kagome 晶格中無序和自旋交換作用對量子霍爾電導率的影響

胡凌志,商敬龍,江紅民

（寧波大學 物理科學與技術學院,浙江 寧波 315211）

量子霍爾效應是凝聚態物理中在低溫和強磁場下一個有趣的電子輸運現象.研究人員首先在二維半導體系統中發現了整數量子霍爾效應,隨著朗道能級被逐級填滿,霍爾電導呈現為等距的階梯狀平臺σxy=2ne2/h,n= 0,±1,±2,…,被稱作常規量子霍爾效應.隨著提取和制備技術的發展,一種以碳原子緊密堆積成單層二維蜂窩狀晶格結構的石墨烯材料問世.石墨烯的導帶和價帶通常在布里淵區的6 個角出現接觸點,形成無能隙的半金屬,而這些接觸點則被稱為狄拉克點.同時在接觸點處由于能帶的線性色散關系,電子的行為由無質量的狄拉克費米子來描述[1].單層石墨烯呈現出一種區別于傳統二維半導體的量子霍爾效應σxy= 4(n+1/2)e2/h,n=0,±1,±2,…,通常被稱作非常規量子霍爾效應,其中半整數量子化是由于狄拉克點處發生貝利相變π .后來發現的在零磁場中的反常量子霍爾效應,其原因是強的自旋軌道耦合充當了有效Zeeman 場.近些年來,一類具有kagome 晶格結構的二維材料引起了人們極大的研究興趣[2-15].kagome 晶格是石墨烯蜂巢晶格結構的一個簡單變形,其能帶結構還保留有蜂巢晶格結構的特征,能帶中的兩個色散帶與石墨烯相同,存在線性色散關系的狄拉克帶.另一方面,kagome晶格是一種由對頂三角格子組成的特殊結構,并導致kagome 晶格體系除了兩個色散能帶之外,還存在一個幾乎無色散的平帶,同時,對頂三角格子的特殊結構在電子間存在相互作用時表現出強的幾何阻挫效應.因此,kagome 晶格結構材料是同時研究狄拉克能帶、平帶和幾何阻挫效應的一個絕佳體系.

在量子霍爾效應中,雜質是一個饒有興趣的科學問題.雖然直到目前仍存在爭議,在Laughlin的規范理論中,必要的雜質效應導致的朗道能級展寬是理解量子化霍爾電導的關鍵因素之一[16],而較強的無序卻會破壞霍爾電導平臺[17-18].盡管之前已有理論工作對二維電子氣和石墨烯中非磁性無序對量子霍爾效應的影響進行過研究[17-18],然而在kagome 晶格體系的量子霍爾效應中,類似的研究特別是方向隨機的磁性無序對霍爾電導的影響卻少有.不僅如此,近幾年一系列具有磁性相互作用的kagome 晶格結構的材料相繼被合成和制備出來,其中具有強烈幾何阻挫的反鐵磁相互作用的kagome 晶格體系被認為是發現量子自旋液體態的理想材料,特別是S=1/2的kagome 晶格海森堡反鐵磁模型的基態是否存在能隙的問題,引起了廣泛的爭論[2-15].因此在kagome 晶格系統中考慮近鄰電子之間的交換相互作用對量子霍爾效應的影響不僅是描述實際材料的要求,而且有助于理解和甄別具有磁性相互作用的kagome 晶格材料中有可能呈現的一些新奇量子態.

受此啟發,本文利用數值計算研究了無序和海森堡自旋交換相互作用下kagome 晶格中的量子霍爾效應.其中無序包括非磁性雜質和方向隨機的磁性雜質,相互作用包括鐵磁和反鐵磁相互作用.根據已有的研究結果,可以預見在一個強無序的環境下,量子霍爾平臺會被破壞.在磁性無序和反鐵磁相互作用下,kagome 晶格的量子霍爾效應還會出現一些有趣的變化.

1 理論和方法

在一個二維的平行四邊形kagome 晶格體系中研究雜質和交換相互作用對霍爾效應的影響.如圖1 所示,體系的大小為N=N x×Ny,其中Nx和Ny代表兩條邊中格點的個數;A、B 和C 分別代表3 種不同的晶格點;a1和a2是晶格單位矢量;τ1、τ2、τ3和τ4指從B 類格點躍遷至最近鄰格點(A 類和C 類格點)的躍遷積分;(ix,iy)代表格點的坐標.對kagome 晶格平面施加一個垂直方向的均勻磁場

圖1 kagome 晶格結構

為了研究系統中無序的影響,分別考慮非磁性雜質和方向隨機的磁性雜質,雜質的哈密頓量表示為

式中:Pis為格點i處非磁性雜質的強度;為格點i處磁性雜質的強度和方向;τσσ′為泡利矩陣.

而近鄰電子之間的交換相互作用則可以表示為:

對交換相互作用使用平均場方法,可以得到以下結果:

上述計算中考慮各向同性的情況,其中Jij﹥0表示反鐵磁相互作用,Jij﹤ 0為鐵磁相互作用.將哈密頓量對角化后,使用Bogoliubov-de Gennes 方程可得:

2 結果和討論

首先計算純凈系統中通過kagome 晶格平面不同磁通量下的量子霍爾效應.圖2 所示為M=600、800、1 200 時系統的霍爾電導率,顯然該系統的量子霍爾效應與石墨烯晶格中一致,霍爾電導呈現半整數量子化σxy=ve2/h=gs(n+1/ 2)e2/h,n=0,±1,±2,…,上式中簡并因子gs=4表示每個朗道能級包含2 個自旋分量和2 個不等價的狄拉克谷點,整數v在圖中以數字標示在對應的量子霍爾電導平臺上.與二維電子氣系統中常規的量子霍爾效應類似,霍爾電導隨著費米能EF的變化都呈現為等距的階梯狀,每當一個朗道能級被填滿時霍爾電導就增加一個量子數.然而從圖中可以發現并不存在σxy=0的平臺,這是因為kagome 晶格中的載流子是無質量的狄拉克費米子,其中霍爾電導的半整數量子化是在狄拉克點處貝利相位發生π的突變的結果.隨著磁通量的增大,系統的朗道能級隨之改變,霍爾電導圖中每個平臺的寬度也相應地變寬,從圖中也能清楚地看到,通過整個晶格平面的磁通量的改變并不影響霍爾電導的量子化特性.

圖2 霍爾電導隨費米能的變化關系

為了研究kagome 晶格系統中無序對霍爾效應的影響,在系統中隨機選取一半格點摻雜大小隨機分布在 [ -Ps,Ps]之間的非磁性雜質,于是Ps代表了無序的大小.圖3(a)是當M= 1200時,系統中含不同非磁性雜質強度的霍爾電導.圖中實線代表Ps=0即系統無雜質的霍爾電導.可以看出,Ps=0.15 時的無序強度相對較低,幾乎所有霍爾電導平臺都保持著量子化,這表明系統的量子霍爾效應在弱無序狀態下是穩定的.當Ps= 0.75時,僅有v=±2,±6,±1 0的平臺仍是量子化的.當Ps增加到1.5 時,絕大多數平臺都已經被破壞,僅有v= ±2的平臺保持完整.可以預測當雜質的強度增大到某一值時,所有的霍爾平臺都會被破壞,系統的霍爾效應將不再有量子化的性質.因此,計算結果表明,在kagome 體系中,隨著無序強度逐漸增大,霍爾電導從高朗道能級到低朗道能級逐步破壞量子化,對應朗道能級越低的平臺具有越穩定的性質,這種無序對量子霍爾效應的影響和石墨烯晶格是一致的.

然而,在包含磁性雜質情況下霍爾電導出現了一些有趣的變化.與系統中含非磁性雜質的研究方法類似,同樣在樣品中隨機選取一半格點加入雜質強度分布在 [-Pm,Pm],方向隨機分布在θ? [0,π)、φ? [0,2π)的磁性雜質,結果如圖3(b)所示.圖中虛線是Pm= 0.15的霍爾電導隨費米能的變化關系,盡管此時無序程度較弱,對原有的霍爾平臺幾乎沒有影響,但在原來相鄰的兩個平臺中間誘導出新的平臺,導致體系發生從非常規量子霍爾效應到常規量子霍爾效應的轉變.沒有雜質時,每個朗道能級En=sign(n)vf具有自旋和狄拉克谷點簡并度.當加入磁性雜質時,打破了自旋簡并,只剩下狄拉克谷點二重簡并度,相應的霍爾電導簡并系數從gs=4變為gs=2,同時使得原朗道能→ 級發生劈裂變為Enσ= sign(n)vf×,導致原來相鄰的兩個平臺中間出現新的平臺.值得注意的是,最近在反常量子霍爾效應實驗中,當局域磁矩隨機反轉時觀察到了類似的非零霍爾電導平臺向零霍爾電導平臺的轉變[19-20],期望以上計算的量子霍爾電導的平臺轉變能夠在摻有磁性雜質的kagome 晶格體系的量子霍爾效應中觀察到.當Pm逐步增大時,霍爾電導呈現與圖3(a)相似的破壞平臺的過程,同時由于自旋劈裂隨著Pm增大而相應地增大,v=0的平臺寬度也逐步增大.

圖3 不同強度非磁性和磁性無序下霍爾電導隨費米能的變化關系(M=1 200)

最后計算近鄰電子之間的磁性相互作用對量子霍爾效應的影響.圖4(a)展示了在鐵磁相互作用Jij﹤ 0下體系的霍爾電導率,從圖中可以看到,鐵磁相互作用使系統由非常規量子霍爾效應轉變為常規量子霍爾效應σxy= 2ne2/h,這與圖2 純凈系統的非常規霍爾電導形成了鮮明的對比.值得注意的是,在各向異性的kagome 晶格中也有類似的從非常規量子霍爾效應轉變為常規量子霍爾效應的現象[21].同時由于在1/3 填充時有零霍爾電導平臺的出現,可以知道在鐵磁相互作用下體系在1/3填充時存在能隙.對比鐵磁相互作用,反鐵磁相互作用則對體系的霍爾電導平臺沒有影響,結果如圖4(b)所示,可以看到量子霍爾電導仍是非常規的類型.這個結果意味著在自旋為1/2 的反鐵磁交換相互作用形成自旋液體的機制下,體系的量子霍爾效應保持不變,同時也暗示著在自旋為1/2 的反鐵磁交換相互作用下,體系和原來系統一樣具有零能隙的特征,此特征有助于從實驗上探測和研究自旋液體的激發特性和形成機制.

圖4 自旋交換耦合作用對霍爾電導的影響(J=0.6)

3 總結

本文計算了非磁性和磁性無序以及海森堡自旋交換作用對kagome 晶格量子霍爾效應的影響.結果表明在純凈的情況下,kagome 晶格呈現出和石墨烯一樣的非常規量子霍爾效應.當存在非磁性和磁性無序時,隨著無序強度逐漸增大,霍爾電導平臺的破壞從高朗道能級對應的平臺開始,逐步向低朗道能級對應的平臺進行,朗道能級越低的平臺表現出越穩定的特性.磁性雜質除了破壞霍爾電導平臺外還可以解除自旋簡并,使系統發生從非常規量子霍爾效應到常規量子霍爾效應的轉變.在近鄰電子之間的鐵磁性相互作用下,同樣能使體系轉變為常規的量子霍爾效應,并且由于在1/3 填充時有零霍爾電導平臺的出現,表明在鐵磁相互作用下體系在1/3 填充時存在能隙.然而在反鐵磁相互作用下,體系的霍爾電導仍然是原來的非常規類型.這意味著在S=1/2的反鐵磁交換相互作用形成量子自旋液體時,體系仍保持原來的非常規量子霍爾效應,同時也暗示著在S=1/2的反鐵磁交換相互作用下,體系和原來的系統一樣具有零能隙特征.