含參數的一元二次方程問題的常見錯解剖析

陶云英

含參數的一元二次方程是同學們在學習一元二次方程這一章節時要突破的一個重難點問題，許多同學在求解時常因各種原因錯誤頻出.對此，筆者歸納了幾種常見錯誤，并對其進行了剖析，希望同學們能夠從中汲取教訓，不犯同樣的錯誤.

錯誤之一：盲目認定方程為一元二次方程

在解答二次項系數含參數的一元二次方程問題時，不少同學受思維定勢的影響，常常把題目中的“有實數根”直接等同為“有兩個實數根”，錯誤地認為題目所給的方程一定為一元二次方程，遺漏了方程為一元一次方程的情況，導致解題出錯.

例1

錯解：

剖析：上述解題出錯的原因在于把題目中的“有實數根”理解成了“有兩個實數根”，故而認定方程為一元二次方程.事實上，當t =0時，該方程為一元一次方程，仍有實數根，所以在求解時需要分 t =0和 t ≠0兩種情況進行討論.

正解：

評注：一般地，在求解含字母系數的一元二次方程問題時，若題目中沒有明確指出該方程為一元二次方程，那么該方程可能為一元二次方程，也可能為一元一次方程，所以應分類討論二次項系數不為零和為零的兩種情形.

錯誤之二：忽略二次項系數不為零

一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 中隱含著二次項系數 a ≠ 0 這一基本條件，然而有些同學在解答含參數的一元二次方程問題時，恰恰忽略了二次項系數“ a ≠ 0 ”這一隱含條件，致使解答結果不準確.

例2

錯解：

剖析：上述錯誤是因為忽略了“一元二次方程中二次項系數不為零”這一隱含條件.此題中，因為方程有兩個實數根，所以該方程為一元二次方程，這樣就有 k2≠0， 即 k ≠0，故當 k =0時，N =2k -3=-3應排除.

正解：

評注：在破解二次項系數含參數的一元二次方程問題時，若題目中給出了方程有兩個實數根，則說明該方程為一元二次方程，即二次項系數必不為零.

錯誤之三：利用根與系數的關系解題時沒有考慮判別式非負

韋達定理說明了一元二次方程中根與系數之間的關系，常被用于解答含參數的一元二次方程問題，但很多同學在運用時往往忽視了一個重要的制約條件，這就是要先保證該一元二次方程有實數根（即△≥0），如果一元二次方程沒有實數根，則也不存在根與系數的關系.因此，我們在運用韋達定理時要牢記判別式的這一條件.

例3已知方程 y2+（2a +1）y + a2-2=0的兩實數根的平方和等于21，則 a 的值為??? .

錯解：

剖析：上述錯誤主要在于利用一元二次方程根與系數的關系時，忘記了△≥0這一前提條件.事實上，經檢驗，把 a =-4代入方程中，可以得出其判別式△<0，該方程無實數根，故 a =-4不符合題意.

正解：

評注：一元二次方程根與系數的關系成立的前提條件是方程有實數根，即必須滿足方程的根的判別式為非負數.要注意根與系數的關系和判別式是結伴而行的.

從以上幾例錯解可以看出，在解含參的一元二次方程問題時，同學們一定要認真審題，仔細分析，周密思考，充分挖掘題目中的隱含條件，切忌因思維定勢而誤入解題的“陷阱”.上述幾個錯誤解法具有典型性，希望同學們能從中吸取教訓，舉一反三，提高解題的準確性.