具有弱迷向S 曲率的卷積芬斯勒度量?

徐曉慧，張曉玲

(新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046)

0 引言

卷積度量是乘積度量的推廣.Bishop 和O’Neil[1]為了研究具有負曲率的黎曼流形而引入了卷積度量.這種度量主要用于構造具有某些曲率條件的黎曼流形的新例子.后來有學者將卷積度量擴展到芬斯勒流形的情況[2?3]，這些度量被稱為卷積芬斯勒度量.最近，卷積芬斯勒度量的研究取得重大進展[2?7].Liu和Mo刻畫了具有消失的Douglas 曲率的卷積芬斯勒度量[6].Liu等研究了具有特殊黎曼性質的卷積芬斯勒度量[7].

在芬斯勒幾何中，S 曲率是一類非常重要的非黎曼幾何量.其最早是Shen 在研究體積比較定理時引入的[8].最近，學者們證明了S 曲率在芬斯勒幾何中扮演著一個非常重要的角色[9?11].眾所周知，若芬斯勒度量F 具有迷向S 曲率，即對于流形M 上的數量函數c(x)有S=(n+1)c(x)F，且F 具有數量曲率K=K(x,y)，則有+τ(x)，其中τ(x)是流形M 上的數量函數[12].

在本文中，我們研究了卷積芬斯勒流形.考慮n 維卷積流形M:=I×其中I 是R 上的一個區間，是一個具有黎曼度量的(n?1) 維流形.TM=∪u∈MTuM 是M 上的切叢，其中TuM 是u ∈M 的切空間，v 是TuM 上的非零切向量，上的非零切向量.在TM 上定義如下非負函數：

定理1n(≥3)維流形上的卷積芬斯勒度量F=φ(r,s),r=u1,s=具有弱迷向S 曲率當且僅當下式成立

應用此定理，我們構造很多具有消失S 曲率的Douglas 型卷積芬斯勒度量的例子.

1 預備知識

設M 是一個流形，TM=∪x∈MTxM 是M 上的切叢，其中TxM 是點x ∈M 的切空間，TM0=TM{0}為M 上帶孔切叢.一個芬斯勒度量就是沒有二次型限制的黎曼度量.

定義1設M 是一個n 維光滑流形.F :TM →[0,∞)是其切叢TM 上的非負函數.如果F 滿足如下條件：

(1)F 在帶孔切叢TM0上是C∞函數；

(2)F 關于向量y 正1 次齊次，即F(x,λy)=λF(x,y),?λ>0,(x,y)∈TM；

(3)對于任意(x,y)∈TM，TM 上的對稱雙線性形式gy是正定的，其中

則稱F 是流形M 上的芬斯勒結構或芬斯勒度量.具備芬斯勒度量的微分流形M 被稱為芬斯勒流形或芬斯勒空間，記作(M,F).

流形M 上的一個噴射G 是帶孔切叢TM0上的一個特殊向量場，它滿足：

(i)在局部坐標系(xi,yi)下，

其中:Gi(x,λy)=λ2Gi(x,y)(?λ>0)被稱為噴射系數(或測地系數)；

(ii)Gi在非零點(x,y)是C∞的.特別地，芬斯勒度量F 在TM0上誘導一個特殊的噴射G，其測地系數為

下文涉及的測地系數Gi均指這種特殊噴射的測地系數.

在黎曼幾何中，黎曼度量g=gij(x)dxi?dxj確定了唯一的黎曼體積元dVg=...∧dxn.但在芬斯勒幾何中，可以有各種體積元.令dV=σ(x)dx1∧···∧dxn為流形M 的體積形式，其中σ=σ(x)是流形M上的數量函數.比較常用的體積元有兩種：Busemann-Hausdorff體積元和Holmes-Thompson 體積元.當芬斯勒度量為黎曼度量時，這兩種體積元都化成黎曼體積元.

引理1對于任一點x ∈M 和任一非零向量y ∈TxM，設γ=γ(t)是以γ(0)=x 為起點，γ′(0)=y 為初始向量的測地線.令

則S=S(x,y)稱為芬斯勒流形的S 曲率.

設(x,y)是TM 的局部坐標，Gi(x,y)是噴射系數.在體積形式dV=σ(x)dx1∧···∧dxn下，S 曲率的表達式為

定義2設(M,F)是n 維芬斯勒流形，S(x,y)是它的S 曲率.設c=c(x)是M 上的一個數量函數，η=ηi(x)yi是M 上的1 形式.

(i)若

則稱F 具有弱迷向S 曲率；

(ii)若(2)中1 形式η 是閉的，即dη=0,則稱F 具有殆迷向S 曲率；

(iii)若(2)中η=0，則稱F 具有迷向S 曲率；

(iv)若(2)中η=0，并且c 為常數，則稱F 具有常數S 曲率.

2 具有弱迷向S 曲率的卷積芬斯勒度量

卷積芬斯勒度量的測地系數如下:

經直接計算，可得

由式(3)，通過直接計算可得

反之，顯然成立.

注記：由定理1可知S 曲率不僅與體積元σ(u)相關，還與黎曼度量和函數φ 相關.

3 具有迷向S 曲率的卷積芬斯勒度量

由定理1可得如下定理.

定理2若卷積芬斯勒度量F=r=u1,s=具有消失的S 曲率當且僅當

注記:由定理2可知，具有消失的S 曲率的卷積芬斯勒度量不僅與黎曼度量和函數φ 相關，還依賴于流形的體積元σ(u).

性質1若卷積芬斯勒度量F=r=u1,s=具有消失的S 曲率，則(lnσ)r只是r 的函數，與無關.

證明因為卷積芬斯勒度量具有消失的S 曲率，令(8)式中(Φ?sΨ)s+(n+1)Ψ=t.則(8)式改寫為

此式兩邊關于s 求偏導，得ts=(lnσ)r.

將此式代回(9)式，得t=sts.解之，存在函數q=q(r)使得t=sq(r)=s(lnσ)r.因此q(r)=(lnσ)r.故(lnσ)r只是r 的函數，與無關.

對Douglas 型卷積芬斯勒度量有如下定理.