柔性三角梁約束微納測頭的變剛度特性分析

李保坤， 程新華， 韓迎鴿

(安徽理工大學a.機械工程學院；b.電氣與信息工程學院，安徽 淮南232001)

隨著微納米加工技術的不斷發展，工件制造日趨微型化和精密化，各種微電子機械系統(micro electro mechanical system， MEMS)器件相繼出現，這些微工件制造成本低廉，同時具有集成化和多功能化等優點，制造產品被廣泛應用于航空航天、精密機械、生物醫學等領域[1-3]。在MEMS器件的制造過程中，需要測量這些微工件的表面幾何參數，然而傳統精密測量儀器的測量精度僅有微米級，難以實現納米級別的分辨率，亟需研究具有優良性能的微納坐標測量機以保證工件表面質量[4-6]。測頭是測量機的核心部件[7]，其性能是否優良直接決定測量機的整體性能優劣，因此，國內外許多研究機構相繼開始研究新型微納測頭。

剛度是微納測頭的重要屬性，目前多數接觸式測頭約束支撐機構的剛度不可調。若微納測頭剛度過大，在測量時極易劃傷工件表面；若測頭剛度過小，容易造成測頭動態響應性能差、諧振頻率低和誤觸發等。因此，研究具有變剛度性能的約束支撐機構以適應測量過程和被測工件的改變，對優化測頭的測量力、穩健性、工藝性、測量精度和動態特性等具有重要意義[8-9]。

鑒于測頭約束支撐機構剛度固定的諸多不利影響，Bonello等[10]提出通過改變約束梁的有效長度改變測頭的支撐剛度。文獻[11-13]基于應力剛化原理，通過對支撐梁約束端施加軸向載荷來改變約束支撐梁的橫向剛度。Kim等[14]提出通過施加額外載荷放大載荷作用位移來調節剛度。Alblalaihid等[15]通過施加預應力的方式提出一種基于三根梁約束支撐的變剛度微納測頭，但未能給出精確的理論剛度模型。

本文利用梁軸向受載以改變約束梁支撐剛度這一基本原理，構造出一種三角梁結構型式的變剛度微納測頭。在測量過程中，通過控制壓電驅動力大小進而改變測頭約束支撐機構的整體剛度，以滿足不同的測量過程和測量對象。當測頭接觸被測工件時，要求測頭約束支撐機構具有較小的剛度，避免劃傷被測工件表面，此時壓電疊堆驅動器輸出壓電驅動力減小，約束支撐機構整體剛度減小，即將壓電疊堆器輸出力通過柔順機構傳遞至約束支撐梁末端，測頭約束支撐機構的橫向剛度隨支撐梁軸向壓力增大而減小，因此測頭約束支撐機構的整體剛度減小。當測頭趨近或遠離被測工件時，要求測頭約束支撐機構具有較大的剛度避免誤觸發，此時壓電疊堆驅動器停止輸出壓電驅動力，測頭恢復初始剛度。因此，測頭約束支撐機構可通過控制壓電驅動力大小完成變剛度過程。應用最小勢能原理建立測頭約束支撐機構的剛度模型，利用有限元分析工具驗證了理論剛度模型的正確性和該類型測頭約束支撐機構變剛度調節的可行性。

1 變剛度約束微納測頭構造

壓電驅動三角梁結構變剛度微納測頭整體構型如圖1所示，其由測球、測桿、中心體、約束支撐梁、H型柔性機構、壓電疊堆驅動器和柔性鉸鏈等部分組成。

圖1 微納測頭結構Fig.1 Structure of micro-nano probe

微納測頭變剛度原理如圖2所示，當需要減小約束機構的支撐剛度時，壓電驅動器輸出驅動力。圖2中：Ai及Bi(i=1， 2，...，6)處為柔性鉸鏈，易知鉸鏈兩端受力為一對平衡力；由偽剛體模型[16]可知，壓電驅動器在驅動過程中，可將AiBi段視為二力桿，壓電驅動力將沿AiBi連線的方向并通過H型梁作用于約束支撐梁末端，并始終沿支撐梁軸線方向，使得在3個相同壓電驅動力作用下，中心體受約束支撐梁作用力均勻。此時，在軸向力的擠壓下，約束支撐梁橫向剛度減小，進而減小整個約束支撐機構的支撐剛度。若壓電驅動器停止輸出驅動力，約束支撐梁及整體支撐機構的剛度恢復初始狀態。因此，測頭在使用過程中可通過控制壓電驅動器輸出作用力大小實現約束支撐機構的變剛度過程。

圖2 微納測頭變剛度原理Fig.2 Variable stiffness theory of micro-nano probe

測球選用紅寶石，測桿選用碳化鎢，中心體選用鈦合金，約束支撐梁選用鈹青銅，柔性鉸鏈選擇彈簧鋼作為結構材料。微納測頭材料屬性[17-18]如表1所示。

表1 微納測頭材料屬性Table 1 Material property of the micro-nano probe

測頭的測量工作過程見圖3，主要分為3個階段[19]：(1)測頭快速趨近工件；(2)測頭與工件相接觸，完成工件表面位置信號的采集；(3)測量完成，測頭與工件相互分離，測頭恢復初始位置。

(a) 測頭趨近

(b) 觸碰工作

(c) 測頭遠離

基于上述測頭的測量工作過程：當測頭快速趨近工件時，為保證測頭系統的穩定性，避免測頭因慣性力產生誤觸發，提高測頭的動態響應特性，此時無壓電驅動力，測頭約束支撐機構具有較高的剛度[20]；當測頭與工件接觸時，由于工件尺寸較小，為避免測頭對工件表面造成劃傷或者破壞，壓電驅動器輸出作用力，測頭約束支撐機構具有較低的剛度；當測頭完成測量工作離開工件表面時，為克服工件之間的范德華力[21]，此時壓電驅動器停止輸出作用力，測頭約束支撐機構需要具有較高的剛度。

2 微納測頭理論剛度模型

測頭約束支撐機構(即懸掛機構)的剛度大小計算方法主要有數值解法和理論建模法。其中，數值解法的相關計算方法也較為成熟，例如，利用有限元方法，根據支撐機構的結構參數和材料特性，可精確得到其支撐剛度。然而，數值解法難以得到支撐機構的剛度計算解析表達式，使得在實際使用過程中，由于測量過程及測量對象的改變，較難以實時預測壓電驅動力大小并對支撐機構的剛度大小進行實時控制。理論建模法則通過相關數學及物理模型構建約束支撐機構的剛度解析表達式，可對約束支撐機構的剛度值隨壓電驅動力大小改變情況進行實時預測，從而對約束支撐機構的變剛度控制提供可能。

根據上述測量原理，微納測頭的剛度主要由測頭約束支撐機構整體剛度決定，因此需要構建該類型微納測頭約束支撐機構的理論剛度模型，為實現其變剛度控制奠定理論基礎。由于約束支撐梁長度遠大于梁厚度，即為細長梁，可忽略剪切變形影響，故可基于歐拉-伯努利梁模型對其剛度進行建模[22]。假設約束支撐梁變形在線彈性變形范圍內，利用最小勢能原理進行求解。

2.1 垂直剛度建模

微納測頭約束支撐機構結構參數如圖4所示。為便于分析，建立全局固定坐標系，坐標原點與中心體中心層圓心初始位置重合，x軸正向沿中心體其中一根連接軸的軸向方向，z軸正向豎直向下，y軸方向由右手法則確定。其中：中心體幾何中心到約束梁中心線距離為wi，中心體寬度為wd；約束支撐梁長度為l，寬度為wb，厚度(z向)為tb；測桿末端至坐標系原點距離為ls。

圖4 微納測頭約束支撐機構結構參數Fig.4 Structure parameters of supporting mechanism of the micro-nano probe

圖5 單根約束支撐梁及測頭受z軸向測量力力學分析Fig.5 Force analysis of one supporting beam and the probe applied by z-directional force

選取C1-C2段約束支撐梁進行受力分析并進行剛度建模，由于結構對稱性，其他約束支撐梁應具有相同的垂直剛度(z軸向剛度)。建立如圖5所示的局部坐標系，當微納測頭受到垂直方向(z軸向)測量力Fmz作用時，每根約束支撐梁受相同的z軸向測量分力Fz，即Fmz=6Fz。約束支撐梁與柔順機構和中心體之間的連接均可分別視為對支撐梁的固定約束。

約束支撐梁的變剛度過程主要發生彎曲變形和軸向擠壓變形，因此建立約束支撐梁彎曲試函數[23]，如式(1)所示。

w(x)=a1x2+a2x3

(1)

式中：a1、a2為待定系數，其值可根據約束支撐梁邊界條件和總勢能泛函求得。

應用最小勢能原理，梁的位移邊界條件為

(2)

計算邊界條件得：

(3)

約束支撐梁的總勢能泛函為

Fzw(l)-Mw′(l)

(4)

式中：E為約束支撐梁彈性模量；M為中心體對約束支撐梁作用彎矩；P為支撐梁約束端所受軸向壓力；I為截面慣性矩，其大小如式(5)所示。

(5)

聯立式(1)～(5)得：

(6)

(7)

2.2 橫向剛度建模

微納測頭橫向受力如圖6所示，每根約束支撐梁兩端均為固定約束。當微納測頭受到橫向測量力作用時，測頭約束支撐機構主要發生彎曲和扭轉變形，設測頭彎曲角度和扭轉角度分別為θ和α。測頭約束支撐機構的橫向剛度Ky可由柔性梁彎曲變形對測頭及中心體造成的轉動剛度(簡稱彎曲剛度，記為Kb，下同)和柔性梁扭轉變形對測頭及中心體造成的轉動剛度(簡稱扭轉剛度，記為Kt，下同)相加得到，即有：

Ky=Kb+Kt

(8)

圖6 微納測頭橫向受力圖Fig.6 Lateral force diagram of the micro-nano probe

2.2.1 彎曲剛度計算

微納測頭橫向彎矩示意如圖7所示。由于結構對稱性，以發生彎曲變形的C3-C4段約束支撐梁為例，計算約束支撐梁對中心體的彎矩，如圖8所示。

圖7 微納測頭橫向彎矩示意圖Fig.7 Lateral moment diagram of the micro-nano probe

圖8 約束支撐梁在橫向測量力作用下的彎曲變形圖Fig.8 Bending deformation diagram when the supporting beam is applied by the lateral force

由于測頭受橫向測量力時，約束支撐梁均為細長梁，且梁受載荷情況與邊界條件一致，由式(7)得到單根梁受軸壓和彎矩作用下的剛度Kbe如式(9)所示。

(9)

約束支撐機構彎矩平衡示意圖如圖9所示，其中Fbi(i=1， 2， 3)為約束支撐梁對中心體的反饋力。

圖9 約束支撐機構彎矩平衡示意圖Fig.9 Moment balance diagram of the supporting mechanism

對于C1-C2段約束支撐梁，C1處撓度為

(10)

C1所受彎矩M1

(11)

對于C3-C4段約束支撐梁，C3處力臂為

(12)

C3處的撓度為

(13)

C3所受彎矩為

(14)

對于C5-C6段約束支撐梁，C5處力臂為

(15)

C5處的撓度為

(16)

C5所受彎矩為

Kbetanθ

(17)

由于約束梁所受彎矩M1、M2、M3將作用于中心體上，得到中心體力矩平衡方程如式(18)所示。

Fmyls=2M1+2M2+2M3

(18)

測頭位移與偏轉角存在如式(19)所示的三角函數關系，由于測頭受橫向載荷時偏轉角較小，故tanθ≈θ。

dy=lstanθ≈lsθ

(19)

聯立式(11)、(14)、(17)、(18)及(19)得到彎曲剛度Kb，如式(20)所示。

(20)

2.2.2 扭轉剛度計算

圖7中C3-C4段約束支撐梁受扭轉作用發生變形如圖10所示。

如圖10(a)所示，設約束支撐梁繞局部坐標系x2y2z2中x2軸的扭轉力矩為T，沿x2軸的軸向壓力為P。這里選取前兩項三角級數作為轉角函數的試函數，如式(2)所示。

(a) 扭轉變形

(b) 軸向微元變形

(c) 扭切截面變形

(21)

式中：c1、c3為待定系數。

根據最小勢能原理，約束支撐梁的轉角函數邊界條件[24]為

(22)

根據圖10(b)、(c)得到約束梁的微元位移函數為

w(x)=θ(x)y

(23)

約束支撐梁在軸向壓力和扭轉力矩作用下的總勢能泛函為

Tθ(l)

(24)

式中：G為剪切模量；J為矩形截面慣性矩。

由最小勢能原理可知，任意滿足位移邊界條件的試函數中，如果試函數范圍內沒有精確的包含真實位移函數，那么在加權殘值最小的條件下，對平衡方程和力的邊界條件求得最佳逼近試函數的一組解，使得總勢能泛函為最小值。因此，對約束支撐梁總勢能泛函取極小值，將式(21)～(23)代入式(24)，令

(25)

由式(21)～(25)得

(26)

根據式(21)和(26)得到單根約束支撐梁繞自身軸心線的扭轉剛度Ket，如式(27)所示。

(27)

測頭與支撐梁扭矩平衡示意如圖11所示。

圖11 測頭與支撐梁扭矩平衡示意圖Fig.11 Torsion balance diagram of the probe and supporting mechanism

對于C3-C4段梁Q處的相對x軸轉動的旋轉半徑為

(28)

Q處相對x軸轉動的撓度為

(29)

對于C3-C4段梁R處相對x軸轉動的旋轉半徑為

(30)

R處相對x軸轉動的撓度為

(31)

由于C3-C4段約束支撐梁受扭轉作用，該梁與中心體連接的末端Q處與R處相對x軸轉動的撓度差為

(32)

C3-C4段梁扭轉角α為

(33)

由于測頭受橫向載荷時偏轉角較小，故偏角sinα≈α， tanθ≈θ，因此式(33)變為

(34)

受扭轉和軸壓作用的C3-C4段梁的扭矩T=αKet， 即有

(35)

由于結構對稱性，根據中心體力矩平衡方程可得

Fmyls=4Tcos 30°

(36)

聯立式(19)、(35)、(36)得到扭轉剛度Kt如式(37)所示。

(37)

令Kz=Ky，得測頭剛度各向同性時所需的壓電驅動力Piso為

(38)

而

P=Piso

(39)

將式(39)代入式(7)，即可求得各向同性剛度的大小。當壓電驅動器輸出作用力如式(38)所示，測頭約束支撐機構處于剛度各向同性狀態，有利于減小測量的不確定度[25]。

3 數值舉證與仿真試驗驗證

三角梁微納測頭尺寸參數如表2所示，為分析上述剛度模型的正確性，利用有限元工具加以驗證。

表2 微納測頭結構參數Table 2 Structure parameters of micro-nano probe mm

根據表2所示的微納測頭結構參數，建立測頭約束支撐機構的仿真模型并進行有限元仿真，在支撐梁末端分別施加固定約束，對測球表面分別施加z軸向和橫向均為0.1 mN的測量力，微納測頭在z軸向和橫向的位移云圖如圖12和13所示。

圖12 當P=0 N和z軸向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.12 The displacement of the probe when P=0 N and z-directional probe force is 0.1 mN

圖13 當P=0 N和橫向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.13 The displacement of the probe when P=0 N and lateral probe force is 0.1 mN

由圖12和13可知，當微納測頭不受壓電驅動力作用時，即P=0 N時，測頭的初始垂直剛度和橫向剛度分別為8.734 8和5.172 2 mN/μm。

由于壓電驅動力對應于支撐梁約束端所受不同軸向壓力，利用式(7)、(8)和有限元工具分別獲得測頭約束支撐機構在支撐梁約束端所受不同軸向壓力情況下的垂直剛度、橫向剛度的理論值和仿真值，如圖14所示。

圖14 測頭剛度隨支撐梁約束端受軸向壓力的變化Fig.14 Probe stiffness variation versus the force applied on the restrained end of the supporting beam

由圖14可知，當壓電驅動力的范圍為0≤P≤Piso時，測頭剛度隨著支撐梁約束端所受軸向壓力的增大而減小，測頭支撐剛度與支撐梁約束端所受軸向壓力呈線性關系，支撐梁約束端所受軸向壓力越大，約束支撐剛度越小，而壓電驅動力通過柔順機構傳遞至支撐梁約束端，直接影響約束端所受軸向壓力大小，故可通過控制壓電輸出力來控制測頭的約束支撐剛度。當Piso≤P≤Pcry(臨界載荷)時，此時測頭極易在任意微小擾動下發生彎曲失穩，因此，對測頭施加的壓電驅動力應當小于Pcry，其值可通過令式(7)或(8)為0求得。

采用平均相對誤差公式計算測頭約束支撐剛度的理論值和仿真值的平均相對誤差，如式(40)所示。

(40)

式中：S為平均相對誤差；Xj為仿真值；Yj為理論值；n為取值點數。

由式(7)、(8)分別計算得到垂直剛度Kz與橫向剛度Ky，結合仿真結果，利用式(40)分別計算兩種剛度的理論值和仿真值之間的平均相對誤差分別為4.40%和5.41%。

將表2微納測頭約束支撐機構的結構參數分別代入式(7)或(8)計算得到約束支撐機構發生屈曲時所需的壓電驅動力Pcry的理論值為3.16 N，而約束支撐機構剛度各向同性時所需的理論壓電驅動力值Piso為3.05 N。因此，對約束梁施加3.05 N的壓電驅動力使得測頭約束支撐機構達到剛度各向同性，不會發生約束梁失效及屈曲的現象。

根據有限元分析工具得到測頭剛度各向同性時所需的壓電驅動力Piso的仿真值為2.98 N。因此，測頭達到剛度各向同性時所需壓電驅動力Piso的理論值與仿真值相對誤差為2.3%。在約束梁末端分別施加P=2.98 N的壓電驅動力，對測球表面分別施加z軸向和橫向均為0.1 mN的測量力，微納測頭在z軸向和橫向的位移云圖如圖15和16所示。

圖15 當P=2.98 N和z軸向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.15 The displacement of the probe when P=2.98 N and z-directional probe force is 0.1 mN

圖16 當P=2.98 N和橫向力為0.1 mN時的測頭位移Fig.16 The displacement of the probe when P=2.98 N and lateral probe force is 0.1 mN

由圖15和16可知，當施加P=2.98 N的壓電驅動力時，對比測頭約束支撐機構的初始剛度可知，測頭具有顯著的變剛度效果，且測頭約束支撐機構具有各向同性剛度，測頭的垂直剛度為0.299 9 mN/μm，測頭的橫向剛度為0.301 8 mN/μm。根據式(7)和(38)，當施加P=3.05 N的壓電驅動力時，測頭約束支撐機構的理論各向同性剛度值為0.294 9 mN/μm。由此表明，測頭理論剛度和仿真結果較為符合，構建的測頭剛度模型是正確的，為該類型的變剛度控制奠定了前期理論基礎。

4 結 論

(1) 利用梁軸向受載以改變約束梁支撐剛度這一基本原理，構造了一種新型對稱結構的三角梁變剛度約束微納測頭。

(2) 構建測頭中心體力矩平衡方程，基于最小勢能原理得到測頭約束支撐機構的理論剛度模型，基于該模型進一步得到了微納測頭具有各向同性剛度時所需的壓電驅動力大小。

(3) 給定約束支撐機構的尺寸參數，應用有限元仿真試驗驗證了理論剛度模型的正確性，得到了約束梁發生失效時的臨界屈曲載荷，對研制出該類型測頭的樣機并開展變剛度控制試驗研究奠定了堅實的理論基礎。