一類二階微分系統解的存在唯一性

康 慧 君

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

微分系統在物理學、 工程實踐和生物學等領域應用廣泛. 目前, 對于非線性微分系統邊值問題的研究已取得了許多結果[1-9]. 文獻[1]用不動點指數理論研究了二階常微分系統

正解的存在性, 其中f1,f2∈C(I×+×+,+),I=[0,1],+=[0,+∞), 在非線性項f1,f2滿足超線性、 次線性的條件下, 證明了該系統至少存在一個正解.

狀態依賴時滯微分方程應用廣泛, 如感染疾病傳播模型[10]和人口模型[11]等.迭代微分方程是狀態依賴時滯微分方程的一種特殊類型, 近年來得到廣泛關注[12-20].例如: Eder[12]用收縮原理證明了一階迭代微分方程

x′(t)=x(x(t)),x(t0)=t0,t0∈[-1,1]

x′(t)=f(x(x(t))),x(0)=0

局部解的存在性.

本文考慮非線性項中帶有迭代項的二階微分系統邊值問題是否也具有解的存在性、 唯一性、 單調性, 用Schauder不動點定理研究一類二階迭代微分系統邊值問題

(1)

滿足如下邊界條件之一時解的存在性與唯一性：

x(a)=y(a)=a,x(b)=y(b)=b,

(2)

x(a)=y(a)=b,x(b)=y(b)=a,

(3)

其中x[2](t)=x(x(t)).

本文總假設:

(H1)f,g∈C([a,b]×4,);

(H2) 存在常數Ki,Li(i=1,2,3,4)滿足

其中u1,u2,u3,u4∈;

(H3) 存在常數Mi,Ni>0(i=1,2,3,4)滿足

其中ui1,ui2∈, 并且

1 預備知識

首先, 考慮二階迭代微分方程

u″(t)=h(t,u(t),u[2](t)),

(4)

其滿足如下邊界條件之一:

u(a)=a,u(b)=b,

(5)

u(a)=b,u(b)=a,

(6)

其中h: [a,b]××→是連續函數, 由于迭代項u[2](t)=u(u(t)), 因此對于t∈[a,b], 滿足a≤u(t)≤b.

設u∈C2[a,b]是問題(4)-(5)的解, 則可將邊值問題(4)-(5)轉化為不動點問題證明其解的存在唯一性.將方程u″(t)=h(t,u(t),u[2](t))兩邊從a到t積分, 得

(7)

將u(b)=b代入式(7)得

(8)

則有

(9)

將式(9)代入式(7)得

(10)

將式(10)寫成如下形式：

結合式(10)和式(11)可得

因此u∈C2[a,b]是問題(4)-(5)的解.u∈C[a,b]滿足積分方程

其中格林函數

同理, 將u(b)=a代入式(7)可得

因此u∈C2[a,b]是問題(4)-(6)的解.

其次, 考慮二階迭代微分系統邊值問題(1)-(2)或邊值問題(1)-(3)解的存在性與唯一性.

定義Banach空間Φ=(C[a,b]×C[a,b],‖·‖C), 其上的范數為

定義積分算子T1,T2:C[a,b]×C[a,b]→C[a,b]如下:

F(x,y)(t)=(T1(x,y)(t),T2(x,y)(t)).

討論問題(1)-(2)的解即轉化成討論方程F(x,y)(t)=(x,y)在Banach空間Φ上的不動點問題.注意到T1(x,y)(a)=a,T1(x,y)(b)=b,T2(x,y)(a)=a,T2(x,y)(b)=b, 此外,

并且

T1(x,y)″(t)=f(s,x(s),x[2](s),y(s),y[2](s)),

T2(x,y)″(t)=g(s,x(s),x[2](s),y(s),y[2](s)).

則問題(1)-(2)有確定的解, 只需(x(t),y(t))∈C[a,b]×C[a,b],t∈[a,b].

易見有下列結果：

引理1(x,y)是問題(1)-(2)的解當且僅當a≤T1(x,y)≤b,a≤T2(x,y)≤b, 并且(x,y)是T1,T2的一個不動點.

引理2格林函數

滿足

|G(t,s)|≤|G(s,s)|,t,s∈[a,b]×[a,b],

引理3(Schauder不動點定理)[21]設A是Banach空間中的有界凸閉集,T:A→A全連續, 則T在A中必有不動點.

2 主要結果

定理1假設條件(H1),(H2)成立, 則邊值問題(1)-(2)存在一個解.

證明： 由于假設條件(H1)，(H2)成立, 因此

同理, 有

從而可知T1(x,y),T2(x,y)是單調遞增算子, 由于T1(x,y)(a)=a,T1(x,y)(b)=b,T2(x,y)(a)=a,T2(x,y)(b)=b, 因此

a≤T1(x,y)≤b,a≤T2(x,y)≤b,t∈[a,b].

由Schauder不動點定理可知(x,y)是T1,T2的一個不動點.由引理1可知, (x,y)是問題(1)-(2)的一個解.證畢.

同理, 可得邊值問題(1)-(3)等價于積分方程

其中T3,T4:C[a,b]×C[a,b]→C[a,b]是積分算子, 且有T3(x,y)(a)=b,T3(x,y)(b)=a,T4(x,y)(a)=b,T4(x,y)(b)=a.

定理2假設條件(H1),(H2)成立, 則邊值問題(1)-(3)存在一個解.

證明: 仿定理1的證明, 首先證明算子T3(x,y),T4(x,y)是單調的, 根據假設條件(H1),(H2), 有

同理, 有

因此,T3(x,y),T4(x,y)是單調遞減的.因為T3(x,y)(a)=b,T3(x,y)(b)=a,T4(x,y)(a)=b,T4(x,y)(b)=a, 所以

a≤T3(x,y)≤b,a≤T4(x,y)≤b,t∈[a,b].

由Schauder不動點定理可知(x,y)是T3,T4的一個不動點.由引理1可知, (x,y)是問題(1)-(3)的一個解.證畢.

定理3假設條件(H1),(H3)成立, 則邊值問題(1)-(2)或邊值問題(1)-(3)存在唯一解.

證明: 假設(x1,y1),(x2,y2)是T1兩個不同的不動點, 則對于t∈[a,b], 由于假設條件(H3)成立, 因此有

假設(x1,y1),(x2,y2)是T2兩個不同的不動點, 則對于t∈[a,b], 有

因此

‖x1-x2‖+‖y1-y2‖<‖x1-x2‖+‖y1-y2‖,

矛盾.從而可知T1,T2有唯一的不動點(x,y), 即(x,y)是問題(1)-(2)的唯一解.同理, (x,y)也是問題(1)-(3)的唯一解.證畢.

3 應用實例

考慮如下系統的邊值問題：

(12)

這里,

f(t,u1,u2,u3,u4)=k1cos(u4),g(t,u1,u2,u3,u4)=k2sin(u2).

因為

-|k1|≤k1cos(u4)≤|k1|, -|k2|≤k2sin(u2)≤|k2|,

所以

考慮邊值問題(12)解的唯一性, 由中值定理可知, 存在ξ1,ξ2∈[0,π], 使得

|k1cos(u41)-k1cos(u42)|=|k1|sin(ξ1)|u41-u42|≤|k1||u41-u42|,

|k2sin(u21)-k2sin(u22)|=|k2|cos(ξ2)|u21-u22|≤|k2||u21-u22|,

因此