修正Jaulent-Miodek方程組的G′/G展開和精確解

陳南

(廈門工學院 計算機與人工智能學院，福建 廈門，361021)

非線性偏微分方程的求解問題一直受到廣大學者的關注。目前，已有很多方法對方程求解，例如齊次平衡法[1]、達布變換法[2]、Painlevé分析法[3]、G′/G函數展開法等。G′/G展開法是由 WANG等[4]提出的，人們對G′/G展開法[5-6]進行了深入研究，并對該方法進行了多種推廣。本文研究的修正Jaulent-Miodek方程組

(1)

來源于文獻[7]，是從1個2×2譜問題中遞推出來的孤子方程族中第1個方程。文獻[8]利用Painlevé分析的方法、文獻[9]利用Tanh函數法和擴展Tanh函數法、文獻[10]用改進的雙曲函數法對方程組(1)進行研究。用G′/G展開法對修正Jaulent-Miodek方程組進行求解，獲得了方程組的雙曲函數、三角函數、有理函數6組不同形式的精確解。

1 應用G′/G展開法

首先，對方程組(1)進行行波變換：

u(x,t)=u(ξ),v(x,t)=v(ξ)，ξ=x-ct

(2)

式中：c為待定常數，方程組(1)化為

(3)

假設方程組(3)具有G′/G多項式形式的解，即

(4)

G=G(ξ)滿足如下方程：

G″+λG′+μG=0

(5)

式(4)中：a0,a1,a2，…，am和b0,b1,b2，…，bn以及式(5)中的λ和μ均為待定常數，且am≠0，bn≠0。將(4)式代入方程組(3)中，這時，方程組(3)左邊變成一個關于G′/G的多項式，通過平衡線性最高階導數項與最高階非線性項的冪次，可得

n+2=m+n+1

m+2=max(2m+1,2n+1)

(6)

求解(6)，可得m=1,n=1。于是，可設方程組(1)的解為

(7)

則

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(8)，(9)，(10)和(11)代入方程組(3)中第1個方程，可得

(12)

b1+2a1b1=0

(13)

-4ca1+3b1λ+2a1b0+2a0b1+4a1b1λ=0

(14)

-4ca1λ+b1λ2+2b1μ+2a1λb0+4a1b1μ+2a0b1λ=0

(15)

-4ca1μ+b1λμ+2a1b0μ+2a0b1μ=0

(16)

將式(8)，(9)，(10)和式(11)代入方程組(3)中第2個方程，可得

(17)

(18)

(19)

(20)

-2cb1μ+2a1λμ-4a0a1μ+3b1b0μ=0

(21)

計算式(13)～(16)，(18)～(21)得

(22)

2 修正Jaulent-Miodek方程組的精確解

對代數方程組(22)進行計算，求得2組解：

(23)

(24)

對于第1組解，將式(23)代入式(7)，得方程組的解為

(25)

情況1：當λ2-4μ>0時，

(26)

式中：C1和C2為任意常數。將式(26)代入式(25)，得到方程組的雙曲函數解為

情況2：當λ2-4μ<0時，

(27)

將式(27)代入式(25)，得到方程組的三角函數解為

情況3：當λ2-4μ=0時，

(28)

將式(28)代入式(25)，得到方程組的有理解為

對于第2組解，將式(24)代入式(7)得方程組的解為

(29)

情況1：當λ2-4μ>0時，

(30)

式中：C1和C2為任意常數。將式(30)代入式(29)，得方程組雙曲函數解為

情況2：當λ2-4μ<0時，

(31)

將式(31)代入式(29)，得方程組三角函數解為

情況3：當λ2-4μ=0時，

(32)

將式(32)代入式(29)，得方程組有理解為

3 結論

求解非線性偏微分方程，一直是一個重要的問題。本文利用G′/G展開法對修正Jaulent-Miodek方程進行求解，得到了三角函數、雙曲函數和有理解6組不同形式的精確解。后續，可以用G′/G展開法的推廣形式來求解修正Jaulent-Miodek方程，進一步豐富該方程組的解系。