等應變率基片的有限元分析

雷冰冰， 盧文科， 孫 鑒， 蘇艷嬌

(1. 北方民族大學 計算機科學與工程學院，寧夏 銀川 750021; 2. 東華大學 信息科學與技術學院，上海 201620)

聲表面波(surface acoustic wave， SAW)傳感器是聲學理論研究、壓電材料研究成果和電子科學技術進步有機融合的產物[1]。近年來，仿真分析技術日趨成熟，有限元分析方法被廣泛應用于SAW傳感器的理論研究[2]、傳感機理的創新[3-4]和其工作性能的提升[5]等方面，SAW傳感器的仿真分析研究被廣大學者關注。

在SAW傳感器設計階段，研究人員常用有限元分析軟件諸如ANSYS和COMSOL建立器件的應力應變、脈沖響應、等效電路和多物理場耦合等分析模型，以此指導SAW傳感器的設計工作。Kaletta等[6]分析AlN/SiO2/Si結構瑞利波器件的二維有限元仿真模型，以提高器件的耦合系數與聲波波速。張祖偉[7]采用COMSOL軟件研究金剛石/AlN/SiO2復合膜的膜厚度對聲表面波傳播特性的影響。劉久玲等[8]使用有限元方法對聲表面波諧振器的耦合模參量進行分析，給出可提升SAW氣相色譜儀靈敏度的方案。趙一宇等[9]將有限元和微擾理論相結合來研究叉指電極質量負荷對SAW橫波壓力傳感器靈敏度的影響。由此可知，使用有限元方法對SAW器件特性進行仿真是有效可靠的，并有助于器件性能提升。

研究[10]發現應變率對懸臂梁結構的SAW力敏傳感器工作性能具有直接影響。懸臂梁結構常使用壓電材料基片，Lei等[10]利用有限元仿真對基片應力應變特性分析的結果表明：基片應變率在z軸方向(金屬指條平行方向)呈現不均勻分布，這會引起叉指換能器的指條在不同z軸位置的受力應變程度不一致，從而導致同一指條不同z軸坐標處的聲同步頻率出現差異。為消除這一現象，采用有限元方法和回歸分析方法設計基片的等應變率幾何結構，給出其求解模型和改進二分法求解算法，并使用有限元仿真分析法進行驗證。

1 基片應變率及其分布特性

1.1 基片應變率

圖1為懸臂梁結構壓電基片受力應變示意圖，其長、寬和高分別為L、W和H。定義點M0為原點，M0M17為x軸，M0N0為z軸，垂直向上方向為y軸正方向。將M0M17按1 mm進行等分，新得16個點，命名為點M1～M16。同理，將在N0N17上取得的點命名為N1～N16。

圖1 懸臂梁結構壓電基片受力應變圖Fig.1 Piezoelectric substrate strain diagram for cantilever beam structure

當外部載荷F施加于點P時，基片產生應變，此時基片上存在點MX將產生最大應變位移值ΔL。 ΔL與基片長度的比值往往小于0.3%，假定是沿SAW傳播方向拉伸基片，拉伸長度為ΔL，基片應變如式(1)所示。

(1)

式中：ΔL′為單位力在基片上能引起的應變位移最大值。

應變可改變基片的力學和電學特性，此時傳感器輸出信號的頻率變化量如式(2)[11]所示。

(2)

1.2 基片應變率分布特性

選定基片J1，其長、寬、高分別為17.0、 3.0、 0.5 mm，材料為42.75°Y切X傳播石英單晶。在ANSYS 13.0軟件中使用的材料單元類型為SOLID 185，約束面為固定在側壁的面，施加載荷F為0.196 N。由于金屬膜厚度不及基片厚度的0.1%，仿真時可忽略不計。對基片J1進行有限元受力應變仿真分析，結果如圖2所示。

圖2 基片J1的應力應變的仿真結果Fig.2 Stress-strain simulation result of substrate J1

應變率δ反映施加載荷時基片的形變程度，為方便計算，從仿真結果中提取變化量ΔL，定義點Mi處的基片應變率為

(3)

式中：rMi、rMi-1分別為點Mi、Mi-1處的應變位移值；xMi、xMi-1分別為點Mi、Mi-1處的x軸坐標。

取線段M7N7和M8N8之間的基片區域，繪制基片上的指條T1的應變率分布圖，如圖3所示。

圖3 指條T1上不同z坐標處的應變示意圖Fig.3 Schematic of strain at different z-coordinates on finger T1

由圖3可知，指條T1未應變時，其寬度在任一z坐標處均為SAW固有波長的1/4，虛線框是其應變后形狀。將線段M7N7和M8N8三等分，分別得到點K72、K74和K82、K84。根據式(3)，用點K82處基片的應變率表示線段K72K82所經過基片表面處的應變率，并取式(3)分母為1 mm，可得指條T1在線段K72K82上的位置應變后寬度a1為

(4)

式中：a為指條T1未應變時的寬度；rK82、rK72分別為點K82、K72處的x軸坐標。

根據圖2的仿真結果，提取式(4)所需相關點處的應變位移值，如表1所示。

表1 樣本點應變位移值Table 1 Strain vector displacement value of sample points

根據表1，將a=λ/4和F=20代入式(4)，計算得到指條T1在線段K72K82上的寬度變化量為

(5)

同理，可得指條T1在線段K74K84上的寬度變化量為

(6)

由式(5)和(6)可知，Δa1≠Δa2，這表明施加載荷后指條T1在不同z軸坐標位置上產生了大小不等的應變量，即應變位移值和方向角均有差異，如此勢必導致處在不同z軸坐標處指條的聲同步頻率變化量具有差異，考慮到指條數量眾多，效應累積，將不利于傳感器聲同步頻率的穩定。為消除這一影響，提出基片的等應變率結構。

2 等應變率基片求解

2.1 基片受力應變特性

(7)

式中：αM1、βM1、γM1分別為rM1與x、y、z軸所夾的方向角。

圖4 點M1處的應變示意圖Fig.4 Strain vector diagram at point M1

從有限元仿真輸出結果提取點M1～M17的應變位移，根據式(7)計算這些點處的應變位移方向余弦，比較后發現這17個點上的應變位移方向角存在式(8)所示關系。

(8)

有限元仿真結果顯示，點M1～M17處的應變位移值符合式(9)。

rM1

(9)

且在它們y坐標、z坐標均相同情況下，x坐標符合式(10)。

xM1

(10)

在式(8)～(10)揭示的線段M0M17上各點應變位移值、方向角和坐標值之間存在的特性關系基礎上，分析可知：產生應變時，任意直線上各點的應變位移值與其距原點距離之間的函數關系呈單調性，且各方向角均隨其離原點距離增加而單調變化。

2.2 等應變率基片求解模型

根據上述基片應變特性，如果在基片平行z軸線條上找到一種合理削弱這種單調關系的方法，使同一叉指的不同z軸坐標處應變率趨于一致，則可解決叉指在z軸方向的應變不均勻問題，具有這一特性的基片稱之為等應變率基片。這可以通過使線段M0M17和N0N17上x軸坐標相等點對處的應變率相等來實現。由于這些點對的x軸坐標都相等，由式(3)可推導得到這些點對處的應變位移值相等，即滿足式(11)。

rMi=rNi{i|i∈R， 1≤i≤17}

(11)

式(11)完全成立所建立的數學模型求解復雜，故將其轉化為

(12)

(a)

(b)

(c)

(d)

(13)

式中：k00～k0n、k10～k1n、k20～k2n、k30～k3n、k40～k4n和k50～k5n為回歸系數；f(s)表示不同s值時的應變位移值。

根據式(12)和(13)，同時考慮求解可行性，推導得到求解s值的目標函數為

(14)

2.3 等應變率基片模型的求解

式(14)需要F0(s)、F1(s)、F2(s)的取值盡量同時趨近于0，約束條件為式(13)，令終止條件e=10-4，如此該數學模型的改進二分法求解步驟如下：

(1) 設置參數s∈[b，c]，并滿足F0(b)F0(c)<0、F1(b)F1(c)<0和F2(b)F2(c)<0，令[b，c]的中點為x1=(b+c)/2，計算F0(x1)、F1(x1)和F2(x1)。

(2) 取點x2=(b+x1)/2，計算F0(x2)、F1(x2)和F2(x2)，取點x3=(x1+c)/2，計算F0(x3)、F1(x3)和F2(x3)。

(4) 若e1

(5) 若|x2-x3|

表2 樣本點應變位移值Table 2 Strain vector displacement value of sample points

根據表2數據，使用回歸分析求解n=3時的式(13)為

(15)

將式(15)代入式(14)，得目標函數

(16)

在MATLAB軟件中采用改進二分法求解目標函數為式(16)、約束條件為式(15)的數學模型，取參數s∈[0， 12]，得s=4.412 7，即點M0沿x軸負方向延伸4.412 7 mm對應圖5(a)所示形狀基片為等應變率結構基片，稱其為J2。

3 等應變率基片驗證

圖6 基片J2受力應變的仿真結果Fig.6 Stress-strain simulation result of substrate J2

表3 樣本點應變率Table 3 Strain rate of sample points

σ′8=δmax-δmin=0.25

(17)

式中：δmax是這些點處應變率最大值；δmin為最小值。

(18)

同理，基片J1的線段M8N8上7個點處應變率波動幅度為

σ8=δmax-δmin=4.09

(19)

線段M8N8上的應變率不一致的程度為

(20)

在等應變率基片J2的線段M′7N′7和M′8N′8之間區域上，對于指條T1′在線段K′72K′82、K′74K′84上的寬度變化量可根據式(5)計算得到。

(21)

對比式(21)與式(5)和(6)可知：相比普通基片J1，等應變率基片J2的指條T1′在不同z軸坐標處的受力應變位移差異顯著降低，表明等應變率可有效解決基片受力后金屬指條在不同z軸坐標處的應變不一致問題。

為進一步分析試驗效果，對基片上多個平行z軸線條的應變率波動范圍和應變率不一致程度進行對比，如表4所示。由表4可以看出，在列出的全部平行z軸線條上，等應變率基片的應變率波動幅度大幅下降。對于應變起伏程度，在列出的9條線條上，除M17N17以外的線條均顯著降低。這表明，等應變率基片成功消除了應變率在z軸的分布不一致情況，有效抑制了叉指在不同z軸坐標位置上的應變矢量位移值差異，有利于叉指換能器保持聲同步頻率變化量的一致。

表4 樣本線條的應變率不一致情況對比數據Table 4 Contrast data of strain rate inconsistency on sample lines

4 結 語

為解決基片應變率不均勻所導致的金屬指條在不同z軸坐標處受力應變顯著差異問題，提出基片的等應變率結構，給出等應變率基片的幾何結構和求解模型，并使用改進二分法求解得到長、寬、高分別為17.0、 3.0、 0.5 mm的42.75°Y切X傳播石英基片，其需在圖1所示點M0處向z軸負方向延長4.412 7 mm，所得形狀的基片為等應變率基片。使用有限元分析法對等應變率基片效果進行驗證，仿真結果表明，等應變率基片在平行z軸的線條上，應變率差異大幅降低，有效解決了應變率在z軸方向上的分布不均勻問題。