基于次分數Black-Scholes模型的歐式期權定價*

靳晨萱，霍海峰，溫 鮮，徐 東

(1.廣西科技大學 理學院，廣西 柳州 541004;2.中國銀行股份有限公司 侯馬支行，山西 侯馬 043000)

0 引言

期權作為常見的金融衍生產品之一，在交易過程中可以給投資者帶來豐厚的利潤，但也存在著潛在的經濟危機.因此，選擇合理的數學模型預測期權價格對于投資者的風險控制至關重要.1973年Black和Scholes[1]建立Black-Scholes(B-S)模型以來，期權定價問題得到了廣泛的研究，也為廣大投資者進行風險控制提供了一些理論決策依據.然而大量實證研究[2，3，4]表明，股票價格變動具有長程相關性等特點，這與經典B-S模型中股票價格服從幾何布朗運動的假設不相符.為了更貼近交易市場中股票價格的波動趨勢，許多學者改進了經典B-S模型，建立了不少新模型，如基于分數布朗運動[5]、雙分數布朗運動[6]、混合分數布朗運動[7]等驅動的定價模型.

近年來，Bojdecki等[8]提出的具有自相關性、長記憶性等特點的次分數布朗運動得到了許多學者的廣泛關注.次分數布朗運動作為布朗運動的進一步擴展，不僅能夠刻畫資產價格變動的長程相關性質，而且其增量是非平穩的.Tudor[9]、Wang Zhi[10]、Yan等[11]分別圍繞次分數布朗運動的長記憶性、隨機積分和It公式開展研究，并基于次分數布朗運動建立更貼合金融市場的期權定價模型.隨后，許多學者在此模型下開展期權定價研究，例如，兩值期權[12]、亞式期權[13]、廣義交換期權[14]等研究.但是這些期權所采用的主要定價技術是偏微分方程方法，具體來說，葉方琴[12]等利用變量代換和偏微分方程研究了兩值期權定價問題；張亞芳[15]、肖煒麟等[16]、程志勇等[17]應用偏微分方程方法建立歐式期權價格的顯示解.針對歐式期權定價問題，不同于文獻[17]，本文基于次分數Black-Scholes模型，從理論推導采用概率方法和數值計算采用二叉樹法來對歐式期權進行定價，使得期權定價的計算更加簡捷有效.

本文針對標的資產滿足次分數Black-Scholes模型，研究無紅利支付的歐式期權定價問題，首先，以次分數布朗運動為基礎建立股票價格滿足的次分數Black-Scholes 隨機微分方程.其次，利用次分數伊藤公式求解得到股票價格變化滿足的關系式，進而利用概率方法得到歐式看漲期權價格的顯示解.最后，以國電JTB1權證為例，估計模型參數，計算期權理論價格，并將計算結果與經典B-S模型、二叉樹模型以及實際價格進行比較，進一步說明次分數B-S模型和二叉樹模型定價結果的合理性和有效性.

1 次分數 Black-Scholes 模型

1.1 預備知識

定義1 次分數布朗運動是Hurst指數為H(H∈(0,1))的連續高斯過程{ξH(t),t∈R}=0，其期望值E[ξH(t)]等于零，其協方差為

當H=1/2時，次分數布朗運動為標準布朗運動.

定義2 設變量X(t)={X(t),t≥0}服從以下伊藤過程：

(1)

1.2 次分數 Black-Scholes 模型

考慮在一個無套利機會的完備市場中,標的資產服從次分數布朗運動，則在風險中性概率測度Q下股票價格S滿足隨機微分方程

(2)

令a=μS,b=σS，則由式(1)可得t時刻股票價格

(3)

其中r為無風險利率，σ為波動率，St0為初始時刻t0的股票價格.

2 主要結果

下面以歐式看漲期權為例，利用概率方法推導得出其價格顯示解.

定理1 當股票價格滿足次分數Black-Scholes模型(2)時,無紅利支付的歐式看漲期權在t∈[0,T]時刻的價格為

C=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2),

(4)

其中K為行權價格，T為到期日,N(·)為標準正態分布函數，

證明由歐式看漲期權收益函數為(ST-K)+=max{ST-K,0}和概率法可知,在t∈[0,T]時歐式看漲期權價格為

C=e-r(T-t)EQ[(ST-K)+]=e-r(T-t)EQ[STI{ST≥K}]-e-r(T-t)EQ[KI{ST≥K}]=E1-E2.

(1)由公式(3)可得

其中，

(2)類似地，由公式(3)可得

E2=e-r(T-t)EQ[KI{ST≥K}]=Ke-r(T-t)N(d2),

定理2 當股票價格滿足次分數Black-Scholes模型(2)時,無紅利支付的歐式看跌期權的到期執行價格為

P=Ke-r(T-t)N(-d2)-StN(-d1),

其中d1,d2同定理1.

證明類似于定理1可證.

3 數值分析

下面以2008年5月22日至2010年5月14日國電JTB1權證數據為例進行實證分析(表1數據來源于國泰安數據庫).

表1 國電JTB1權證部分數據

3.1 次分數B-S模型參數估計

當股票價格滿足次分數 Black-Scholes 模型(2)時，為了驗證公式解(4)的可行性和有效性，首先結合實證數據進行參數估計，參考文獻[16]建立σ、H的如下估計：

(5)

(6)

其中h為觀測時間間隔，Y=(Yh,Y2h,…,YNh)'.

由圖1可看出，對比經典B-S模型，次分數B-S模型的期權價格模擬值更接近于實際價格.由表2統計結果可知，對比經典B-S模型，次分數B-S模型的期權價格均值、最小值與實際期權價格較為接近，且其標準差比實際價格更小，說明次分數布朗運動環境下的歐式期權定價具有很好的參考意義.

圖1 B-S模型計算結果與真實價格走勢比較圖

表2 股票價格描述性統計

3.2 二叉樹模型計算模擬

er(2-22H-1)t2H=pu+(1-p)d,σ2(2-22H-1)t2H=pu2+(1-p)d2-[pu+(1-p)d]2,

利用u、d、p三個參數值可以模擬出單步二叉樹的期權價格，并與次分數B-S模型的期權價格和實際價格進行比較，如圖2.

由圖2知，二叉樹模型的模擬價格與實際價格波動大致相符，次分數B-S模型計算的期權價格比二叉樹模型的期權價格高，且其計算結果更加接近實際價格.

圖2 二叉樹模型計算價格與實際價格走勢比較圖

3.3 誤差分析

令Pi和Qi分別為模型的計算值和實際值，使用相對誤差來精確分析不同定價模型的誤差.

Rel_error=|(Qi-Pi)/Qi|.

進一步，計算當T=1/2、T=1/4、T=3/4時不同模型期權價格以及相對誤差，如表3所示.

表3 不同模型的誤差分析表

表3分別比較不同有效期內，經典B-S模型、次分數B-S模型、二叉樹模型與實際價格的平均相對誤差.誤差分析表明:次分數B-S模型的計算結果更加接近實際價格，其次為二叉樹法模型，最后為經典B-S模型.這表明基于次分數B-S模型描繪期權價格變化趨勢更加貼近真實的金融市場情況，更具實際價值.

4 結論

選擇合理的期權定價模型預測期權價格是決策者進行期權交易時規避風險的重要手段.為解決經典B-S模型與實際金融市場不相符的嚴格假設問題，本文采用具有長程相關性的次分數布朗運動來描述股票價格變動，討論次分數Black-Scholes模型下歐式期權定價問題，并結合次分數伊藤公式以及概率方法計算歐式看漲期權價格的顯示解.最后，以國電JTB1權證數據為例，計算理論模型的期權價格，并分別與經典B-S模型、二叉樹模型與實際價格進行比較，驗證模型的有效性和可行性，結果表明：基于次分數Black-Scholes模型能更準確反映股票價格變動情況，有助于期權持有者在交易市場中更加有效地進行風險控制.