一般線性李超代數在廣義Witt李超代數中的中心化子

茅 丹, 鄭克禮

(東北林業大學 理學院, 哈爾濱 150040)

李超代數[1]在物理學中用于研究超對稱現象. Wess等[2]應用超對稱理論提出了四維超對稱理論. 目前, 關于非模李超代數的研究已趨于完善, 但模李超代數的研究還處于發展階段[3]. 中心化子的概念源于群結構的研究[4], 李超代數是由李超群線性化得到的, 所以也存在中心化子. 目前, 關于李超代數中心化子的研究已得到廣泛關注. 文獻[5]研究了gl(0,2)在廣義Witt李超代數上的中心化子; 文獻[6]研究了sl(0,3)在廣義Witt李超代數上的中心化子. 由于用伴隨表示去體現一個李超代數, 能將李超代數視為其子代數的一個自然模, 所以中心化子能等價地視為零維上同調群.

本文受文獻[7]中求解三階矩陣李超代數中心化子的啟發, 利用同調方法討論一般線性李超代數gl(m,n)在廣義Witt李超代數W上的中心化子, 通過計算分別給出gl(m,n)(m=1,2,…,a;n=1,2,…,b)在W上的中心化子,gl(m,0)(m=1,2,…,a)在W上的中心化子, 以及gl(0,n)(n=1,2,…,b)在W上的中心化子.

1 預備知識

根據文獻[8], 素特征域F上的廣義Witt李超代數結構為W=w⊕ω, 其中

這里Y0={1,2,…,a},Y1={1,2,…,b}.易知李超代數gl(m,n),gl(m,0),gl(0,n)的標準基分別為{XrDs,Xrdv,ζqDs,ζqdv},{XrDs},{ζqdv}(r,s=1,2,…,m;q,v=1,2,…,n).

定義1[9]設L是李代數,A是L-模,Hn(L,A)=Kerδn/(Imδn-1)稱為L的系數在其模A上的n維上同調.

引理1[9]對任意的L-模A,H0(L,A)={a∈A|x·a=0,x∈L}.

2 中心化子CW(gl(m,n))

2.1 零維上同調H0(gl(m,n),w)

命題1gl(m,n)在w0上的零維上同調為

證明： 根據定義w0=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=1,k∈Y0〉, 設存在

滿足[gl(m,n),f]=0, 其中ck,gjk∈F, |α|=1.則:

1) 當X(α)為X1,X2,…,Xm中任意一個時, 有

其中:r,s=1,2,…,m;q,v=1,2,…,n.因為D1,D2,…,Da是線性無關的, 所以由上述等式可得ck=0,gvk=0(v=1,2,…,n),gjr=0(r=1,2,…,m).此時結果為

〈ζjDk|j∈Y1{1,2,…,n},k∈Y0{1,2,…,m}〉.

2) 當X(α)不為X1,X2,…,Xm中任意一個, 且k∈Y0{1,2,…,m}時, 有

[XrDs,f]=0, [ζqDs,f]=0, [Xrdv,f]=0, [ζqdv,f]=0,

其中:r,s=1,2,…,m;q,v=1,2,…,n.所以此時結果為

〈X(α)-〈i〉Dk||α|=2,i∈{1,2,…,m},k∈Y0{1,2,…,m}〉.

綜上, 結論得證.

命題2gl(m,n)在w1上的零維上同調為

證明： 由定義知,w1=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=2,k∈Y0〉.可設

滿足[gl(m,n),f]=0, 其中cjk,gk,hijk∈F, |α|=1, |β|=2.則:

1) 當X(α)為X1,X2,…,Xm中任意一個,X(β)含X1,X2,…,Xm中任意一個時, 由

從而hijr=0(r=1,2,…,m),hvjk=0(v=1,2,…,n).當k∈Y0{1,2,…,m},i,j均不取1,2,…,n時, [gl(m,n),f]=0.此時結果為

〈ζu-〈j〉Dk||u|=3,j∈{1,2,…,n},k∈Y0{1,2,…,m}〉.

2) 當X(α)ζjDk中的X(α)不為X1,X2,…,Xm中任意一個,j∈Y1{1,2,…,n},k∈Y0{1,2,…,m}, 且X(β)Dk中X(β)不含X1,X2,…,Xm中任意一個,k∈Y0{1,2,…,m}時, [gl(m,n),f]=0.此時結果為

綜合1),2), 結論得證.

命題3gl(m,n)在w2上的零維上同調為

證明： 由定義知,w2=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=3,k∈Y0〉.可設存在

滿足[gl(m,n),f]=0, 其中cjk,gk,hijk,mijlk∈F, |α|=1, |β|=2, |γ|=3.則:

1) 當X(α)為X1,X2,…,Xm中任意一個, 且X(β),X(γ)含有X1,X2,…,Xm中任一個時, 有

又因為D1,D2,…,Da是線性無關的, 所以hijk=cjk=gk=0.再根據

[XrDs,f]=0, [Xrdv,f]=0, [ζqdv,f]=0,

可得mijlr=0(r=1,2,…,m),mvjlk=0(r=1,2,…,n).其中:r,s=1,2,…,m;q,v=1,2,…,n.當ζiζjζlDk中i,j,l均不等于1,2,…,n, 且k∈Y0{1,2,…,m}時, 有[gl(m,n),ζiζjζlDk]=0.此時結果為

〈ζu-〈j〉Dk||u|=4,j∈{1,2,…,n},k∈Y0{1,2,…,m}〉.

2) 當X(α)不為X1,X2,…,Xm中任意一個,X(β),X(γ)不含有X1,X2,…,Xm中任意一個, 且{u}中不含1,2,…,n,k∈Y0{1,2,…,m}時, 有[gl(m,n),f]=0.此時結果為

綜合1),2), 結論得證.

由命題1～命題3易得：

推論1對于wt(t≥1),H0(gl(m,n),wt)是t+2項的直和, 即

結合命題1～命題3以及推論1易得:

定理1gl(m,n)在w上的零維上同調為

2.2 零維上同調H0(gl(m,n),ω)

命題4gl(m,n)在ω0上的零維上同調為

證明： 由定義知,ω0=〈X(α)ζudl||α|+|u|=1,l∈Y1〉.設存在

滿足[gl(m,n),f]=0, 其中cl,gjl∈F, |α|=1.則:

1) 當X(α)為X1,X2,…,Xm中任意一個時, 由

以及d1,d2,…,db線性無關, 可得cl=0,gvl=giq=0(v,q=1,2,…,n).此時結果為〈ζjdl|j,l∈Y1{1,2,…,n}〉.

[XrDs,f]=0, [Xrdv,f]=0, [ζqDs,f]=0, [ζqdv,f]=0.

此時結果為〈X(α)-〈i〉dl||α|=2,i∈{1,2,…,m},l∈Y1{1,2,…,n}〉.

綜合1),2), 結論得證.

命題5gl(m,n)在ω1上的零維上同調為

證明： 由定義知,ω1=〈X(α)ζudl||α|+|u|=2,l∈Y1〉.設存在

滿足[gl(m,n),f]=0, 其中cl,gjl,hijl∈F, |α|=1, |β|=2.則:

1) 當X(α)為X1,X2,…,Xm中任意一個, 且X(β)含有X1,X2,…,Xm中任一個時, 由

可知,hvjl=0(v=1,2,…,n).當ζiζjdl中的i,j都不等于1,2,…,n時, 對l∈Y1{1,2,…,n}有[gl(m,n),ζiζjdl]=0.此時結果為

〈ζu-〈j〉dl||u|=3,j∈{1,2,…,n},l∈Y1{1,2,…,n}〉.

2) 當X(α)ζjdl中的X(α)不為X1,X2,…,Xm中任意一個,j,l∈Y1{1,2,…,n}, 且X(β)dl中的X(β)不含有X1,X2,…,Xm中任意一個,l∈Y1{1,2,…,n}時, 有[gl(m,n),f]=0.此時結果為

綜合1),2), 結論得證.

命題6gl(m,n)在ω2上的零維上同調為

證明： 由定義知,ω2=〈X(α)ζudl||α|+|u|=3,l∈Y1〉.可設存在

滿足[gl(m,n),f]=0, 其中gl,cjl,hijl,mijzl∈F, |α|=1, |β|=2, |γ|=3.則:

1) 當X(α)為X1,X2,…,Xm中任意一個, 且X(β),X(γ)含有X1,X2,…,Xm中任一個時, 由

可得hijl=cjl=gl=0, 其中:r,s=1,2,…,m;d1,d2,…,db線性無關.此時, 有

得mvjzl=mijzq=0(v,q=1,2,…,n).當ζiζjζzdl中的i,j,z均不取1,2,…,n中任意一個數時, 對l∈Y1{1,2,…,n}, 有[gl(m,n),ζiζjζzdl]=0.此時結果為

〈ζu-〈j〉dl||u|=4,j∈{1,2,…,n},l∈Y1{1,2,…,n}〉.

2) 當X(α)ζiζjdl中的X(α)不取X1,X2,…,Xm中任意一個,i,j,l∈Y1{1,2,…,n},X(β)ζjdl中的X(β)不含X1,X2,…,Xm中任意一個,j,l∈Y1{1,2,…,n}, 且X(γ)dl中的X(γ)不取X1,X2,…,Xm中任意一個,l∈Y1{1,2,…,n}時, [gl(m,n),f]=0.此時結果為

綜合1),2), 結論得證.

由命題4～命題6易得：

推論2對于ωt(t≥1),H0(gl(m,n),ωt)是t+2項的直和, 即

結合命題4～命題6以及推論2易得:

定理2gl(m,n)在ω上的零維上同調為

綜上可得:

定理3gl(m,n)(1≤m≤a, 1≤n≤b)在W上的中心化子為

3 中心化子CW(gl(m,0))

3.1 零維上同調H0(gl(m,0),w)

命題7gl(m,0)在w0上的零維上同調為

證明： 由定義知,w0=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=1,k∈Y0〉.設存在

滿足[gl(m,0),f]=0, 其中ck,gji∈F, |α|=1.則:

1) 當X(α)等于X1,X2,…,Xm中某一個時, 由

以及D1,D2,…,Da線性無關, 可得ck=0,gjr=0(r=1,2,…,m).此時結果為

〈ζuDk||u|=1,k∈Y0{1,2,…,m}〉.

再根據

可得ck=0(k∈Y0{r}),gjr=0(r=1,2,…,m).此時結果為〈X1D1+…+XmDm〉.因此在1)中得到的結果為

〈X1D1+…+XmDm〉⊕〈ζuDk||u|=1,k∈Y0{1,2,…,m}〉.

2) 當X(α)不等于X1,X2,…,Xm中任意一個,k∈Y0{1,2,…,m}時, 有[gl(m,0),f]=0.此時結果為〈X(α)-〈i〉Dk||α|=2,i∈{1,2,…,m},k∈Y0{1,2,…,m}〉.

綜合1),2), 結論得證.

仿照命題7的證明, 易得:

命題8gl(m,0)在w1上的零維上同調為

由命題7和命題8易得:

推論3對于wt(t≥0),H0(gl(m,0),wt)是2t+3項的直和, 即

由命題7、 命題8以及推論3易得:

3.2 零維上同調H0(gl(m,0),ω)

與上述方法同理可得如下結論：

定理5gl(m,0)在ω上的零維上同調為

其中

H0(gl(m,0),ω0)=〈X(α)-〈i〉dl||α|=2,i∈{1,2,…,m},l∈Y1〉⊕〈ζjdl|j,l∈Y1〉,

綜上, 可得gl(m,0)(1≤m≤a)在W上的中心化子：

定理6gl(m,0)在W上的中心化子為

4 中心化子CW(gl(0,n))

與上述方法同理對gl(m,0)(m=1,2,…,a)在W上討論中心化子, 可得：

定理7gl(0,n)(n=1,2,…,b)在W上的中心化子為

其中

H0(gl(0,n),w0)=〈X(α)Dk||α|=1,k∈Y0〉⊕〈ζu-〈j〉Dk||u|=2,j∈{1,2,…,n},k∈Y0〉,