理解“歸一問題”中的數量關系

□胡 瓊

四年級學生在數學學習中會遇到“歸一問題”。解決這類問題的核心要素是理解數量關系。以下教學活動可以幫助學生理解“歸一問題”中的數量關系。

一、提出問題，喚醒數量關系

教師出示題目部分信息“用100千克大豆可以榨出13千克豆油”，引導學生思考：根據這個信息你能提出哪些數學問題？學生提問后師生共同整理大家提出的問題并進行簡單分類。

問題1:每千克大豆可以榨出多少千克豆油？

問題2:200千克（300千克、1000千克……）大豆可以榨出多少千克豆油？

問題3:每榨出1千克豆油需要多少千克大豆？

……

教師請學生分析問題1和問題2的異同，引導學生發現問題1是問題2的基礎，也就是說要求若干千克大豆榨油的數量，就要回歸到求出每千克大豆榨多少油。教師小結，這類需要先解決“1”是多少才能繼續求得答案的問題可以稱之為“歸一問題”。

二、多元表征，揭示數量關系

1.多元表征，嘗試解決

呈現完整題目：“用100千克大豆可以榨出13千克豆油。1噸大豆可以榨出多少噸豆油？”請學生畫一畫、寫一寫，用喜歡的方式表示題中信息，并整理自己的思路。

2.展示交流，理清思路

教師呈現學生的典型表征（如圖1～圖4），引導學生思考：你能理解每幅圖表示的意思嗎？圖4的第一段表示什么？這些表征方法有什么共同點？學生通過交流發現，這幾幅圖用了不同的表征方法，有用箭頭、列表、畫圓圈或線段圖等，但每種方法都簡潔地提取了題目中的關鍵信息。

圖1

圖2

圖3

圖4

三、深度思考，梳理數量關系

1.對比異同

請學生進一步思考：4幅圖在問題解決的思路上有什么異同？通過交流引導學生發現4幅圖都表達了“歸一”的思路，都是先求每份數，再求總數，但所取的“1”不同。其中，圖1和圖2的每份數是每千克，先求出每千克大豆可以榨出0.13千克豆油，再用0.13×1000求出這樣的1000份可以榨油130千克。圖3和圖4則是把100千克看作一份大豆，因為1噸里面有這樣的10個100千克，所以1噸大豆能榨油的數量是10個13千克，也就是130千克。

2.梳理關系

教師根據學生的交流，結合板書梳理各信息之間縱向和橫向的關系（如圖5）。

縱向看：由13對應100可知1千克大豆可榨出0.13千克豆油；130對應1000也就是1千克大豆對應0.13千克豆油，這里的“1”是指每千克為1份。

橫向看：把100千克看作“1”，1000千克是“1”的10倍，那么13的10倍就是130。

圖5

如上，學生經歷想、畫、寫、說等活動，借助文字表征、表格表征、圖形表征等方式，不僅理解和掌握了數量關系，還有效地提升了建模能力和問題解決能力。