對頂角不一定相等是命題嗎

浙江省臨海市外國語學校(317000) 嚴正德

對于“對頂角不一定相等”是否是命題的問題,向學生說清楚就可以了,本不該在此討論.但筆者碰到的實際情況,還是促使筆者寫幾句.

1 起因

去年上網課時,筆者所教學生的作業本是由浙江省中小學教材審定委員會審查通過,浙江省教育廳教研室于2019年11 月編寫,浙江教育出版社出版的《數學七年級下①作業本》,在第5 頁有一個“對頂角不一定相等”是否是命題的判斷題[1].學生幾乎全回答是命題,筆者都予否定.有幾個學生回復筆者:“對頂角不一定相等”已做出了判斷,命題有真有假,只不過它是假命題,所以它是命題.學生是懷疑筆者一時疏忽沒分清真假命題而直接判斷對錯.針對這種情況,筆者在家長群上回復:“判斷一件事情的語句叫命題.對頂角相等,或對頂角不相等都是命題.而‘不一定’沒有做出判斷,如張三不一定是李四殺的,怎么判斷李四有罪還是無罪? 所以‘對頂角不一定相等’不是命題.”但有部分學生還是沒有信服.當筆者拿到參考答案時,看到答案與筆者的結論相反,才知學生為什么那么一致地說它是命題.

2 疑惑

浙江省教育廳教研室組織專家編寫的答案與筆者的結論相反,不得不引起筆者的疑惑,我真的錯了嗎? 于是請教其他教師,有幾位數學教師開始都說“對頂角不一定相等”是命題,筆者談了自己的上述理由后,他們也感到疑惑,但筆者說出參考答案后,大多數就認為還是聽專家的.筆者又請教一位中文教師(他對“判斷”的理解可能比較深),一番爭辯后也不能確定對錯,于是他提議網上查.百度查“對頂角不一定相等是命題嗎? ”答案唯一:“當然是個命題,這句話是個判斷語句,是命題.當然,這句話是錯的,是個假命題.”但筆者仍感疑惑.

3 辨真

為了搞清楚對錯,筆者繼續尋找能說服自己的理論依據,終于在后來拿到的(對我們數學教師來說是權威的)教師用書的第26 頁至27 頁找到:“命題是判斷一件事情的句子,任何一個判斷,或者是真的或者是假的.因此,命題就是肯定一個事物是什么或者不是什么,不能同時既肯定又否定.”[2]對照前一句理解是:這里的“任何一個判斷,或者是真的或者是假的.”就是說一個判斷要能判定對或錯,不能模棱兩可,“不一定”這個詞不能起到判斷對或錯的作用.對照后一句理解是:“一定”是肯定,“不”是否定,“不一定”就是典型的既肯定又否定,所以“對頂角不一定相等”既不是肯定對頂角相等也不是否定對頂角相等,它不是判斷語句.于是“對頂角不一定相等”不是命題最終得到辨真.

4 從證明角度再辨

筆者以為上述已經說明“對頂角不一定相等”不是命題了,再與一位知名教師探討,他說這句話是有問題但請教專家說還是命題.因此筆者從證明的角度再辨:一個命題是可以用推理的方法證明它是真命題或是假命題,暫時沒法證明的叫猜想.用舉特例的方法可以用來證明假命題但不能用來證明真命題.例如,“已知圓O的半徑為3,點A,B在圓O所在的平面內,如果AO=AB= 2,那么點B一定在圓O內.”這是命題,可以舉反例證明它是假命題.“已知圓O的半徑為3,A,B在圓O所在的平面內,如果AO=AB= 2,那么點B不一定在圓O內.”這句話看起來是對的,那它是真命題嗎? 怎么來證明? 也是舉反例嗎? 所以它不是數學中的命題.說“對頂角不一定相等”是假命題,怎么來證明? 你舉對頂角能相等的例子就能證明不一定相等是錯了嗎? 相等能否定不相等,但相等不能否定不一定相等.所以“對頂角不一定相等”不是數學中的命題.

5 認為是命題的原因分析

為什么有那么多的學生和中學數學教師,還有一些專家都認為“對頂角不一定相等”是命題呢? 究其原因,是他們把語句的對錯誤以為是命題的真假.如“昨天(筆者所在地)不一定下雨”這句話是錯的,因為昨天下沒下雨已經知道,昨天下雨這句話是錯的,昨天沒下雨這句話也是錯的.“明天(筆者所在地)不一定下雨”這句話是對的,因為明天下不下雨還不知道,明天下雨這句話是對的,明天不下雨這句話也是對的.但這兩句話都沒有做出判斷,即肯定下雨或不下雨,所以都不是命題.“對頂角不一定相等”這句話是錯的,因為已經知道對頂角是相等的.但這句話沒有做出判斷,即肯定對頂角是相等或不相等,所以它不是命題.因此,不能把語句的對錯看成命題的真假.

6 建議

根據文[2]第27 頁“教學中關于區分什么是命題,什么不是命題,可以結合學生已經學過的一些具體例子說明,讓學生了解就可以了,不必深究.”[2]本題就是太深究了,超出了七年級學生現在的理解力,甚至給許多數學教師帶來困惑.所以筆者建議刪除這一題,或把“一定”刪掉,改為“對頂角不相等”是否是命題.