二維離散切換系統的穩定性

秦 雪

(重慶工程學院 通識學院，重慶 400056)

0 引言

Roesser[1]提出了著名的二維離散系統模型，用以研究線性圖像處理問題.到目前為止，已有許多學者對二維系統的穩定性進行了廣泛的研究[2～5].值得注意的是，在整個系統中，模態被激活的概率有的很大有的很小，而那些不易被激活的模態對系統動態行為的影響非常小.因此，在研究這類系統的穩定性問題時有必要引入轉移概率.

1 模型介紹

考慮如下的二維離散切換系統:

(1)

其中x(i,j)∈n是系統的狀態向量，y(i,j)∈ny是測量輸出,u(i,j)∈nu是控制輸入.γ(i,j):+→{1,2,…,m}=Μ為分段常值函數，其中m>1表示模態的個數.和Cγ(i,j)都是具有適當階數的常數矩陣.對時間序列ks,s∈+,有∞,系統的初值條件為+,且滿足等式和邊界條件

本文需要以下假設條件：

假設1 切換信號γ(i,j)只與i+j有關.當i+j=k時簡記γ(i,j)為γk.

若切換信號γk=p∈Μ,k∈[ks-1,ks),s∈+，則dp(s)∶=ks-ks-1<∞表示γk第s次切換到模態p時的駐留時間，它是隨機正變量，即E[dp(s)]=?p>0，且當p≠q時dp(s)與dq(s)相互獨立.記θpq為γk從模態p切換到模態q的轉移概率(TP)，即

θpq∶=Prob{γks+1=q|γks=p}.

假設2 轉移概率矩陣Θ∶=(θpq)m×m不可約.根據文獻[6]，此時Θ存在唯一的平穩分布π=(π1,π2,…,πm),且它滿足

設計依模態的輸出反饋控制器如下：

u(i,j)=Kγ(i,j)Cγ(i,j)x(i,j),

(2)

其中Kγ(i,j)∈nu是控制增益.

將(2)代入系統(1),可得以下閉環系統:

(3)

則稱系統(3)是漸近穩定的，其中ξT(k)=(xT(i,j+1)，xT(i+1,j)).

本文的目的是證明閉環系統(3)的漸近穩定性.

2 主要結果

(4)

(5)

(6)

則系統(3)是漸近穩定的.

證明設i+j=k∈[ks-1,ks)?+,γ(i,j)=p∈Μ.構造如下的Lyapunov泛函:

(7)

由式(7)可得

(8)

于是有

故有

當i+j=k∈[ks-1,ks)時，

(9)

對?i+j=k∈+,k∈[ks-1,ks),根據式(5)和式(9)可得

由條件(6)可得以下不等式：

3 數值模擬

令Μ={1，2，3}，考慮系統參數為

由圖1和圖2可見系統(3)是漸近穩定的.

圖1 閉環系統中狀態x1(i,j)

圖2 閉環系統中狀態x2(i,j)

4 小結

本文通過線性矩陣不等式給出了一個保證閉環系統(3)漸近穩定的充分條件，然后通過數值模擬驗證了該結果.