實交錯代數上slice正則函數的逼近定理

陳英偉， 陳燦虎, 張寶興

(河北經貿大學 數學與統計學學院，河北 石家莊 050061)

0 引 言

交錯代數可看作非交換代數結構中四元數、八元數和Clifford數等的推廣，具有2個重要性質.對a,x,y∈,由交錯性易導出如下Moufang等式[1]:

a(x(ay))=(axa)y, ((xa)y)a=x(aya), (ax)(ya)=a(xy)a.

另一個重要性質是Artin定理[1],此定理表明的任意2個元生成的子代數都是可交換的.

在復分析中，Runge[2]在1885年首次給出如下定理.

定理A令K是復平面C中的一個緊子集，設f是定義在K的一個開集上的全純函數.若E為CK中的有界連通分支中至少含有一個復數的集合，則存在一列有理函數(rn)n∈N，且其極點都在E中，此函數列在K上一致收斂到f.

復平面上另一個重要定理為Carleman逼近定理[3].

定理B令函數f:R→C和h:R→(0,+∞)均為R上的連續函數，那么存在一個整函數G:R→C使得對所有的x∈R,有

‖f(x)-G(x)‖

Runge逼近定理已推廣到四元數[4-5],本文中，筆者的一個目的是得出更廣泛的實交錯代數情形下的slice正則函數，另一個目的是在實交錯代數的slice正則函數的結構下研究Caleman型逼近定理.Caleman型定理表明，任何定義于R上的連續函數可由在R上的slice正則整函數任意逼近.

1 預備知識

先給出文中有關slice函數和slice正則函數的一些基本定義和結論[6-8].

反對合x→xc是由到的實線性映射,滿足下列性質：

(xc)c=x, ?x∈,

(xy)c=ycxc, ?x,y∈,

xc=x, ?x∈R.

t(x)∶=x+xc∈,

x的(平方)范數為

n(x)∶=xxc∈.

定義1交錯代數中的二次錐面Q是由下式給出的實錐面

Q∶=R∪{x∈|t(x)∈R,n(x)∈R,4n(x)>t(x)2}.

假設二次錐面Q≠R等價地，即≠?.注意到對任意I≠±J的I,J∈,有Q=UJ∈SCJ和CI∩CJ=R.對任意x∈QR,則可記x=α+βJ,其中α，β∈R,且J∈.因此，這時定義實部和虛部是有意義的.

Ren等[9]首次引入了正則二次錐面,它一般比二次錐面小，但在其上的slice正則函數具有一些非常好的性質.

引理1[6]令S是的純虛球面，M是的導出S的子集,則存在上的范數‖·‖,使得對x∈M,有

由于

S∶={x∈|‖x‖=1}

引理2[10]若令

C

則對任意x,y∈,有

‖xy‖≤C‖x‖‖y‖,

(1)

并且，對任意x,y∈,其中x∈Q或者y∈Q,有

c‖x‖‖y‖≤‖xy‖.

此引理可用來估計有理函數逼近中slice正則函數的收斂性.

給定D為C中的開集，在復共軛下不變.令

其中x=α+iβ∈D,[x]=α+β.

易知ΩD是Q的相對開子集，則此集合ΩD是slice函數定義的自然定義域，由于在-1平方根運算下保持不變，其被稱為的循環域.

定義3定義在一個開集D?C上且在復共軛下保持不變的函數F:D→C被稱為stem函數，如果F=F1+iF2中-值F1,F2滿足偶-奇對，即

每一個stem函數F=D→AC可通過

f(x)∶=F1(z)+JF2(z),?x∈ΩD∩CJ

誘導出一個(左)slice函數

如果F1和F2是R實值的，則稱slice函數f保slice的.若F=F1+iF2≠0,那么其逆為

引理3(表示公式)[7]令f是軸對稱slice域Ω?Q上的正則函數，I,J∈,則對所有y=u+vI∈Ω,下式成立.

α(u,v)+Iβ(u,v).

其中α，β僅依賴于u,v∈R,且u+vJ∈ΩJ,但不依賴于J∈.

將ΩD上的slice正則函數的函數空間記為

軸對稱slice域可作為slice正則函數的天然定義域[7-8].

記

引理4(分裂引理) 令f是定義在對稱slice域ΩD?Q上的一個正則函數.令J∈或S,并存在中與J可交換的分裂基

使得‖Kj‖=1對每一個j∈{1,…,h}成立,則存在全純函數Fj:ΩJ→CJ,j=1,…,h,

2 Runge定理

在下文中，令Zf表示slice函數f的零點集合.

引理5設F:D?C→A是一個stem函數，且滿足FcF是一個保slice的函數，并在D的一個緊子集上不為0.令ΩD={x=u+Jv|z=u+iv∈D,J∈是一個slice正則函數,則f的slice正則逆為定義在上的函數

證易知stem函數((FcF)-1Fc)(z)=α(z)+iβ(z)中的α,β滿足Cauchy-Riemann條件，這可從偶-奇對的F,Fc得到.另外，有

((FcF)-1Fc)F=(FcF)-1(FcF)=1.

最后，由FcF保slice知，FcF是一個實的stem函數，故

有

引理6令Ω∶=ΩD表示Q中一個軸對稱slice域.一個slice正則函數f:Ω→A是有理的當且僅當對任意J∈和中滿足‖Kj‖=1的分裂基{K0=1，J，K1，JK1,…，Kh,JKh},存在h+1個有理函數Rj:ΩJ→CJ使得，對任意u+Jv∈ΩJ∶=Ω∩CJ,有

(2)

fJ(u+Jv)=(AcA)-1AcB(u+Jv)=

(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1(αcγ-βcδ+J(αcδ+βcγ))(u+Jv).

選擇與J可交換的的一個分裂基{1，J,K1，JK1，…，Kh,JKh}.注意多項式αcγ-βcδ+J(αcδ+βcγ)可寫成

其中多項式Pj:ΩJ→CJ.

由于函數(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1是保slice的，其系數屬于CJ,直接可得

Rj(u+Jv)=(αcα-βcβ+J(αcβ+βcα))-1Pj(u+Jv).

易知Rj：ΩJ→CJ是一個有理函數.

反之，假設對于一個給定的J∈,由分裂引理知，限制在CJ上的fJ可記為(2).每一個有理函數Rj：ΩJ→CJ均可寫成

(Qc(y)Q(y))-1Qc(y)P(y).

由表達式可知函數f在Ω上是一個有理函數，可表示為

α(u,v)+Jxβ(u,v),x=u+Jxv,

接下來，說明f的形式為f=a-1b.每一個有理函數Rj:ΩJ→CJ均可記為

其中Pj,Qj為多項式.于是有

則有

類似可得

因此，

Q的系數屬于的子代數CJ,QcQ為不等于0的實函數.

定義6令f是Q給出一個循環開子集Ω上的slice正則函數.稱點y∈Q為f的奇異點，若存在R>0使得∑(y,0,R)?Ω,這時f可有一個洛朗展開

對f來說，點y被稱為極點，若存在m≥0使得a-k=0對所有k>m成立.

引理7[10]交錯代數中一個有理函數的奇異點是形如u+v的孤立球面.

定理1令K是中軸對稱的緊集，記E為中每一個連通分支中有一個點的集合,則對一個軸對稱開集Ω?K,每一個f∈SR(Ω),對任意ε>0,都存在一個球面上的有理函數r,其極點在集合E中，且對z∈K,有

‖f(z)-r(z)‖<ε.

證首先考慮函數f在復平面CJ上的限制.由分裂引理知，對每一個J∈S(的一個純虛球面)，存在的一組分裂基K1,…,Kh∈S,滿足‖Kj‖=1,及存在全純函數Fj:ΩJ→CJ,j=1,…，h使得

{K0∶=1，K1，…,Kh，J，JK1，…，JKh}

根據復平面上的Runge定理[11]知，有h+1個極點在E?CJ中的有理函數Rj(u+Jv),使得

(3)

由于Ω?CJ關于實軸對稱，則表示公式可將r(u+Jv)延拓到整個Ω,且

現在考慮‖f(x)-r(x)‖.由表示公式，有

‖f(x)-r(x)‖

根據分裂引理和引理2中的(1),可得

‖f(x)-r(x)‖

因此，由(3)可得

‖f(x)-r(x)‖≤ε.

‖f(x)-rn(x)‖

如果K是Ω中的軸對稱緊集，由假設可保證存在N∈N使得對所有n≥N,有K?Kn,則

‖f(x)-rn(x)‖

3 Carleman定理

本節考慮交錯代數中的Carleman型逼近定理.用ΩC表示一個可交換集，其可記為

其中任意x=a+iβ∈C,[x]=α+β.易知ΩC∈Q.

若函數f在整個ΩC中是slice正則的，則稱其為一個整函數.

每一個slice正則整函數有如下的冪級展開

此展開在ΩC中處處收斂，并且在ΩC中任一緊子集上一致收斂.

經計算可知，由于收斂半徑是無窮的，故

Carleman型定理揭示了任何定義在R上-值的連續函數，都在實軸R上可由slice正則整函數一致逼近，且具有任意的逼近階.

定理4令f:R→和h:R→(0,+∞)是R上的連續函數,則存在全純函數G:ΩC→,對所有x∈R,有

‖f(x)-G(x)‖

定理4需要一些輔助引理并參考了文獻[12]中復情形的做法.

引理8設函數f:R→在R上連續，則存在一個無零點的整函數g：ΩC→,滿足對所有x∈R,有g(x)∈R和g(x)>‖f‖.

證記Cn=max{‖f(x)‖| |x|≤n+1,x∈R},n∈N.

顯然，對所有x∈R,均有h(x)≥0,則對于|x|<1,有

h(x)≥C0≥‖f(x)‖.

而對1≤n≤|x|

即對所有的x∈R,有h(x)>‖f(x)‖.

最后，令g(w)=eh(w)來得到所需的整函數.由于ew,h(w)都是保slice的，故其2個slice正則函數的部分也是slice正則的.

引理9令[a,b]是R中的區間，并且slice函數f:[a,b]→是一個連續函數.對任k∈N,令

則對任意ε>0,有一致收斂

證考慮函數f在復平面CJ上的限制.令J∈,且

{K0∶=1，J，K1，JK1，…，Kh，JKh}

f的連續性蘊含了Fj為實變量x的連續函數.

該結論對復值函數成立[12],對每一個j,通過在被積函數中寫Fj(t)而不是f(t),如(4)定義Fj，k(x),則對每一個ε>0,有

引理10設f:R→在R上連續，則對每一個n∈Z,均存在一個連續函數fn:R→,其支撐在[-1,1]上，滿足對所有x∈R,有

證類似引理9的證明，可給出函數

則函數Fj,n(x)可構造為

引理11設slice函數f:R→在R上連續，在[-1,1]上有緊支撐.記

T={w∈ΩC:|Re(w)|>3,|Re(w)|>2‖Im(w)‖}.

對任意ε>0,存在整函數F:ΩC→,使得對所有x∈R,有‖f(x)-F(x)‖<ε，并且對w∈T,有‖F(w)‖<ε.

證對任意k∈N,令

易知，函數e-k2(w-t)2是slice正則的，并且當對其右乘f(t),其仍然保slice正則的，這是由于slice正則函數可組成上的右向量空間，并且在[-1,1]上有緊支撐，故f也一樣.因此fk(w)可被寫為冪級數，并對所有k∈N,其是slice正則整函數.

則對所有的w∈T,有

‖fk(w)‖

引理12設slice函數f:R→在R上連續，則存在整函數F:ΩC→,使得對所有x∈R,有

‖f(x)-F(x)‖< 1.

證對于n∈Z,取引理10中的一個fn,由引理11,對每一個fn,都有一個整函數Fn,滿足

‖fn(x)-Fn(x)‖< 2-|n|-2,‖Fn(x)‖<2-|n|.

令N∈N,那么選擇w使得‖w‖≤N且|n|>3N+3,則有

‖Re(w-n)‖≥|n|-‖Re(w)‖>2N+3>3,

‖Im(w-n)‖=‖Im(w)‖

一致收斂到某個函數F,就像對所有J∈Q,其在任意復平面CJ上的限制一樣.故對滿足‖w‖≤N的w,有

因此，F是一個整函數.另外，對任意x∈R,有

‖f(x)-F(x)‖

定理4的證明由引理8,存在無零點的整函數h:ΩC→,其冪級數展開中所有的系數均為實數，并滿足對所有x∈R,有引理12意味著存在一個整函數F:ΩC→,使得

‖h(x)f(x)-F(x)‖A<1,x∈R.

函數h(x)是實值的，故

選擇G(w)=h(w)-*F(w),得證.

在R中的緊子區間上使用多項式一致逼近的Weierstrass逼近定理很容易從Carleman定理得到.

推論1設[a,b]是R上任意緊子區間，f:[a,b]→是連續的,則對任意ε>0,存在多項式P:[a,b]→滿足

‖f(x)-P(x)‖<ε, ?x∈[a,b].

即

注 由于四元數及八元數為實交錯代數中的一種特殊情況，在四元數及八元數情形，可以得到類似的Runge和Carleman型逼近定理.