對函數f(x)= ex的圖像上的給定點P,點P與直線y=x上點的距離的最小值即點P到直線y=x的距離,故|PQ|的最小值即點P到直線y=x的最小距離.根據函數f(x)= ex的圖像可知,把直線y=x平移到與函數f(x)= ex的圖像相切時,切點到直線y=x的距離即是函數f(x)=ex的圖像上的點到直線y=x的最小距離.

設切點坐標為(a,ea), 則該處切線的 斜 率f′(a)=f′(x)|x=a=ex|x=a= ea= 1, 所以a= 0, 故切點坐標為(0,1), 所以|PQ|mⅰn=

變式1已知點P在函數y=ex的圖像上運動,點Q在函數y= lnx的圖像上運動,求|PQ|的最小值.

圖1

分析注意到函數y= ex與函數y= lnx互為反函數,故它們的圖像關于直線y=x對稱,故|PQ|的最小值即是函數y=ex的圖像上的點到直線y=x最小距離的2 倍.

變式2已知點P在函數y=x2+1(x≥0)的圖像上運動,點Q在函數y=的圖像上運動,求|PQ|的最小值.

分析函數y=x2+1(x≥0)與函數互為反函數,故它們的圖像關于直線y=x對稱,所以|PQ|的最小值即是函數y=x2+1(x≥0)的圖像上的點到直線y=x最小距離的2 倍.

變式3直線y=a與函數y=x2-lnx的圖像和直線y=x-2 分別交于點P,Q,求|PQ|的最小值.

圖2

分析先畫出函數y=x2-lnx的圖像, 以及直線y=x-2,y=a,則若要|PQ|小,則P點應取直線y=a與y=x2-lnx的圖像右邊的交點, 注意到y=a和直線y=x-2 總成45°角,|PQ|是水平距離,|PQ|和P到直線y=x-2 距離之比始終為定值故求|PQ|的最小值可轉化為求函數y=x2-lnx的圖像上的點和直線y=x-2上點距離的最小值,解決方法與例1 方法完全相同.

變式4已知實數a,b,c,d滿足= 1,其中e 是自然對數的底數,求(a-c)2+(b-d)2的最小值.

分析= 1 即b=a-2ea,d= 2-c,故點P(a,b)是函數y=x-2ex圖像上一點,點Q(c,d)是函數y=2-x圖像上一點.因為(a-c)2+(b-d)2=|PQ|2,故問題實質上是求函數y=x-2ex圖像上一點與直線y=2-x上一點距離的最小值,與例1 方法完全相同.

注這題是用數學符號語言表達點在曲線上、點在直線上、以及兩點間的距離.

變式5若不等式(x-a)2+(x-lna)2＞m對任意的x ∈R,a ＞0 恒成立,求實數m的取值范圍.

分析(x-a)2+(x-lna)2的幾何意義是點(x,x)和點(a,lna)距離的平方, 點(x,x)在直線y=x上運動, 點(a,lna)在曲線y=lnx上運動,所以(x-a)2+(x-lna)2也表示直線y=x上的點和曲線y= lnx上的點的距離的平方,而(x-a)2+(x-lna)2＞m對任意的x ∈R,a ＞0恒成立,即[(x-a)2+(x-lna)2]mⅰn＞m,所以問題轉化為求y=x上的點和曲線y=lnx上的點的距離的最小值.

變式6已知函數f(x)=(x-a)2+(lnx2-2a)2,其中x ＞0,a ∈R,若存在x0,使得f(x0)≤成立,求實數a的值.

分析(x-a)2+(lnx2-2a)2的幾何意義是點(x,lnx2)和點(a,2a)距離的平方, 這題和上題的區別在于: 題目要求a的值, 說明點(a,2a)應該是個定點, 但這個定點在直線y= 2x上, 點(x,lnx2)(x ＞0)在曲線y= 2 lnx(x ＞0)上運動, 所以(x-a)2+(lnx2-2a)2表示直線y= 2x上的定點(a,2a)和曲線y=2 lnx上的點的距離的平方.

圖3

存在x0＞0,使得f(x0)≤成立,即

用例1 一樣的方法,我們可以求出直線y= 2x上的點與曲線y=2 lnx上的點的距離的平方的最小值剛好是所以

因 此[(x-a)2+(lnx2-2a)2]mⅰn=當且僅當點(x,lnx2)取如圖所示的A點, 點(a,2a)為D(D為 過切點A作直線y= 2x垂線的垂足)點時, (x-a)2+于是只要求出A點坐標,利用kAD ×2 =-1 即可求出a的值.

利用切線求最小距離問題的最本源的問題是已知一條定直線和一個定曲線,求直線和曲線上兩個動點距離的最小值.其方法是通過將直線平移,移到和曲線相切,切點到原來直線的距離即是直線上點和曲線上點的最小距離.這個問題的解決方法同學們是很容易掌握的,但是有些問題本質是用這個方法去解決,只是改變了題目條件或者所求目標的呈現形式,很多同學就不會處理.筆者認為產生這個問題的兩個重要原因,一就是對問題的本質認識不夠透徹,二是學生不善于把這些看起來陌生的問題轉化為自己熟悉的知識點.從源問題出發,多角度多層次地變式,一方面讓學生對這個問題涉及的知識點和方法有更深入的認識,另一方面也想引導學生在平時學習中要善于進行文字語言,圖形語言,數學符號語言的轉化,從而能快速的把所見到的問題與熟悉的問題相鏈接,用熟悉的方法去解決.培養學生對所學知識的遷移運用能力,提高思維品質.這樣一種教學方法若要發揮出良好的效果,需要學生平時學習過程中打好扎實的基本功,教師教學的過程中要堅持滲透轉化化歸的思想.通過不斷積累,學生對數學的理解也會逐漸清晰,從而走出困惑.