冗余混聯式鉆鉚機床姿態調整軌跡優化

潘國威 陳文亮

南京航空航天大學機電學院，南京，210016

0 引言

相比傳統手工鉆鉚，自動化鉆鉚裝備集制孔、锪窩、鉚接和檢測等功能于一體，易于保證飛機裝配鉆鉚精度的穩定性，越來越多地被用于飛機制造過程中。常見的自動化鉆鉚裝備有基于工業機器人的鉆鉚系統和專用自動鉆鉚機床兩種類型。相比基于工業機器人的鉆鉚系統，專用自動鉆鉚機床具有剛度高、精度高和工作空間大等特點[1]。專用自動鉆鉚機床通常包含串聯形式的上下加工末端執行器和并聯形式的調姿托架[2]，在飛機壁板鉆鉚過程中，通過并聯托架實現壁板姿態調整，而串聯結構的上下末端可實現較大范圍的壁板鉆鉚[3]。專用自動鉆鉚機床可等效為一種由并聯機構的動平臺上連接串聯機構組成且含有冗余自由度的混聯機構。冗余自由度一方面提高了裝備鉆鉚任務的適應性，另一方面冗余自由度引起的多種可行鉆鉚姿態增加了軌跡規劃的復雜程度。因此，如何充分利用冗余混聯特性優化姿態調整軌跡，成為提高自動鉆鉚機床加工效率、保障飛機壁板鉆鉚質量的關鍵。

運動學模型是實現自動鉆鉚機床姿態軌跡規劃和控制的基礎。近年來，以李群和李代數為基礎的旋量理論在機構運動學建模領域得到了廣泛的應用。旋量理論通過研究空間直線的運動及其引起的末端位姿變化的幾何代數描述[4]獲得機構運動的描述，它在全局坐標系下描述剛體的運動，無需在每個軸上建立局部坐標系[5]，有利于建立統一的機構運動學模型，同時避免了局部坐標系描述帶來的奇異性問題[6]。SUN等[7]針對用于飛機裝配壁板調姿的混聯機構運動學進行研究，通過旋量方法獲得了運動學逆解。陽涵疆等[8]提出了一種基于旋量理論構建混聯采摘機器人運動學方程的方法，獲得末端執行器的位置正解。由以上文獻可知，旋量方法可以有效地建立并求解混聯機構的運動學模型，但是涉及含冗余自由度混聯機構的運動學建模還不多。

自動鉆鉚機床的冗余混聯特性使其在復雜壁板鉆鉚裝配時存在多種滿足鉆鉚任務姿態調整的構型[9]。關于如何優選多種加工可行姿態構型，國內外學者進行了大量的研究。張鵬翔等[10]利用六軸聯動數控機床冗余聯動特點優化了加工過程軌跡誤差，提高了工件加工質量。ZHU等[11]構建了應用于飛機對接環鉚裝備的運動學模型，利用測地優化方式獲得了鉆鉚姿態調整策略。曲巍崴等[12]應用冗余機器人的自運動特性，以剛度最優為目標建立了飛機鉆鉚加工姿態調整模型，改善了鉆鉚加工性能。上述文獻主要通過將工件固定，即固定鉆鉚末端執行器的姿態，通過調整冗余關節的運動來實現不同的位姿調整。鉆鉚過程中將壁板零件定位在并聯托架上，通過控制并聯托架實現壁板零件上待鉆鉚孔位的姿態調整。針對工件在加工過程中姿態也可調整的復雜情況，徐朋等[13]將冗余鋪絲機械手的位形空間看作光滑流形，獲得了最優化位置和姿態反解的解耦策略。GAO等[14]采用動態規劃方法對含有冗余自由度鋪絲機的鋪絲軌跡進行優化求解，提高了鋪絲效率。

自動鉆鉚機床姿態調姿軌跡優化是鉆鉚機床運動學逆解的實際應用，對鉆鉚效率、精度及能量消耗具有重要影響。本文針對鉆鉚任務，基于旋量理論獲得了解析運動學模型；闡述了鉆鉚機床加工任務多解原理，并基于此構建了調姿軌跡優化模型，利用動態規劃方法對該模型進行求解；最后通過實驗驗證所提方法的有效性。

1 混聯冗余自動鉆鉚機床

1.1 系統結構

本文研究的混聯冗余自動鉆鉚機床由龍門式串聯結構的上下末端執行器和并聯形式的調姿托架組成，其中，上下末端串聯分支的運動副分別為PPPR(P為移動副，R為轉動副)和PPR結構形式，調姿托架機構為PS-PPS-2PPPS(S為球副)的非對稱的少自由度并聯機構。龍門定位系統可帶動上下末端執行器在空間中運動，保證末端執行器鉆鉚的精確定位，調姿托架用于實現壁板姿態的精確調整，如圖1所示。

圖1 混聯冗余自動鉆鉚機床Fig.1 The redundant and hybrid ADRM

1.2 冗余特性分析

待鉆鉚壁板的幾何特性及鉆鉚工藝需要混聯結構形式的自動鉆鉚機床實現5個自由度(x，y，z，α，β)的姿態調整能力。根據自動鉆鉚機構的結構形式，上末端的自由度M1=4，即(X1，Y1，Z1，A1)；下末端的自由度M2=3，即(X2，Y2，A2)；并聯調姿托架具有繞A3軸、B3軸轉動和沿Z3向移動3個自由度，即(A3，B3，Z3)，如圖2所示。由于完成鉆鉚任務時，鉆鉚軌跡規劃的公共約束為待鉆鉚點位姿，故上下末端和托架之間共同存在的A軸調整即為自動鉆鉚機床的冗余自由度，該冗余自由度增加了運動學求解的難度，同時也為姿態調整軌跡優化提供了可能。因此，針對給定的鉆鉚任務，如何選擇合理構型成為鉆鉚機床姿態調整軌跡規劃的重點和難點，也是決定鉆鉚效率和質量的關鍵。

圖2 自動鉆鉚機床自由度結構關系Fig.2 DOF relationship of the ADRM

1.3 鉆鉚機床運動學模型

在鉆鉚過程中，為了滿足鉆鉚點的法向姿態在上下末端的A軸轉動平面內，首先需要通過調整并聯托架B軸將待鉆鉚孔位法矢旋轉至A軸轉動平面內，然后通過同步調整并聯托架各驅動軸，實現托架平臺在A軸和Z向的自由運動。因此，為了便于運用旋量方法統一構建自動鉆鉚機運動學模型，在建立運動學模型時將并聯托架等效為僅有A軸和Z向兩個運動自由度的串聯機構。建立圖3所示的坐標系，ObXbYbZb為基坐標系，簡記為{Ob}；OwXwYwZw為建立在調姿托架上的工件坐標系，簡記為{Ow}；Ot1Xt1Yt1Zt1和Ot2Xt2Yt2Zt2分別為建立在上下末端的坐標系，分別簡記為{Ot1}和{Ot2}。從基坐標系到上下末端和托架分別形成上末端運動鏈、下末端運動鏈和工件鏈，分別建立上末端-下末端鏈和下末端-工件鏈。根據旋量理論[15]，基坐標到上下末端和工件坐標系間的位姿變換為

(1)

(2)

(3)

圖3 自動鉆鉚機床運動學結構Fig.3 Kinematic chains of the ADRM

1.4 鉆鉚機床逆運動學求解策略

運動學逆解是運動控制和軌跡規劃的基礎。根據式(1)～式(3)所示的自動鉆鉚機床運動學關系可以推導出運動學逆解，但冗余自由度的存在增加了解析求解的難度。為了降低求解難度，首先通過建立式(2)和式(3)所示的下末端-工件鏈模型，求解下末端和調姿托架的運動學逆解。在此基礎上，通過上下末端的幾何協調關系，獲得上末端的運動學逆解[16]，獲得的反解為

(4)

式中，nx、ny、nz為目標位置的法向分量；θA3、θA2分別為托架和下末端的A軸旋轉量；l12為托架z1和z2之間的距離；下末端轉軸上點PA2坐標記為(xA2，yA2，zA2)；θA1為上末端的A軸旋轉量；lT1和lT2為上下末端端點到對應轉動軸間的偏距；上末端轉軸上點PA1坐標記為(xA1，yA1，zA1)。

綜上，利用旋量方法建立的自動鉆鉚機床運動學模型僅需知道鉆鉚機床各軸在{Ob}中的基本幾何信息和各軸的運動信息，便可通過運動學模型直接獲得末端執行器相對于壁板零件的鉆鉚姿態，無需對具體的自動鉆鉚機結構建立局部坐標系及其對應的矩陣變化關系，簡化了建模過程。

2 鉆鉚任務描述

從飛機鉆鉚離線編程軟件中可以獲得各鉆鉚點的位置和法矢信息，即pi=(xi，yi，zi，ai，bi，ci)T，在每個鉆鉚點建立局部坐標系WiXiYiZi，其中Zi為鉆鉚點法矢方向，定義Xi方向為當前鉆鉚點和下一個鉆鉚點的連線方向，即Xi=pi+1-pi，Yi方向由右手定律確定。根據每個鉆鉚點的坐標定義方法，Twi為每個鉆鉚點到{Ow}的齊次變換矩陣，鉆鉚任務可寫成一系列齊次變換：

Tw1→Tw2→…→Twn

(5)

根據式(5)給定的鉆鉚任務，冗余自由度的存在使得完成每個鉆鉚點都存在無窮多個可行姿態，如圖4所示。

圖4 鉆鉚構型多解示意圖Fig.4 Infinite variety of configurations for each fastening point

3 鉆鉚姿態調整軌跡動態規劃求解

為了最大化應用自動鉆鉚機的冗余特性，鉆鉚姿態軌跡規劃的過程如下：①建立鉆鉚機床和待鉆鉚零件三維模型，并對待鉆鉚孔位加工信息進行提取和分類；②考慮鉆鉚機床運行平穩性、運動范圍和碰撞等約束條件，在笛卡兒空間中進行鉆鉚軌跡規劃；③通過運動學映射關系規劃關節空間運動；④通過后置處理完成鉆鉚程序的輸出，進行鉆鉚作業[17]，如圖5所示。

圖5 鉆鉚姿態軌跡規劃過程Fig.5 The trajectory planning utilizing the redundancy

3.1 笛卡兒空間姿態調整動態規劃

為了便于在整個鉆鉚過程中發揮各軸特性，選擇上下末端和托架的協作工作空間中心安裝定位壁板工件，并選定鉆鉚開始點和結束點。根據冗余特性，將每個鉆鉚點的可行連續解離散化，每個中間點都有多種可行解，將鉆鉚點A軸轉動范圍按步長δh離散成m組加工姿態，根據離散化結果，將姿態調整軌跡表示為多層全連接結構形式，計算最短姿態調整路徑，如圖6所示，則鉆鉚任務即式(5)的姿態調整最優鉆鉚點序列為

Wk1，1→Wk2，2→…→Wkn，n

(6)

圖6 可行解空間離散化和全連接層模型Fig.6 Discretized nodes and the multi-layer connected structure

其中，Wki，i為第Wi個待鉆鉚孔位的離散空間中的ki位置。為了充分利用自動鉆鉚機床冗余特性來調整加工姿態，以鉆鉚過程中各運動軸的行程最短即能量消耗最少構建姿態調整優化目標函數：

(7)

圖7 調姿過程碰撞檢測模型Fig.7 Collision detection model in the posture adjustment

根據給定的鉆鉚任務，式(7)的姿態調整能量消耗最小問題可以轉化為搜索完成鉆鉚點間運動各軸的最短路徑問題。最短路徑問題可以通過常規的A*和Dijkstra等算法求解，但是該類方法在求解壁板零件上有大量待鉆鉚孔位時計算效率較低。另外，增加鉆鉚點時需要對全局進行重新優化計算，對鉆鉚任務的柔性適應能力不足。動態規劃算法[14]通過將待求解的問題分解歸納為更小的、相似的子問題，且原問題的最優解中包含了子問題的最優解，最終通過求解子問題產生一個全局最優解[18]。鉆鉚過程的順序性使得式(7)可以采用動態規劃算法對軌跡姿態進行優化求解。定義tki，i為當前鉆鉚點Wki，i與起始鉆鉚點Wk，1間的最短姿態調整時間，則下一個鉆鉚點Wki+1，i+1與起始鉆鉚點間的最短姿態調整時間為

tk，i+1=min(W(k，i)+t(W(ki，i)，W(ki+1，i+1)))

(8)

式(8)稱為鉆鉚姿態調整動態規劃狀態轉移方程。采用動態規劃中自頂向下的遞歸算法，通過結合式(6)～式(8)求解式(5)，獲得笛卡兒空間完成鉆鉚任務姿態調整的能量消耗最小軌跡。

3.2 關節空間軌跡光順

由于鉆鉚任務的特殊性，各鉆鉚點之間的運動可以看作點到點的軌跡調整運動。通過獲得的笛卡兒空間最優軌跡確定各鉆鉚點在全局坐標系下的坐標，以這些鉆鉚點位姿為邊界條件，基于5次多項式對自動鉆鉚機進行關節空間軌跡光順[19]：

(9)

式中，tb、tf分別為初始時間和終止時間；qb、qf分別為初始和終止位姿時自動鉆鉚機各主動關節所對應的位置。

4 實驗驗證

在冗余混聯式自動鉆鉚機床上進行鉆鉚實驗驗證。調姿托架z1到z2距離l12=4420 mm；z2到z3距離l23=1400 mm；上末端執行器刀具點與其轉動副間的偏距lT1=478.5 mm；下末端頂鉚點與其轉動副間的偏距lT2=567 mm。

某無人機復材壁板上點1～5為待鉆鉚孔位，在坐標系{Ob}下的坐標分別為：(250 mm，482.963 mm，129.411 mm，0，0.966，0.259)，(250 mm，304.381 mm，396.677 mm，0，0.609，0.793)，(250 mm，0，500 mm，0，0，1)，(250 mm，-304.381 mm，396.677 mm，0，-0.609，0.793)，(250 mm，-482.963 mm，129.411 mm，0，-0.966，0.259)，其中，R、Q、N和D點為裝配夾持固定點，如圖8所示。由前文可知，在孔1～5

圖8 實驗方案Fig.8 Experiment platform

鉆鉚過程中，自動鉆鉚機床存在不同的姿態調整軌跡。為了對比本文所提方法的有效性，首先將調整托架固定，此時1～5孔位點僅存在唯一的制孔姿態，通過設定各軸的運動速度，計算完成1～5鉆鉚孔姿態的調整時間為79.2 s。然后，采用考慮自動鉆鉚機床的冗余特性，設1～5孔位可行解范圍為±5°，每個孔位選擇m=10進行離散化，即增量為1°，利用動態規劃方法計算能量消耗最小時的調整時間為59.8 s，姿態調整效率提高24.58%。此時對應的各軸的運動位置見表1。根據所獲得的1～5鉆鉚點時各軸的運動位置，將其作為關節空間軌跡光順的點到點邊界約束，利用多項式方法獲得各驅動軸的運動軌跡。將計算結果代入自動鉆鉚機控制系統中，并實時采集各軸運動數據，根據數據擬合結果獲得鉆鉚時最優調姿軌跡的各移動軸運動速度曲線對比結果，如圖9所示。由圖9可以看出，各軸運動平穩，理論計算和實際獲得的移動軸速度誤差小于2 mm/s、轉動軸速度誤差小于0.05°/s，且未超出各軸限定范圍，驗證了該算法的有效性。

表1 鉆鉚點對應各軸運動位置量Tab.1 The motion of each joints of the ADRM

(a) Z1軸速度及誤差曲線

(b) Y1軸速度及誤差曲線

(c) A1軸速度及誤差曲線圖9 關節速度理論值和實驗值對比Fig.9 Joints velocity between theoretical and experimental

5 結論

(1)給出了自動鉆鉚機床加工時的冗余自由度，通過將并聯托架等效為串聯機構，利用旋量方法建立了混聯鉆鉚機床的統一運動學模型，獲得了鉆鉚機床運動學反解。

(2)針對給定的鉆鉚任務，闡述了飛機壁板鉆鉚姿態調整軌跡優化原理；基于動態規劃算法獲得了完成鉆鉚任務時的最優姿態調整軌跡，并在關節空間進行運動軌跡光順，實驗結果表明，本文方法可有效提高飛機壁板鉆鉚效率。