張海燕, 湯 獲
(赤峰學院 數學與計算機科學學院, 內蒙古 赤峰 024000)
設S表示單位圓盤D={z∈: |z|<1}內單葉解析且具有如下形式
(1)
的函數族.設P表示單位圓盤D內具有如下形式
且滿足條件Rep(z)>0的解析函數族.由文獻[1]易知, 對于函數p(z)∈P, 存在Schwarz函數ω(z), 使得
定義1[2]設函數f(z)和g(z)在單位圓盤D內解析.如果存在D內的Schwarz函數ω(z), 滿足ω(0)=0, |ω(z)|<1且f(z)=g(ω(z)), 則稱f(z)從屬于g(z), 記為f(z)g(z).特別地, 如果g(z)在D上是單葉的, 則
f(z)g(z)(z∈D)?f(0)=g(0),f(D)?g(D).
設函數f(z)∈A, 若滿足條件Re[zf′(z)/f(z)]>0, 則稱f屬于星像函數類, 記為f∈S*.顯然,f∈S*將單位圓盤映射到右半平面且星像的區域[2].
目前, 關于星像函數類的研究已有很多結果.例如: Ma等[3]引入了某類星像函數類S*(φ),
定義2[8]設函數f∈S, 若f滿足條件:
(2)
(3)
Mendiratta等[8]研究了該函數類的積分表達式、 包含關系、 系數估計增長定理與偏差估計、 從屬關系及函數類的半徑問題等. Thomas等[9]定義了函數f的q階Toeplitz行列式Tq(n):
其中a1=1,n≥1,q≥1.特別地, 有
即
|cn|≤2,n=1,2,….
|cn+k-μcnck|<2, 0≤μ≤1,
(4)
令
則顯然有p(z)∈P, 且
(6)
另一方面, 有
比較式(5)和式(7)兩邊z,z2,z3,z4,z5,z6的系數, 可得
由引理2, 易證|a2|≤1.由引理1, 可得
同理可證
設c1=c,c∈[0,2], 由引理2和引理3可知,
(9)
證明: 由式(8)和引理1可知,
設c1=c,c∈[0,2], |x|=t,t∈[0,1], 則由三角不等式可得
設
與定理2的證明類似可得如下定理:
(10)
(11)
(12)
設c1=c,c∈[0,2], 由引理3可得
令
與定理5的證明類似可得如下定理:
(13)
(14)
(15)
證明: 因為
所以由三角不等式可得
將式(4),(9)~(14)代入式(16), 即得式(15).證畢.