2種獎金制度下的雙寡頭產量競爭模型的動力學分析

彭建奎， 黎鎖平， 楊兆蘭， 周小燕

(1.蘭州理工大學 電氣工程與信息工程學院，甘肅 蘭州 730050； 2.蘭州文理學院 教育學院，甘肅 蘭州 730030)

在經濟市場中，企業主通常會雇傭職業代理人來管理公司，但是由于企業主和經理人之間存在利益沖突以及信息不對稱的情況，因此企業主為了更好地約束經理人，需要建立激勵機制對經理人進行有效的監督.目前，已有很多學者對職業經理人的激勵機制進行了研究[1-8].Jansen等[1]提出了純利潤、銷售委托、市場份額委托以及相對利潤等4種獎金激勵機制，并且利用委托游戲對4種激勵機制所有可能組合的利潤效應進行了研究，結果表明基于相對績效的獎金制度相對最優；薛超凱等[2]在有限理性的假設下，建立了一種企業主與職業經理人的委托代理模型，但上述研究只是利用靜態模型進行研究.為此，學者們相繼建立了一些動態的博弈模型來研究系統的演化過程，如Fanti等[3]針對價格競爭和市場份額委托的動態雙寡頭博弈模型進行全局分析，結果表明在系統演化過程中初始條件尤為重要；Elsadany[4]研究了基于有限理性和企業追求相對利潤最大化建立的Cournot模型[5-6]，分析了系統通往混沌的路徑.基于上述研究，本文中，筆者利用市場份額和銷售委托2種激勵機制組合建立了一種動態雙寡頭產量競爭模型，并通過雙參數分岔圖、單參數分岔圖、最大Lyapunov指數譜分析了系統通過flip分岔進入混沌的復雜的動力學行為，同時通過法里樹及吸引盆進一步研究系統的動力學行為和吸引子的共存現象.

1 模型的建立

假設市場上僅存在2家生產同質產品的企業，分別記為企業1和企業2.由于所考慮的是同質產品，因此2家企業具有相同的技術與不變的邊際成本，記為c.根據文獻[7-8]的研究結果可知，相同質量的產品意味著2家企業生產的產品差異度d=1，假設消費者的效用函數為

(1)

其中：q1和q2分別表示企業1和企業2的產量；a表示市場上產品的最大價格，并且滿足a>c>0；b>0表示企業對自己產品價格的敏感性程度，也稱為價格敏感性系數[9].

假設消費者的預算約束為

pq1+pq2=M，

(2)

其中p表示產品的價格，M表示消費者對該產品的消費預算.在預算約束下，為了使消費者的效用函數達到最大，由此可得2個企業的逆需求函數

p=a-bQ，

(3)

其中Q=q1+q2,表示市場上2家企業的總產量.根據上述假設，2家企業的利潤函數可以表示為

πi=(a-bQ-c)qi，i=1,2.

(4)

在經濟市場中，企業主通常雇傭職業經理人并將產量決策權授予職業經理人.為了使經理人給企業帶來更多的利益，企業主使用合適的激勵合同去激勵經理人的工作積極性.在激勵合同中，2家企業將經理人的報酬設置為合同工資與合同中簽訂的獎金之和，2家企業具有相同的合同工資函數，記為si，企業給經理人的合同工資的函數為

si=α+βiπi，i=1,2,

(5)

其中α表示經理人的固定工資，βi表示企業i的經理人為企業做出的貢獻值πi每增加一個單位，企業i給予經理人的報酬相應增加βi個單位，i=1,2.

在激勵合同中，企業主對經理人表示只有在企業具有正的利潤時，企業才履行相應的獎金制度，因此假設2個企業的利潤都為正，并且考慮2種獎金形式，企業1根據市場份額的方式確定獎金，然而企業2根據銷售委托的方式確定獎金.2家企業的獎金函數如下：

企業1的獎金函數

u1=π1+γq1/Q，

需要指出一點的是，網絡輿論的思維方式具有很強的俘獲能力，其語言求新求奇、泛娛樂化傾向嚴重，內容也大多以奪人眼球、追求刺激為要旨，同時它又有著很強的自我構建和尋求擴散的欲望。在構建和傳播的過程中，隨著各類輿論的合流，其表達方式呈現出強烈的自我肯定性，特別是在輿論發展的后期極易俘獲其他網絡主體對事物的認知態度。在這種江河匯海似的合流中，網絡輿論逐漸逼近某個臨界點，開始向現實社會釋放能量?？梢哉f，網絡輿論的發展過程本身便是網絡民主興起的路徑再現。

(6)

其中權重γ表示企業主1基于最大化自己的利益所雇傭的經理人1的委托變量，q1/Q表示市場份額；

企業2的獎金函數

u2=π2+σq2，

(7)

其中σ表示企業主2與經理人2在議價過程中共同選擇的激勵參數.然而，激勵參數σ有正有負，這取決于企業主是激勵經理人還是抑制經理人.激勵參數σ>0意味著經理人進取心增加，σ<0意味著經理人缺乏積極性.

通過上述假設，給出2家企業經理人的目標函數

將(4)(7)代入上式得

(8)

使得經理人的目標函數最大的一階條件，也稱為邊際目標函數，計算如下：

(9)

為了確定經理人隨時間變化的行為，建立經理人關于目標函數的信息集十分重要.假設2家企業的經理人都具有有限理性，即經理人對競爭對手的決策和市場需求的信息的了解是有限的，并且假設在t(t∈Z+)時期，2家企業的經理人同時做出決策.因此經理人根據t時期對?Oi/?qi(i=1,2)的局部估計來決定t+1時期企業的產量，如果在t時期有?Oi/?qi>0，則經理人在t+1時期增加企業的產量，然而如果在t時期有?Oi/?qi<0，則經理人在t+1時期減小企業的產量.因此雙寡頭重復博弈的產量動態調整機制可表示為

(10)

其中ai(qi)是關于qi的正比例函數，描述經理人i(i=1,2)根據邊際目標的符號給出的產量變化范圍.假設ai(qi)=ψiqi，i=1,2，其中ψi>0為企業的產量調整速度.根據上述假設，動態模型就可以表示為二維非線性差分方程

(11)

2 Nash均衡點數值分析

通過數值模擬來分析系統Nash均衡點在某一參數變化下的穩定性.固定的參數設置如下：a=0.172 4，b=0.237 0，c=0.022 2，γ=1.637 4，β1=0.213 7，β2=1.855 7，ψ1=2.396 4.激勵參數σ與企業2的產量調整速度ψ2的二維分岔圖如圖1a所示.其中，不同的顏色表示不同周期，黃色區域表示Nash均衡點的穩定區域，綠色、橘色、紅色區域依次表示2-周期、3-周期、4-周期，深黑色區域表示混沌區域.擬周期在圖1a中用白色表示.由圖1a可以看出，在參數平面(σ,ψ2)上，ψ2∈[0,6]時，隨著ψ2的增大，系統依次通過黃色、綠色、紅色、藍色區域進入黑色區域，σ∈[0,2]時，隨著σ的增大，系統依次通過黑色、藍色、紅色、綠色、黃色區域.為了更直觀地分析系統的分岔路徑，取ψ2=0.399 4，將σ作為分岔參數，圖1a中紅色線對應系統的單參數分岔圖，如圖1b所示.可以看出，隨著σ的增加，系統分別經歷1-周期、2-周期、4-周期、8-周期等周期后進入混沌狀態，然后再由混沌狀態分別進入8-周期、4-周期、2-周期和1-周期.由此可知，這一過程是典型的flip分岔與逆flip分岔.圖1b還給出了系統在圖1a參數下的最大Lyapunov指數譜.可以看出，當最大Lyapunov指數小于0時，系統處于周期狀態；當最大Lyapunov指數接近0時，系統處于擬周期狀態或者分岔點處；當最大Lyapunov指數大于0時，系統處于混沌狀態.由上述分析可知，當σ逐漸增大時，系統由穩定狀態逐步進入混沌狀態，然后再由混沌狀態進入穩定狀態，由此可知，經理人應合理選擇激勵參數使其系統穩定.

圖1 參數平面(σ,ψ2)上的雙參數分岔圖、單參數分岔圖及最大Lyapunov指數譜Fig.1 The Bifurcation Diagram with Two-parameters in Parameters Floor(σ,ψ2)，the Bifurcation Diagram and the Maximal Lyapunov Exponent Spectrum

由圖1a還可以看出，在參數平面[0.37,7]×[3.2,4.6]存在復雜的動力學行為.該平面參數的局部放大結果如圖2a所示.可以看出，在該區域內展示了類似“舌”的分形序列，并且在這個序列中增加的周期窗口具有自相似性，并且隨著σ的增加，“舌”的面積逐漸減小.當取ψ2=3.45時，圖2a的單參數分岔圖如圖2b所示，可以看到單參數分岔圖在[0.53,0.63]對應的最大Lyapunov指數位于[-0.05,0.05]，表示擬周期運動.可以看出，系統首先從1-周期進入擬周期，經歷周期窗口，最后進入混沌狀態.由圖1、圖2可得，隨著σ的增大，商品的市場供應量的波動逐漸變弱，所對應的系統的動力學行為變得越來越簡單.這表明當企業的經理人更注重企業收入而非企業利潤時，經濟市場穩定性會更好，所管理的企業才能在經濟市場上長久穩定地發展.

圖2 參數平面(σ,ψ2)上的局部雙參數分岔圖(a)、單參數局部分岔圖及最大Lyapunov指數譜(b)Fig.2 The Local Region Bifurcation Diagram with Two-parameters in Parameters Floor(σ,ψ2)(a)，the Local Region Bifurcation Diagram and the Maximal Lyapunov Exponent Spectrum(b)

(12)

圖3 法里樹(a)及周期樹(b)Fig.3 Farey Tree (a) and Periodic Tree (b)

3 系統多穩態分析

通過數值模擬研究非線性動力系統的過程中，均衡點的穩定性會隨著參數的變化而變化.這些變化使得系統出現復雜的動力學現象，如具有分形結構的混沌行為以及吸引子共存等現象[9-11].由于系統的分岔行為使得其解的數量隨著參數的變化而發生變化，解的數量的變化導致了系統的吸引子共存現象[12-15].多個吸引子共存意味著系統存在多穩態.接下來通過單參數分岔圖以及吸引盆對系統的多穩態進行討論.由圖1a可觀察到當ψ2=1.84時，雙參數分岔圖中的顏色會有部分重疊，這說明此時可能存在吸引子共存.因此在圖1參數基礎上選定ψ2=1.84，系統對應的單參數分岔圖如圖4a所示，可以看出，系統經歷1-周期、2-周期、4-周期等周期，最后進入混沌狀態，并且與圖1a相對應.為了更加清楚地觀察系統的分岔行為，[0.7,0.8]的單參數分岔圖以及最大Lyapunov指數譜如圖4b所示，可以觀察到系統在σ=0.705 5，0.709 0等分岔點處產生了跳躍現象，這也進一步證明存在吸引子共存現象.以下通過吸引盆進一步解釋吸引子共存.

圖4 單參數分岔圖和最大Lyapunov指數譜Fig.4 The Parameter Bifurcation Diagram and Maximal Lyapunov Exponent Spectrum

通過上述分析說明系統存在多吸引子共存現象，以下通過變化參數來研究吸引子共存以及吸引盆.由圖4b可發現，系統吸引子存在跳躍現象，因此給出每個跳躍點處的吸引盆.當σ=0.705 5時，系統的吸引盆如圖5a所示，存在2組吸引子，并且都顯示為周期點.紅色表示16-周期的周期點，其吸引域用白色表示，黑色表示9-周期的周期點，其吸引域用淡藍色表示，紅色區域表示逃逸域.當σ=0.709 0時，如圖5b所示，黑色吸引子由9-周期變為24-周期.當σ=0.71時，如圖5c所示，紅色吸引子的吸引域沒有明顯變化，黑色吸引子表示為9片混沌吸引子.當σ=0.724時，如圖5d所示,黑色吸引子為16-周期的周期點，紅色吸引子變為4片混沌吸引子，并且紅色吸引子的吸引域逐漸變小，黑色吸引子的吸引域逐漸增大.可以觀察到，系統發生了全局分岔，吸引盆不連通.這種吸引子的共存現象說明經理人在競爭過程中有更多的選擇.在經濟市場中，企業可以據此制定相應的調整策略以實現企業的長期穩定發展，并獲得更大的收益.

圖5 吸引子的演化及吸引盆Fig.5 Attractor Evolution and Attractor Basin

4 結 論

通過建立動態雙寡頭產量競爭模型對經濟市場中常見的職業經理人的獎金激勵問題進行研究發現，系統存在4個均衡點.利用數值模擬對系統的Nash均衡點的局部穩定性進行分析發現，系統在參數平面(σ,ψ2)上存在復雜的類似于“舌”的分形結構，通過“法里樹”以及“周期樹”對這種分形結構進行了研究.通過參數的變化發現，參數的變化對系統的演化過程有著重要的影響，并發現系統存在多穩態情況，同時發現系統可呈現出多種不同形式的吸引子共存現象，此外，吸引盆的分形結構也證明了系統的規律性.這表明在競爭過程中，企業經理人可以有更多的選擇，同時這些結論對研究經濟系統性質提供了極大的便利.

通常，企業可以在混沌市場中獲得一定的利益，但實體經濟中的混沌不利于企業的長期穩定發展.因此，對經濟市場混沌系統的研究和對未來市場動態的預測就顯得尤為重要，同時使得所建立的經濟系統模型更加符合實際的經濟和市場環境，解決更多的實際問題.以后的研究中還需要對所構建的模型進一步優化、創新，運用分岔與混沌理論進一步分析和預測經濟系統的復雜動態行為，為企業做出相應的策略性調整以實現企業的長期穩定發展提供更加準確有效的理論依據.