基于傳動誤差的齒輪系統時變頻響函數辨識*

朱子文，賈山虎，何聲馨，張二亮

(鄭州大學機械與動力工程學院，鄭州 450001)

0 引言

現代機械傳動系統中，齒輪是最重要的部件之一，由于其恒定的傳動比、大功率及高效率等特點，在生產制造中被廣泛使用。齒輪傳動系統是一種復雜的彈性結構系統，其動態特性研究一直備受關注[1]。然而，齒輪箱的動力學建模是機械工程領域公認的極具挑戰性的課題之一。從系統辨識理論的角度，開展齒輪系統動態特性的建模研究具有重要的意義。

齒輪箱動態特性或其參數辨識得到了國內外學者的廣泛關注。Wang J G等[2]針對單級齒輪箱模型存在的非線性動態特性，提出了一種單級齒輪箱的偽線性神經網絡辨識方法。Sawalhi N等[3]通過對齒輪箱振動加速度信號的測量，辨識了齒輪的齒數及其轉速。Ankur S等[4]基于模態分析理論，研究了健康齒輪和裂紋齒輪的嚙合剛度對齒輪轉子系統固有頻率、模態振型和頻響函數的影響。Rune P等[5]應用時變模態分析方法對具有周期性時變嚙合剛度的齒輪系統進行理論分析，得到了齒輪的基頻和參數共振頻率隨轉速的變化規律。Ericson T M等[6]運用經典實驗模態分析技術對行星齒輪的動態特性進行了表征，得到了行星齒輪的固有頻率、振型和頻響函數。綜上所述，齒輪傳動過程中表現出典型的(周期)時變特性尚沒有得到系統建模和研究。

齒輪(動態)傳動誤差是表征齒輪系統動態特性的主要指標之一。眾多學者在傳動誤差的仿真計算與實驗測量方面做了大量的工作。汪中厚等[7]基于有限元理論和瑞利阻尼數學模型，在不同阻尼條件下，對螺旋錐齒輪的動態傳動誤差進行了仿真。袁勇超等[8]基于光柵測量方法，建立了傳動誤差測試平臺以及數據采集系統，提高了齒輪動態傳動誤差檢測精度。李福洋等[9]通過非接觸式光學測量方法，對齒輪副的傳動誤差進行了高精度的測量。另外，傳動誤差與加工制造誤差之間的關系也得到了深入研究[10-11]。

本文以齒輪箱傳遞的扭矩為輸入，視動態傳動誤差為齒輪系統響應，采用系統與控制領域中周期時變辨識理論，建立了齒輪系統的時變頻響函數辨識方法。進一步通過齒輪系統時變動力學數值模型，驗證了該方法的有效性。本文為齒輪系統動態研究提出數據驅動建模新方法，這可為齒輪系統的減振降噪、故障診斷及智能控制提供基礎。

1 齒輪時變動力學模型

1.1 三自由度齒輪集中質量模型

齒輪系統是一種參數激勵和非線性并存的彈性結構系統，如果齒輪傳遞較大的載荷，齒輪的嚙合表面始終處在接觸狀態，輪齒間的齒側間隙不會對系統的動態特性產生影響[12]。本文忽略齒輪側隙，運用集中質量法建立了經典的三自由度齒輪集中質量模型，該模型在重載工況條件下較符合工程實際，如圖1所示。

圖1 齒輪轉子系統動力學模型

由牛頓定律可推導出圖1所示三自由度齒輪系統的動力學微分方程：

(1)

式中，ygi和θgi分別為第i個齒輪(i=1,2)的平動位移以及扭轉振動位移，Ig1和Ig2為齒輪轉動慣量，mg1和mg2為齒輪平移質量，dg1和dg2為基圓直徑，cb1、cb2和ch(t)分別為主、從動輪的支撐阻尼和輪齒嚙合阻尼，kb1、kb2和kh(t)分別為主、從動輪的支撐剛度和輪齒時變嚙合剛度。

(2)

(3)

式中，mc1為齒輪副等效質量。

Fm=2Tg1m/dg1=2Tg2m/dg2

(4)

FaT(t)=mc1Tg1a(t)/2Ig1

(5)

式中，Fm為由扭矩的平均分量(Tg1m)引起的輪齒嚙合力，FaT(t)為由扭矩的變動分量(Tg1a(t))引起的輪齒嚙合力，Fm和FaT(t)之和為扭矩引起的廣義力。

齒輪動態傳動誤差為：

p(t)=x(t)+yg1(t)-yg2(t)-e(t)

(6)

式中，e(t)為靜態傳動誤差。通常假設靜態傳動誤差以嚙合頻率呈周期性變化，其Fourier級數展開為：

(7)

式中，ei為靜態誤差的i階諧波幅值，ω為嚙合頻率，φi為i階諧波初相位。

本文采用勢能法[13]對kh(t)進行計算，角位移周期函數計算結果如圖2所示。

圖2 齒輪嚙合剛度

ch(t)一般由嚙合剛度kh(t)計算：

(8)

式中，ζ為阻尼比。

1.2 理論周期時變傳遞函數

以扭矩引起的廣義力為輸入，動態傳動誤差為輸出，兩者之間的傳遞函數模型推導如下。

(9)

式中，

C=[0 0 0 0 1 0],D=0

式中，T為轉置運算符。

對上述狀態方程進行拉氏變換，負載扭矩引起的廣義力和動態傳動誤差之間的理論傳遞函數為：

G(s,t)=C(sI-A(t))-1B

(10)

可見，齒輪動力學系統的理論傳遞函數是時變的，在勻速工況下為一類周期時變系統。

2 周期時變系統辨識方法

在勻速工況條件下，以扭矩廣義力和動態傳動誤差分別為系統的輸入輸出數據，采用周期時變系統辨識理論[14]，開展齒輪系統時變頻率響應函數的建模與辨識。

2.1 周期時變系統的輸入輸出模型

線性周期時變系統G可以由無限多個加權線性時不變系統組成的并行結構很好地描述，該結構如圖3a所示。在實際中，采用有限個(如Nb)加權線性時不變系統組成的分支結構就可以較好近似系統G，即：

(11)

式中，G(ω,t)稱為瞬時傳遞函數，Gl(ω)為諧波傳遞函數，ωsys為系統的時變頻率，即齒輪傳動系統的嚙合頻率。

在頻域中對瞬時傳遞函數進行辨識，以下為辨識中需要的基本假設。

假設1(激勵信號)：輸入信號為隨機相位多正弦信號。

(12)

式中，ωexc=2πfexc表示多正弦信號的基頻，且Uk≠0，相位φk在[-π,π]區間內均勻分布，Kexc為激勵頻率的集合(整數的子集)，式(12)中滿足Uk≠0的頻率線(k∈±Kexc)被稱為激勵線。Nexc等于激勵線的數量。

假設2(同步性)：輸入應與系統時間變化同步，即：

(13)

式中，Q為有理數的集合。此外，多正弦信號的ωexc=qω0，且ω0=2π/T為信號的頻域分辨率。

假設3(穩態響應)：輸入u0(t)和輸出y0(t)應在穩定狀態下被觀測。輸入u0(t)和輸出y0(t)具有相同的周期性，且周期T=pTsys。

在不改變系統輸入輸出關系的前提下，可將圖3a中的時變增益模塊和線性時不變模塊進行交換，得到圖3b所示的模型。該模型可視為多輸入單輸出的線性時不變系統，則其頻域的輸入輸出關系可以表示為：

(14)

式中，U0(k)、Y0(k)為輸入、輸出向量的離散傅里葉變換的頻譜，Hl(ωk)為圖3b中模型對應的諧波傳遞函數，p=ωsys/ω0，且ωk=kω0。

圖3 線性周期時變系統原理圖

2.2 瞬時傳遞函數的局部多項式估計

本文采用非參數辨識方法中的局部多項式法對系統的瞬時傳遞函數進行辨識。局部多項式法為一種常用于多輸入多輸出線性時不變系統的非參數辨識方法，該方法基于光滑頻率特性，在局部區間內利用多項式對頻率響應函數和瞬態項建模，采用最小二乘法估計模型參數[15]。

假設噪聲模型是可加的，根據式(14)，輸出含噪聲的線性周期時變系統輸入輸出關系可以表示為：

Y(k)=H(ωk)U(k)+W(k)U(k)=U0(k)

(15)

式中，U(k)為輸入向量。

U(k)=[U(k-pNb)…U(k)…U(k+pNb)]T

(16)

多輸入U0(k)與單輸出Y0(k)之間的頻率響應函數為：

H(ωk)=[HNb(ωk)…H0(ωk)…H-Nb(ωk)]

(17)

另外，誤差項W(k)=NY(k)+Ys(k)，其中，NY是輸出噪聲；YS是輸出隨機非線性擾動。

在一個局部頻帶內，即在頻率線k+l上(l=-n,-n+1,…,0,…,n)，頻率響應函數H(ωk)可以被一個低階多項式局部近似，

(18)

式中，R為多項式的階數。

忽略式(18)中的偏差項，在頻率線k+l上，式(15)可以表示為：

Y(k+l)=Θ(k)K(k+l)+V(k+l)

(19)

其中，

Θ(k)=[H(ωk),h1(k),h2(k),…,hR(k)]

(20)

為1×(R+1)(2Nb+1)的行向量且向量K(k+l)被定義為：

K(k+l)=[(1l…lR)?UT(k)]T

(21)

式中，?為克羅內克積運算符?？紤]所有的頻線l，將式(19)組合成矩陣方程，

Y(k)=Θ(k)K(k)+V(k)

(22)

其中，Y(k)，K(k)，和V(k)分別為1×(2n+1)，(R+1)(2Nb+1)×(2n+1)和1×(2n+1)的矩陣。

通過最小二乘法，可得：

(23)

S=KH(KKH)-1(I2Nb+1),0)H

(24)

式中為了簡化符號，忽略式(24)中的頻率參數k，xH為x的共軛轉置。

(25)

最后，瞬時傳遞函數的非參數估計為：

(26)

關于瞬時傳遞函數估計的不確定性分析以及如何確定最優的模型階數，可參見文獻[14]。

3 算例分析

3.1 模型設置

以文中1.1節所述的三自由度齒輪集中質量模型為算例驗證本文方法的有效性。Tgla(t)采用隨機多正弦激勵，采樣頻率fs=215Hz，采樣點數N=217，周期P=4，相位R=100，幅值A=50 N·m。時變周期Tsys=0.5 s，Tglm=200 N·m。齒輪系統具體模型參數如表1所示。

表1 齒輪系統基本參數

生成的模型輸入如圖4所示，利用四階龍格庫塔法求解式(1)，得到的模型響應如圖5所示。

圖4 負載轉矩引起的廣義力 圖5 動態傳動誤差

3.2 辨識結果

本文考慮0～8000 Hz頻帶上的數據信息，利用式(26)辨識得到的時變頻率響應函數如圖6所示。

圖6 頻率響應函數

可發現，隨著時間的變化，頻率響應函數呈周期性變化。這是由于齒輪轉動時，單雙齒的交替嚙合導致齒輪系統固有頻率發生了改變。隨著時間的變化，其一階固有頻率、二階固有頻率分別在2385～3011 Hz、6938～7165 Hz范圍內周期性變化。

同時，由式(10)計算得到理論時變傳遞函數，如圖7所示。

圖7 理論頻率響應函數

與圖6的辨識結果比較可知，辨識得到的時變頻率響應函數與理論傳遞函數吻合較好，能夠準確地捕捉齒輪系統的時變特性。

4 結論

本文針對齒輪系統傳動過程中典型的時變特性，提出了基于傳動誤差的齒輪系統時變頻響函數辨識方法。以三自由度齒輪集中質量模型作為算例，驗證了該方法的有效性。本文方法表現出了較高的建模精度,能夠準確刻畫齒輪系統的時變特性，可為齒輪系統的減振降噪、故障診斷及智能控制提供基礎。結合轉速測量技術，可直接拓展至處于變速狀態下齒輪系統的建模與辨識。