非均質砂巖儲層壓汞分形特征與儲層評價

馮陣東,周 永，吳 偉，王光緒，梁書義，于 靜

(1.河南理工大學安全科學與工程學院,河南焦作 454003；2.河南理工大學資源環境學院,河南焦作 454003；3.勝利油田東勝精攻石油開發集團股份有限公司，山東東營 257061)

油氣儲層的孔隙結構控制著流體的存儲和流動等物理特性，是制約油氣開采的重要因素，直接影響著儲層的產油氣能力。油氣儲層研究的孔隙尺度越來越小，微觀孔隙結構具有強烈的非均質、不規則、復雜性等，這種非均質性受到沉積作用、成巖作用、構造應力作用等因素的影響，產生的非均質性差異制約著油氣儲集、運移等過程，儲層非均質性描述是儲層評價的重要因素之一。分形幾何學為分析復雜儲層的孔隙結構提供新的思路和方法[1]，能夠利用儲層微觀孔隙自相似性定量評價儲層非均質性[2-4]。利用分形幾何方法處理壓汞數據，進一步進行孔隙結構的復雜性和非均質性評價和分形維數表征，是儲層孔隙描述的常用手段[5-9]。目前進行壓汞孔隙分形具有多種成熟的數學模型，包括Menger海綿模型[10]、熱力學分型模型[11]、Sierpinski地毯模型[12]、毛細管束模型等[13]，但是這些模型均未從整體上綜合考慮儲層孔隙中不同尺度孔隙分形特征的差異[13-14]。Su等[13]考慮致密砂巖孔隙多重分形的特點，提出加權平均的綜合分形維數Dsw替代分段分形維數，并與儲層物性對比取得較好的對應關系。然而在計算綜合分形維數Dsw的模型中，并未考慮分段分形維數值與加權值的地質意義，求取得到的綜合分形維數指標在評價儲層物性特征時，常存在分形維數值與儲層孔隙度、滲透率之間的矛盾。筆者對Dsw模型進行改進后，提出新的綜合分形維數Dp，結合珠江口盆地白云凹陷PY35-2-4砂巖和PY35-2-5細砂巖的15組樣品壓汞曲線分形指標求取，將其與孔隙度、滲透率參數進行對應，驗證綜合分形指標Dp的合理性，在此基礎上利用該指標對儲層進行分類評價，取得較好的應用效果。

1 毛細管束模型分形計算原理

毛細管束模型中(圖1)，任意一條非常不規則的管道長度L是管道半徑的函數，滿足[15]：

(1)

式中，r為毛細管的半徑，μm；L為半徑為r的彎曲毛細管的長度，μm；L0為管道起點到終點的直線距離，μm；DT為衡量毛細管彎曲度的分形維數，數值分布在1～3，即毛細管為直線時，分形維數值等于1，彎曲的毛細管在三維空間內任意扭曲，受限與三維模型，故分形維數值DT小于3。

圖1 毛細管束填充孔隙示意圖Fig.1 Imaginary diagram of capillary bundle filling pores

根據分形理論，在毛細管中當測量尺度為r時，以r為半徑的管道數量為N(r)，且有如下關系[16]：

N(r)∝r-Df.

(2)

式中，N(r)為半徑為r的管道個數；Df為衡量毛細管發育程度的分形維數，代表二維管束截面在三維空間的發育程度，故取值為2～3。從中可知尺度r越小數量N(r)就越大，占據的孔隙空間就越多。當水銀進入到孔隙空間時有關系式：

N(r)=VHg/(πr2L).

(3)

式中，VHg為汞流經到半徑為r的管道時的累積進汞量，μm3。

由式(1)、(2)和(3)可得：

VHg∝r(3-Df-DT).

(4)

再根據楊-拉普拉斯方程中pc和r成反比[17]有：

(5)

式中，pc為毛細管壓力,MPa。該數據可以由壓汞數據直接讀取，再根據SHg=VHg/Vp，取對數有：

LogSHg=(Df+DT-3)logpc+C.

(6)

式中，SHg為進汞飽和度，由壓汞測試直接讀出，%；C為常數。

由此可以看出，在雙對數坐標中SHg與pc存在線性關系，直線的斜率k滿足：

k=Df+DT-3.

(7)

式中，Df為孔隙空間的分形維數;DT為孔隙管道的曲折度分形維數;Df+DT的理論值為3～6，符合分形規律的任意段壓汞曲線的分形維數Di都是由Df+DT構成，相應段的分形維數值Di滿足：

Di=3+ki.

(8)

式中，Di為第i段壓汞曲線對應的分形維數值;ki為雙對數坐標系中第i段壓汞曲線的斜率。

2 各項分形維數值的計算及地質意義

2.1 相關試驗數據的獲取

本次試驗的15個砂巖樣品為取自珠江口盆地白云凹陷PY35井區珠江組底部，在進行壓汞分析之前已經進行相關測試并獲取樣品的儲集物性、壓汞數據等，具體參數見表1。

表1 樣品統計數據Table 1 Sample statistic data

2.2 分形維數D1和D2計算及地質意義

不同成因類型的儲層孔隙分布具有差異性，形成孔隙結構的多層次性、復雜性特征。在進行儲層孔隙分形研究時，這種多層次性表現為分段明顯的多重分形特征。用于壓汞數據分形分析的雙對數圖版(圖2)具有斜率明顯不同的兩段特征，許多學者根據這個特征進行分形研究[13,18-19]。本次壓汞測試獲取的進汞飽和度和毛細管壓力在雙對數坐標系中表現出明顯的雙段式特征，擬合曲線斜率明顯轉變的點為拐點，拐點與排驅壓力之間的線段的分形維數為D1，對應該樣品中相對較大的孔隙；拐點與最大壓汞壓力之間的線段分形維數為D2，對應該樣品中的中小孔隙；以本次測試的樣品6為例，拐點與排驅壓力之間進汞飽和度與毛管壓力之間擬合的相關系數達到0.969，說明該段符合分形特征，斜率約為1.423 8(圖2)，根據公式(8)可以得到相應的分形維數D1為4.42，拐點與最大壓力之間線段斜率約為0.19，相應的分形維數值D2取值為3.19。由于計算分形維數的數據分布在排驅壓力與最大壓力之間，結合本次試驗的4組曲線排驅壓力之上的部分進行對比，分析分形維數值代表的地質意義。

圖2 分段計算分形維數示意圖(樣品6)Fig.2 Schematic diagram of segmented calculation of fractal dimension (sample 6)

分形維數D1代表樣品中較大孔隙的均一程度。本次試驗提供的11、12、13、14號樣品計算得到的D1分別為5.70、5.73、6.04、5.55，數值上極為接近，同一坐標系中4組曲線的D1對應段大概平行，但排驅壓力11號<12號<13號<14號。實際地質條件下，D1對應段曲線的平緩程度與砂巖的分選、孔吼的均一程度有關，分選越好的砂巖對應的孔隙越均一，在壓汞過程中，一旦達到該孔徑對應的壓力，汞流體可以在壓差變化不大的情況下進入該部分孔隙。從本質上講，該段壓汞曲線的平緩程度取決于排驅壓力與拐點壓力之間的差值，或者說是2個節點孔隙半徑的差值，差異越小對應的曲線越平緩，管束狀模型對應的毛細管越能自由彎曲，相應的分形維數值D1越大。事實上，儲層的物性與均一程度并無必然聯系，均一程度較高的碎屑巖只有孔隙較大(排驅壓力較小時)才能具備較高的滲透率。計算得到的分形維數D1十分接近甚至超過毛細管束模型的上限6(其中1

分形維數D2與拐點壓力密切相關，拐點壓力與進汞飽和度中值壓力接近。本次試驗的全部15組樣品中，最大的毛細管壓力約為42 MPa，與之對應的孔隙半徑為0.018 μm，該壓力下對應的進汞飽和度有13組樣品分布在70%～90%，即坐標系中D2對應的壓汞曲線段上部端點極為接近，曲線的斜率主要受控于拐點的位置，拐點對應的壓力越低，因為雙對數坐標系中Logpc為橫坐標，相應的D2對應的斜率越小，計算得到的分形維數值越小(表1)，以11、12、13號3組樣品為例，其最大進汞壓力與進汞飽和度基本重合，11號樣品具有最低的拐點壓力，相應的分形維數值最低為3.08，而13號樣品對應的拐點壓力最大，計算得到的D2為最大的3.22。

2.3 綜合分形維數Dsw的計算

考慮到壓汞曲線中分段描述的曲線分形維數值不能整體表達巖石孔隙的不均一程度，Su等[13]嘗試使用加權的方法求取綜合分形維數，其模型中的綜合分形維數Dsw滿足：

Dsw=D1Sinf+D2(Smax-Sinf).

(9)

式中，Dsw為Su等[13]模型中的綜合分形維數；Sinf為對應于分形曲線拐點對應的飽和度,%；Smax為壓汞曲線中的最大飽和度,%。

從圖2中可以看出，壓汞分形曲線的拐點之后，對應的中小孔隙對進汞飽和度的貢獻較小，Sinf明顯大于(Smax-Sinf)，即相對較大孔隙對應的D1被人為加大，而D1僅代表較大孔隙的均一程度，與儲層物性無法直接對應，Dsw指標評價儲層時可能出現明顯的偏離，以樣品14和15號為例，對應的數值分別為2.47、1.69，是所有15組樣品中綜合分形維數值最小的樣品，對應的物性參數滲透率為0.02×10-3μm2，孔隙度全部小于5%，顯然Dsw與儲層孔滲并未表現出正相關的規律。

圖3 分形維數分段計算對應的進汞曲線Fig.3 Corresponding mercury injection curve of fractal dimension calculation

2.4 綜合分形維數Dp的計算

為了表征整個樣品全孔徑范圍的分形特征，擬采用加權平均的方法確定綜合反映整個樣品特征的分形維數Dp，而權重由所在線段的毛細管壓力差決定，具體公式為

Dp=D1(ΔpD1/p)+D2(ΔpD2/p).

(10)

式中，ΔpD1為拐點壓力與排驅壓力的差值，代表孔徑較大的低壓區毛細管壓力差，MPa；ΔpD2為大于拐點壓力的高壓區毛細管壓力差，MPa；p為整體毛細管壓力差，為ΔpD1與ΔpD2之和,MPa。數值上等于最大的毛細管壓力減去排驅壓力，本次壓汞試驗最大的毛細管壓力基本相等，全部約為42 MPa，該數值與壓汞儀型號有關，p為整體毛細管壓力差,數值與樣品的排驅壓力有關，排驅壓力越大，相應的p越小。當樣品中較大的孔隙相對均勻時，D1基本接近，而權值ΔpD1/p與排驅壓力有關，排驅壓力增大、毛細管壓力差減小、D1權值增大。D2仍代表中小孔隙的貢獻，其權值與D1權值之和為1。由此可以看出，綜合分形維數Dp中不僅考慮較大孔隙的均勻程度、排驅壓力(大孔孔徑)，同時考慮中小孔隙的貢獻。

3 分形維數與儲層評價參數的耦合關系

實驗室獲取的儲層評價參數除了孔隙度、滲透率等直接參數外，利用壓汞獲取的排驅壓力、飽和度中值壓力也常應用到儲層評價中。相對致密、孔隙度較小的巖石一般具有較高的排驅壓力和較高的中值壓力。Pittman E D提出利用孔喉半徑Rapex指標評價儲層物性的方法，Rapex對應Pittman圖(汞飽和度作橫坐標、汞飽和度/毛細管壓力為縱坐標的圖)的頂點的孔喉半徑，表示單位壓力下進汞最快的點，Rapex與排驅壓力負相關，與孔隙度和滲透率正相關。本次獲取的15組試驗數據表明，排驅壓力與Rapex相關系數達到0.99，Rapex與滲透率、孔隙度的相關系數也達到0.93和0.70(圖4)，表明Rapex是一種良好的評價儲層的參數。

利用分形幾何方法處理得到的分形維數，與上述儲層評價的5項參數建立聯系后(圖5～9)，才能應用到儲層評價過程中，15組樣品分析結果表明：對應較大孔隙統計段分形維數的D1與各項參數相關性極差。D1除了與滲透率弱相關外(相關系數為較低的0.46)，與排驅壓力、飽和度中值壓力、Rapex、孔隙度等4項參數之間基本不具備相關性，相關系數絕大多數不足0.1。其根本原因在前文已經表述，D1僅代表樣品大孔部分的均一程度，類似樣品11、12、13號的含粗粉砂含細粉砂和黏土極細砂巖—極細砂細砂巖，因位于三角洲前緣，即便具有較好的分選，因碎屑顆粒粒徑小、孔徑小，相應的排驅壓力、中值壓力較大，微孔雖然具備一定的孔隙度，但滲透率被極大的限制。同樣分選較好的3～9號樣品(表1)，因顆粒大、孔徑大，分形維數D1相差不大的條件下，孔滲參數明顯優于樣品11～15。

圖4 儲層物性與Rapex之間的關系Fig.4 Relationship between reservoir properties and Rapex

對應中小孔隙統計段分形維數的D2與各項參數具有較好的相關性。D2與樣品的排驅壓力、中值壓力、Rapex、孔隙度的相關系數全部大于0.7，與滲透率的相關性略低，仍達到0.508。前已述及，本次獲取的15組樣品中D2與拐點壓力有直接關系，而拐點壓力與飽和度中值壓力極為接近，由此導致D2與其他評價參數相關性較高。

Su等[13]提出的綜合分形維數Dsw指標與本次測試的15個樣品物性參數相關性差，且出現規律的背離。Dsw指標與中值壓力的相關系數為0.11，與排驅壓力相關系數為0.21，與滲透率Rapex指標相關系數為0.2，與滲透率相關系數為0.02,與孔隙度相關系數為0.1，說明該指標在珠江口盆地應用效果極差。在相關規律上，隨著綜合分形維數Dsw增大，孔隙越復雜，卻出現滲透率、孔隙度、Rapex增大，而排驅壓力、中值壓力降低的現象，明顯背離地質規律?？梢娙藶榈脑龃驞1的權值并不能增大該部分孔隙對滲透率的貢獻度，根本原因仍在于單獨的D1指標僅代表大孔的均一程度，與大孔的孔徑無關。

圖5 分形維數與排驅壓力的相關性Fig.5 Correlation between fractal dimension and displacement pressure

圖6 分形維數與飽和度中值壓力的相關性Fig.6 Correlation between fractal dimension and saturation median pressure

本次改進的綜合分形維數Dp與各項儲層指標相關性更好。Dp與排驅壓力、中值壓力、Rapex、滲透率、孔隙度的相關系數依次為0.79、0.85、0.77、0.64、0.74，全部高于前述3個指標中最好的D2指標，對應相關系數依次為0.75、0.77、0.73、0.51、0.73。

基于以上的分析可以得知，在反映孔隙結構的異質性和復雜性上，Dp不僅比D1和D2而且比Dsw有更令人滿意的結果，并從數學角度更好的表征孔隙結構多尺度特征，可作為孔隙結構分類和評價良好參數。

圖7 分形維數與Rapex的相關性Fig.7 Correlation between fractal dimension and Rapex

圖8 分形維數與滲透率的相關性Fig.8 Correlation between fractal dimension and permeability

圖9 分形維數與孔隙度之間的關系Fig.9 Relationship between fractal dimension and porosity

4 綜合分形維數Dp在儲層評價中的應用

綜合分形維數Dp與儲層物性的良好相關性表明，可以作為不同類型儲層的定量指標。按照石油天然氣總公司的的儲層分類標準，先對儲層進行評價再與參數Dp結合，形成一個大致的分類標準。經過評價后的結果展示在表2中，按照評價結果將3.14和3.25作為Dp的分類評級標準，小于3.14為Ⅰ，3.14～3.25為Ⅱ，大于3.25為Ⅲ(圖10)。利用Dp指標劃分的儲層類型，與孔隙度、滲透率實測指標劃分的類型基本吻合，本次測試得到的15組樣品中13組相吻合。偏離的兩組數據中，9號樣品綜合分形維數Dp為3.17,11號樣品的Dp為3.11，因與分類的邊界值3.14極為接近，類型劃分時略有偏差。整體上綜合分形維數Dp指標在劃分儲層類型上仍具備較大的可信度。

表2 評價結果Table 2 Evaluation results

圖10 兩種參數評價分類Fig.10 Classification diagram for evaluation of two parameters

5 結 論

(1)在雙對數坐標系中進汞飽和度與毛細管壓力擬合相關系數一般大于0.85，說明壓汞曲線具備分形要求的自相似特征；任意段擬合曲線的分形維數Di與曲線斜率k滿足Di=3+k，分形維數Di由孔隙空間的分形維數Df和毛細管曲折度分形維數DT共同構成，管束狀模型中Di的理論值分布在3～6，如考慮毛細管相互交叉、聯通對儲層孔吼的復雜化，分形維數理論值的上限可能超過6。

(2)分段計算得到的分形維數值具有不同的地質含義，壓汞曲線中大于排驅壓力的相對平緩段，對應樣品中較大的孔隙，雙對數坐標系中求取的相應分形維數值D1僅代表該部分孔隙的均一程度，而與儲層的孔吼半徑(或者排驅壓力)無必然關系，故D1與儲層孔滲參數無相關性，綜合分形維數Dsw求取過程中，人為的增大D1的權值，可能造成綜合分形維數與排驅壓力、中值壓力、孔隙度、滲透率等儲層評價參數的相關性低，甚至出現規律性錯誤；壓汞曲線中大于拐點壓力部分求取的分形維數值為D2，該數值與拐點壓力有明顯關系，而拐點壓力十分接近于飽和度中值壓力，因此D2與儲層物性有直接聯系。

(3)改進后的綜合分形維數Dp求取時，利用D1表征孔隙的均一程度，D1的權值ΔpD1/p與排驅壓力有關，兩者乘積共同表征大孔隙對儲層物性的貢獻度，D2與其權值的乘積表征中小孔隙對物性的貢獻，求取得到的綜合分形維數Dp與排驅壓力、中值壓力、Rapex、滲透率、孔隙度的相關性全面優于D2、D1、Dsw等指標；綜合分形維數Dp小于3.14、3.14～3.25、大于3.25等3個區間段，與石油行業儲層分類標準的Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類儲層具有良好的對應關系。