對2021年全國新高考數學Ⅰ卷第17題的研究

廣州市教育研究院(510030) 陳鎮民

一、引言

數列知識是刻畫離散現象的數學模型.數列問題以其多變的形式和靈活的解題方法倍受高考命題者的青睞,是高考命題的“熱點”.其中迭代法,累加法,待定系數法和數學歸納法是求遞推數列通項公式的常用方法.高考中數列問題已逐步轉向多元化,其命題形式多樣,解題思路靈活.下面結合2021年全國新高考數學Ⅰ卷數學第17 題數列模型特點,探索出這類問題求解的一般方法并進行適當的拓展延伸,同時談談對我們中學數學教學的啟示.

二、題目與解答賞析

題目(2021年新高考數學Ⅰ卷第17 題)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=

(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數列{bn}的通項公式;

(2)求{an}前20 項的和.

(一)第(1)問解答賞析

本試題第(1)問的求解任務有兩項: 首先是在已知條件下,對新定義的數列bn=a2n,要求先寫出b1,b2的值(即特殊項);然后再求解數列{bn}的通項公式(即一般式).求解數列{bn}的通項公式一般有兩種處理方法: 一是采用演繹推理方法;二是采用歸納—猜想—證明(數學歸納法)的方法.

解法1(演繹推理法): 由題設得b1=a2=a1+1 = 2,b2=a4=a3+1=(a2+2)+1=5.a2n+2=a2n+1+1=(a2n+2)+1=a2n+3.因為bn=a2n,所以bn+1=bn+3,即{bn}是以b1= 2 為首項, 公差為3 的等差數列.所以bn=2+3(n-1)=3n-1.

解法2(演繹推理法): 由題設得b1=a2=a1+1 = 2,b2=a4=a3+ 1 = (a2+2)+ 1 = 5.當n為偶數時,an+2=an+1+ 1 = (an+2)+ 1 =an+ 3, 所以an=

解法3(歸納—猜想—證明)由題設得b1=a2=a1+1 = 2,b2=a4=a3+1 = (a2+2)+1 = 2+3 = 5,b3=a6=a5+ 1 = (a4+2)+ 1 = 5 + 3 = 8.猜測bn=2+3(n-1)=3n-1.

下面用數學歸納法加以證明: ①當n= 1 時,b1= 2 =3×1-1, 顯然成立.②假設當n=k(k≥1,k ∈N*)時成立,即bk= 3k-1.則當n=k+1 時,bk+1=a2k+2=a2k+1+1=(a2k+2)+1=a2k+3=bk+3=3(k+1)-1成立.所以bn=3n-1.

(二)第(2)問解答賞析

本試題第(2)問是求數列{an}的前20 項的和,一般有兩種處理方法: 一是采用演繹推理的方法研究數列{an}的通項的特點然后再求和(解法1～解法3);二是采用完全歸納的方法把數列{an}的前20 項都求出來再求和(解法4).

解法1由(1)知a2n=3n-1,a2n-1=a2n-1=3n-2.所以{an}的前20 項和為

解法2由(1)知a2n=3n-1,a2n-1=a2n-1=3n-2.設{an}的前20 項和為S20,

解法3由(1)知a2n=3n-1,a2n-1=a2n-1=3n-2,則a2n-1+a2n=6n-3.設{an}的前20 項和為S20,

解法4a1=1,a3=4,a5=7,a7=10,a9=13,a11=16,a13= 19,a15= 22,a17= 25,a19= 28,a2= 2,a4=5,a6= 8,a8= 11,a10= 14,a12= 17,a14= 20,a16=23,a18=26,a20=29.設{an}的前20 項和為S20,

三、解題的新視角

對于本題所提供的數列遞推模型,我們不禁要問: 能否把數列{an}的通項公式及其前n項和公式求解出來? 若能,本題的兩個設問就可以一并解決.筆者提供一個解題的新視角,供讀者參考.

由an+1=則

所以數列{an}的通項公式為an=×(-1)n,其前n項和

從而bn=a2n== 3n -1,S20=×(1-1)=300.

說明數列{(-1)n}是首項為-1,公比為-1 的等比數列.

四、試題的根源及拓展

鑒于文理不分卷,且第17 題是解答題的起點題,命題者充分考慮到讓不同水平的考生可以獲得不同的分數,因而設計了兩問,且第(1)問先要求寫出兩個特殊項的值,然后再求通項公式,大大降低了試題的難度,讓大部分考生可以獲得一定的分數.命題者為了不落俗套,在已知條件中給出數列新的遞推模型an+1

該模型的本質就是遞推關系an+1=an+×(-1)n,這就是該模型的根與源.受新視角所提供的解法的啟發,我們可以把試題進行適當地拓展延伸.

拓展1已知數列{an}滿足a1=1,an+1=(p,q為常數,p/=0,q /=0).

求數列{an}的通項公式.

解由an+1=得an+1=an+×(-1)n, 即an+1-an=(-1)n.則

所以數列{an}的通項公式為

拓展2已知數列{an}滿足an+1=求數列{an}的通項公式.

解由an+1=得an+1=×(-1)n,即an+1-an=n+×(-1)n.

則

所以數列{an}的通項公式為an=×(-1)n-1.

拓展3已知數列{an}滿足a1=1,an+1=求數列{an}的通項公式.

解由題設得an+1= 2an+×(-1)n, 即an+1+×(-1)n],則數列{是以a1+為首項,公比為2 的等比數列,所以an=×(-1)n.

進一步地,對于遞推關系式為

an+1=(p為常數,且p/=0),或者

an+1=(p,s,t都為不等于0 的常數),同樣可以求出數列{an}的通項公式,限于篇幅,留給讀者去研究.

五、教學的啟示

從閱卷結果可以看出, 大部分考生在第(1)問求數列的通項時錯誤類型多種多樣, 導致零分率較高, 主要錯因有: 第一是審題不周, 錯誤的求出b1=a2=a1+2 = 3,從而后面的求解都出錯; 第二是概念的理解不到位, 如由b3-b2=b2-b1=3 或者由2b2=b1+b3,就下結論: 數列{bn}是等差數列;第三是沒有熟練掌握在求解數列問題(特別是求遞推數列的通項公式)時,可以適當考慮用“歸納—猜想—證明”的方法來解決問題.

針對評卷過程中發現的學生答題存在的問題,建議在教學中要注意做到以下幾點.

1.加強對數學核心概念的教學.在概念教學中,應注意以下幾點: 第一,提出概念的各種不同例子(正例)以促進概括;第二,舉出不同的但和概念有關的例子(正例)幫助辨別;第三,提出不是概念的例子(反例)以促進辨別和概括;第四,設計運用概念解題情境, 提升對數學概念本質屬性的理解,形成概念系統.

2.重視邏輯推理素養的達成.解題教學是邏輯推理素養達成的主要途徑之一,在教學中,要重視學生解題教學活動的高參與度,引導學生通過解題活動加強對基礎知識的鞏固與系統掌握,提升邏輯推理能力.更重要的是教師要多讓學生想(思維參與),不是僅告知學生怎么解,而是要引導學生通過對條件與結論的分析,探索論證的思路,選擇合適的論證方法,讓學生知道為什么要這樣解;不要以解題方法多為出發點,而是要以為什么想到這個方法為落腳點.