關于丟番圖方程(44n)x+(117n)y=(125n)z*

冉銀霞

(隴南師范高等?？茖W校 數信學院，甘肅 成縣 742500)

設a,b,c為兩兩互素的正整數且滿足a2+b2=c2.對于任意的正整數n，丟番圖方程

(na)x+(nb)y=(nc)z

(1)

本文主要運用奇偶分析法、簡單同余法以及二次剩余理論等方法討論(a,b,c)=(44,117,125)時，方程(1)的解的情況，得到了如下結論：

定理1 對任意的正整數n，丟番圖方程

(44n)x+(117n)y=(125n)z

(2)

僅有正整數解(x,y,z)=(2,2,2).

1 若干引理

引理1[3]設a,b,c滿足a2+b2=c2.若z≥max{x,y}，則丟番圖方程ax+by=cz僅有整數解(x,y,z)=(2,2,2).

引理2[21]如果方程(1)有解(x,y,z)≠(2,2,2)，則x,y,z各不相同.

引理3[22]設a,b,c是兩兩互素的正整數且滿足a2+b2=c2.若丟番圖方程ax+by=cz僅有整數解，則方程(1)沒有滿足z

引理4[23，24]設a,b,c是兩兩互素的正整數且滿足a2+b2=c2，且2|b.用d2b表示b中2的最高冪指數.若a,c≡±1(modb/2或d2b)，則丟番圖方程ax+by=cz僅有正整數解(x,y,z)=(2,2,2).

引理5 丟番圖方程

44x+117y=125z

(3)

僅有正整數解(x,y,z)=(2,2,2).

證明因為44=22×11,117≡125≡1(mod 2)，所以由引理4知，44x+117y=125z僅有正整數解(x,y,z)=(2,2,2).

引理6 不定方程125z1-32y1=22x-1沒有整數解.

證明對方程兩邊模 5得：-(-1)y1≡22x-1(mod 5),然而由2α模5是周期為4的序列，其余數為1，2，-1，-2知：22x-1≡±1(mod 5)是不可能的.因此，不定方程125z1-32y1=22x-1沒有整數解.

引理7 不定方程125z1+32y1=2·11x沒有整數解.

證明2y1模11是周期為10的序列，其余數為1，2，4，8，5，-1，-2，-4，-8，-5.所以，若2|y1,則2y1≡1,4,5,-2,-8(mod 11)；同樣，22z1≡1,4,5,-2,-8(mod 11).對方程兩邊模11 得：22z1+(-2)y1≡0(mod 11),但當2|y1時，22z1+(-2)y1≡22z1+2y1≡0(mod 11)是不可能的；當2?y1時，22z1+(-2)y1≡22z1-2y1≡0(mod 11)顯然也是不可能的.

因此，不定方程125z1+32y1=2·11x沒有整數解.

2 定理1的證明

根據引理1,2,3和引理4，只需研究(2)在n≥2且min{x,y}

情形1x>z>y.此時方程(2)可化為

117y=nz-y(125z-44xnx-z).

(4)

由于z>y，故gcd(n,117)≠1.設n=32u13vn1,u+v≥1,gcd(n1,117)=1，則此時式(4)成為

32y13y=32u(z-y)13v(z-y)n1z-y(125z-44x32u(x-z)13v(x-z)n1x-z)，

(5)

由此可見n1=1.

情形1.1 若n=32u(u≥1)，則2y=2u(z-y).于是(5)可化為

44x32u(x-z)=125z-13y.

(6)

對式(6)取模11，有22z-2y≡0(mod 11)，得22z-y≡1(mod 11),于是有10|2z-y，從而y≡2z≡0(mod 2).對式(6)取模3，有0≡(-1)z-1(mod 3)，得z≡0(mod 2).故y與z均為偶數.

令y=2y1,z=2z1，則由式(6)得

22x11x32u(x-z)=(125z1-13y1)(125z1+13y1).

(7)

注意到gcd(125z1-13y1,125z1+13y1)=2，因此由4|125z1-13y1知，

22x-1|125z1-13y1.

若11|125z1-13y1，則22x-111x|125z1-13y1，但 22x-111x>22z1112z1=484z1>125z1-13y1不可能.所以此時方程(7)沒有整數解.

若11|125z1+13y1,3|125z1+13y1,則

125z1-13y1=22x-1.

(8)

對式(8)取模3，得(-1)z1-1≡(-1)2x-1≡-1(mod 3),即(-1)z1≡0(mod 3),但這是不可能的.

若11|125z1+13y1,3|125z1-13y1,則

125z1+13y1=2·11x,125z1-13y1=22x-1·32u(x-z).

(9)

對(9)第一式取模11，得4z1+2y1≡0(mod 11),即2y1≡-4z1(mod 11),因此有

22z1-x≡-1(mod 11),2z1-x≡5(mod 10).

對(9)第二式取模3，得(-1)z1≡1(mod 3),故有2|z1.

對(9)第一式取模3，得(-1)x+1≡(-1)z1+1≡2≡-1(mod 3),于是x≡0(mod 2).但由2z1-x≡5(mod 10)知x為奇數，矛盾.因此式(9)不成立.

情形1.2 若n=13v(v≥1)，則y=v(z-y).于是(5)可化為

44x13v(x-z)=125z-32y.

(10)

對式(10)取模8，有5z-1≡0(mod 8)，得z≡0(mod 2)；對式(10)取模11，有4z≡(-2)y(mod 11).設z=2z1,則有42z1≡5z1≡(-2)y(mod 11).

2y模11是周期為10的序列，其余數為1，2，4，8，5，-1，-2，-4，-8，-5；5y模11是周期為5的序列，其余數為1，5，3，4，-2.

若2?y,則5z1≡(-2)y≡-2y≡-1,-4,-5,2,8(mod 11)，對比余數發現，這是不可能的.因此2|y.

令y=2y1,z=2z1，則式(10)變成了

22x·11x·13v(x-z)=(125z1-32y1)(125z1+32y1).

(11)

注意到gcd(125z1-32y1,125z1+32y1)=2，因此由4|125z1-32y1知，22x-1|125z1-32y1.若11|125z1-32y1，則22x-111x|125z1-32y1，但22x-111x>22z1112z1=484z1>125z1-32y1，所以此時方程(11)沒有整數解.

若11|125z1+32y1,13|125z1+32y1，則

22x-1=125z1-32y1.

(12)

若11|125z1+32y1,13|125z1-32y1，則

125z1+32y1=2·11x.

(13)

根據引理6和引理7知,方程(12),(13)均沒有解.

因此，方程(10)沒有整數解.

情形1.3 若n=32u13v(u≥1，v≥1)，則y=u(z-y)=v(z-y).于是(5)可化為

11y13y=11u(z-y)13v(z-y)(145z-24x11u(x-z)13v(x-z)),

(14)

從而y=u(z-y)=v(z-y)，于是(14)可化為

44x32u(x-z)13v(x-z)=125z-1.

(15)

對式(15)模3，有(-1)z-1≡0(mod 3)，得z≡0(mod 2).令z=2z1，則(15)變為

(125z1+1)(125z1-1)=22x·11x·32u(x-z)·13v(x-z).

(16)

情形2y>z>x.此時方程(2)可化為

44x=nz-x(125z-117yny-z).

(17)

設n=2r11sn1,r+s≥0,gcd(n1,22)=1，則此時式(17)成為

22x11x=2r(z-x)11s(z-x)n1z-x(125z-117y2r(y-z)11s(y-z)n1y-z).

(18)

由此可見n1=1，且有

125z-117y2r(y-z)11s(y-z)=22x-r(z-x)11x-s(z-x).

(19)

情形2.1 若r=s=0,則由式(19)得

44x+117y=125z.

(20)

由引理5知(20)僅有解(x,y,z)=(2,2,2)，與y>z>x矛盾.

情形2.2 若r=0,s>0,則由式(19)得x=s(z-x),且有

125z-22x=32y11s(y-z)13y.

(21)

對(21)模3得(-1)z-1≡0(mod 3)，從而2|z.

令z=2z1，則式(21)變為

(125z1-2x)(125z1+2x)=32y11s(y-z)13y.

(22)

注意到gcd(125z1-2x,125z1+2x)=1，則有13y|125z1-2x，或13y|125z1+2x，但13y>13z=132z1=169z1>125z1+2x>125z1-2x，不可能.

所以式(22)不成立.

情形2.3 若r>0,s=0,則由式(19)得2x=r(z-x),且有

125z-11x=2r(y-z)32y13y.

(23)

對(23)模3得(-1)z≡(-1)x(mod 3)，故z≡x(mod 2).

對(23)模13得23z≡(-2)x(mod 13).

若x≡0(mod 2)，則23z≡2x(mod 13)，即有23z-x≡1(mod 13)，故12|3z-x，從而z≡0(mod 2).令x=2x1,z=2z1，則式(23)變為

(125z1-11x1)(125z1+11x1)=2r(y-z)32y13y.

(24)

注意到gcd(125z1-11x1,125z1+11x1)=2，因此有13y|125z1-11x1，或13y|125z1+11x1，但13y>13z=132z1=169z1>125z1+11x1>125z1-11x1，不可能.

所以式(24)不成立.

情形2.4 若r>0,s>0,則由式(15)得2x=r(z-x),x=s(z-x),且有

125z-1=2r(z-y)32y11s(y-z)13y.

(25)

對(25)模3得(-1)z≡1(mod 3)，于是z≡0(mod 2).因1252-1≡0(mod 7)，所以125z-1≡0(mod 7)，但2r(z-y)32y11s(y-z)13y?0(mod 7).因此式(25)不成立.

綜上，對任意的正整數n，丟番圖方程(44n)x+(117n)y=(125n)z僅有正整數解(x,y,z)=(2,2,2).